PNF Administración UPTAEB

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo Lara
NÚMEROS REALES
Integrante:
Rachell Fernández C.I 30.129.553
PNF ADMINISTRACIÓN
Aula: 0102
Marzo, 2021.

2. Definición de conjuntos
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre
sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u
objetos, tales como números, canciones, meses, personas, entre otros. Por ejemplo:
el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar.
Además, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por
ejemplo: en el caso de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer
elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de
flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.
Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos
que lo conforman, que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se define
a “S” como el conjunto de los días de la semana, por lo tanto, S= [lunes, martes,
miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo].
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los
conjuntos. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor,
quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó
para explicar las matemáticas.
Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue
revolucionario su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya que
develó la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se
puede encontrar un infinito mayor.
Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito
matemático de finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario
en el estudio de lo que él denominó los transfinitos, estudio que contribuyó al de los
conjuntos abstractos e infinitos.
Diagrama de Venn
Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para
ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo,
se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y
difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas

3. de conjunto" se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica,
enseñanza, lingüística, informática y negocios.
Operaciones con conjuntos
También conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos en esta ocasión veremos los siguientes: Unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
 Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se
repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y
B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos
de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación
de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar
la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo.
Luego se escribe por fuera la operación de unión. Por ejemplo:
a) Dados dos conjuntos 𝐴 = {1,2,3,4,5} y 𝐵 = {4,5,6,7,8,9} la unión de estos
conjuntos será 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
 Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y
los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será

4. excluido. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩. Por ejemplo:
b) Dados dos conjuntos 𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑓ú𝑡𝑏𝑜𝑙} 𝑦 𝐵 = {𝑥/
𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑏á𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡}, la intersección será 𝐹 ∩ 𝐵 = {𝑥/
𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑓ú𝑡𝑏𝑜𝑙 𝑦 𝑏á𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
 Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de
los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: −.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos 𝐴 = {1,2,3,4,5} 𝑦 𝐵 = {4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será 𝐵 − 𝐴 = {6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

5.  Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará
formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que
se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos 𝐹 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑓ú𝑡𝑏𝑜𝑙} 𝑦 𝐵 = {𝑥/
𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑏á𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡}, la diferencia simétrica será 𝐹 △ 𝐵 = {𝑥/
𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑙𝑜 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑓ú𝑡𝑏𝑜𝑙 𝑦 𝑏á𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
 Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En
esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el
conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del
cual se hace la operación de complemento.

6. Ejemplo 1:
Dado el conjunto Universal 𝑈 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑜} y el conjunto
𝑉 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑒𝑦}, el conjunto V' estará formado por los
siguientes elementos 𝑉′ = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑒𝑦}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen
expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000 ….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000 ….
c) 2 es un número real ya que 2 = 1,4142135623730950488016887242097 ….
d) 0,1234567891011121314151617181920212223 …. Es un número real.
e) 𝜋 también es real
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros
tienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión
decimal periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los números
que tienen expansión decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por I).
En consecuencia a, b y c son números racionales y d, e, f y g son números
irracionales. Claramente, la propiedad de tener expansión decimal periódica para
los racionales y la propiedad de tener expansión decimal no periódica para los
irracionales define dos tipo de números muy distintos. Lo que significa que un
número real es racional o irracional, nunca ambos.
 Conjunto de los números Reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números reales se
define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los
números irracionales. Igualmente, los números racionales se clasifican en:

7.  Números Naturales (N): Los que usamos para contar. Por ejemplo,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
 Números Enteros (Z): Son los números naturales, sus negativos y el cero.
Por ejemplo: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
 Números Fraccionarios: Son aquellos números que se pueden expresar
como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma
𝑎/𝑏 con 𝑎, 𝑏 enteros y 𝑏 ≠ 0.
 Números Algebraicos: Son aquellos que provienen de la solución de alguna
ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres
o anidados. Por ejemplo, √3.
En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales
algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, como por
ejemplo √25.
A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento
notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números
racionales. En efecto, √25 = 5.
 Números Trascendentales: No pueden representarse mediante un número
finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones
trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número
𝑛 𝑦 𝑒 son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse
mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir
números decimales no periódicos al azar ocon un patrón que no lleva periodo
definido. Cuando se dice número sin adjetivo calificativo, estamos hablando
de número real.
Desigualdad matemática
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de
relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de
desigualdad debe ser expresada con diferente signo y tendrá una reacción a
operaciones matemáticas diferente según su origen. La finalidad de este concepto
con el menor número de palabras posibles es que; el objetivo de la desigualdad
matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.

8.  Signos de desigualdad matemática
Podemos simplificar los signos de expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual 𝑎: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que
implicaría que a es menor a b, mientras que “𝑎 > 𝑏” significa que a es mayor a b.
En el caso de “𝑎 ≠ 𝑏”, leeremos la expresión como a es desigual 𝑎 𝑏, “𝑎 ≤ 𝑏”; a es
menor o igual 𝑎 𝑏, 𝑦 “𝑎 ≥ 𝑏” implica que a es mayor o igual a b.
Ejemplo
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de
ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la
izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4𝑥 – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces
nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4𝑥 − 2 el
elemento 𝐴 𝑦 9 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵. La resolución nos mostraría que (en números
naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (𝑥 ≥ 3).
 Tipología de desigualdades
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de
aceptación. Ninguna de ellas no incluye la desigualdad general (≠). Son las
siguientes:
Desigualdades estrictas: Son aquellas que no aceptan la igualdad entre
elementos. De este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo el
“𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒” (>) 𝑜 “𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒” (<).
Desigualdades amplias o no estrictas: Todas aquellas en las que no se
especifica si uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos
hablando de “menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).
Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta
numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de
|𝑥| son números reales de 𝑥 y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo,

9. sea este positivo (+) o negativo (−). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y
de -5. Los valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales
como |𝑥| (el cual se lee como módulo de x).
El valor absoluto se representa como |𝐴|, donde A es el número cuyo valor
absoluto tiene que ser determinado.
Ejemplos:
1. |−1| = 1
2. |−2.5| = 2.5
3. |0| = 0
4. |3.4| = 3.4
5. |−9| = 9
Desigualdades con Valor Absoluto
La desigualdad | 𝑥 | < 4 significa que la distancia entre 𝑥 𝑦 0 es menor
que 4.
Así, 𝑥 > −4 𝑌 𝑥 < 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales 𝑎 𝑦 𝑏, 𝑠𝑖 | 𝑎 | < 𝑏 ,
entonces a < 𝑏 𝑌 𝑎 > − 𝑏 .
Ejemplos:
1. |𝑥| < 1
Escribimos la inecuación como:
−1 < 𝑥 < 1

10. Por lo tanto, la solución es:
𝑥 ∈ ]−1,1]
O bien, con la notación de paréntesis,
𝑥 ∈ (−1,1)
En cualquier caso, los extremos del intervalo son abiertos (porque la
desigualdad es estricta).
1.

11. Bibliografía
Fuentes consultadas:
 https://concepto.de/que-es-un-conjunto/
 https://deconceptos.com/matematica/conjunto
 https://www.lucidchart.com/pages/es/que-es-un-diagrama-de-venn
 https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-matematica/
 https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-matematica.html
 http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/34_Valor_Absoluto_html/index.html
 https://miprofe.com/valor-absoluto/
 https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities#:~:text=La%20desigualdad%20%7C%20x%20%7C%20%3E%204,0%20es%20m
ayor%20que%204.&text=conjunto%20soluci%C3%B3n%20es%20.-
,Cuando%20se%20resuelven%20desigualdes%20de%20valor%20absoluto%2C%20hay%20
dos%20casos,de%20valor%20absoluto%20es%20positiva.
 https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-
OperacionesConjuntos.php#:~:text=Las%20operaciones%20con%20conjuntos%20tambi%
C3%A9n,diferencia%2C%20diferencia%20sim%C3%A9trica%20y%20complemento.