1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
Números Reales
Alumna: Cindy Camacho
Sección: 0406
CI: 26.556.401
2. Definición de Conjuntos
Es una colección de objetos o entes cualesquiera.
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe ala signo ∈.
Para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto, se escribe el mismo signo ∈, pero
cruzado por una raya ∉.
Ejemplos:
Los días de la semana forman un conjunto donde domingo ∈ a los días de la semana
Lunes ∈ a los días de la semana.
Enero ∉ a los días de la semana.
Reloj ∉ a los días de la semana.
Los conjuntos se representan por letras mayúsculas y los elementos por letras minúsculas.
Cuando se escribe a ∈ A, se indica que a es un elemento del conjunto A.
En matemáticas, los conjuntos de los números más importantes se designan con
determinadas letras:
-N representa al conjunto de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5….
-Z representa al conjunto de los números enteros: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…
-Q representa al conjunto de los números racionales: (enteros y fraccionarios): 1 /
2, 3 / 5, 5 / 7, 2, 27…
-I representa al conjunto de los números irracionales: √2, √3 , 𝜋, e…
-R representa al conjunto de los números reales, que engloba a todos a los
anteriores.
-C representa al conjunto de los números complejos, que son los de la forma: a
+ bi, siendo a y b números reales e i un numero imaginario, tal que i2 = -1:3 + 2i, 1 –i…
Operaciones con conjuntos
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos
dados, para obtener nuevos conjuntos:
3. Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es
el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los
conjuntos A y B.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que
resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
4. Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos
los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A'
estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no
a ambos a la vez.
5. Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer
elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a
Números Naturales
Son el conjunto de números sobre los que estudian las matemáticas, ya que son todos los
números que pueden ser representados
en una recta numérica. Como conjunto, los números reales contiene a los siguientes
subconjuntos:
Los números enteros (Z), que a su vez está compuesto por:
Los números naturales (N): Son todos los números enteros positivos.
Lo números negativos.
El cero.
Los números racionales (Q), que son todos los que se representan por un cociente o
fracción, o por números decimales exactos o periódicos. Se dividen en:
Las fracciones, que expresan el cociente entre dos cantidades.
Los decimales, que expresan el resultado de un cociente fraccionario.
Los números irracionales (I), son los que expresan resultados numéricos cuyo resultado
decimal no es periódico y se extiende al infinito.
Los números Trascendentes (T), son un subconjunto de los números irracionales y algunos
racionales, que expresan relaciones matemáticas muy importantes, como la relación entre la
circunferencia y el radio, el número pi (π).
Generalmente el conjunto de los números reales es representado por la letra “R”, y se les
6. aplican las operaciones y las diferentes propiedades de operación estudiadas en aritmética y
en álgebra:
Los números reales en conjunto se representan por la letra R pero hay una subdivisión que
contiene las dos siguientes:
1. Números reales positivos = R+
2. Números reales negativos = R-
Representando R+ a los números reales positivos, que en la recta numérica corresponden al
positivo y que generalmente están a la derecha.
Representando R- a los números negativos, que en la recta numérica corresponden al
negativo y que generalmente están a la izquierda.
Ejemplo de números reales:
Números naturales (enteros positivos):
1
3
7
9
15
Números enteros negativos:
– 1
– 3
– 7
– 9
– 15
– 45
Números racionales:
Números fraccionarios:
8. Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Conmutativa Suma
Multiplicación
A + b = b + a
ab = ba
El orden al sumar o
multiplicar reales
no afecta el
resultado.
2+8 = 8+2
5(-3) = ( -3)5
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Asociativa Suma
Multiplicació
n
a+(b + c)=(a+b)+c
a(bc) = (ab)c
Puedes hacer
diferentes
asociaciones al
sumar o
multiplicar
reales y no se
afecta el
resultado.
7+(6+1)=(7+6)+1
-2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Identidad Suma
Multiplicación
a + 0 = a
a x 1= a
Todo real sumado a 0 se
queda igual; el 0 es
la identidad aditiva.
Todo real multiplicado
por 1 se queda
igual; el 1 es
la identidad
multiplicativa.
-11 + 0 = -11
17 x 1 = 17
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Inversos Suma
Multiplicación
a + ( -a) = 0 La suma de
opuestos es cero.
El producto de
recíprocos es 1.
15+ (-15) = 0
9. DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE
La expresión a ≠ b significa que " a " no es igual a " b”.
Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b
”, cuando la diferencia a − b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la
diferencia a − b es negativa.
La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b
pero no ambos. Por su parte, la notación a ≤ b que se lee “a es menor o igual que b”,
significa que a < b o que a = b pero no ambos.
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas
relacionadas con alguno de los símbolos >, <,> o <.
Ejemplos de desigualdades:
1) 4 > 3
2) a < 10
3) b ≥ 5
4) x2 ≤ 1
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda
del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la
derecha, forman el segundo miembro.
De la definición de desigualdad, se deduce que:
• Todo número positivo es mayor que cero
• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto
• Si a > b entonces b < a.
Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo
Distributiva Suma respecto
a
Multiplicación
a(b+c) = ab + ac El factor se
distribuye a cada
sumando.
2(x+8) =
2(x) + 2(8)
10. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el
primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de
sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.
Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales
• Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las
literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x
• Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las
literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice
que 5 es el límite de x.
Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones
Sean a, b ∈ R y a ≠ 0, una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:
Ax + b> 0
Ax + b> 0
Ax + b< 0
Ax + b< 0
Propiedades de las desigualdades:
Sean a, c, b a tres números reales.
I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a
cada miembro
Esto es, si a > b, entonces se cumple que a + c > b + c
Ejemplos: Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple
que 7 + 2 > 3 + 2, ya que: 9 > 5
II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un
mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.
Esto es, dado un número c > 0, si a > b entonces se cumple que a ⋅ c > b ⋅ c y que
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝐶
Ejemplos.
Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que
5⋅3 > 2 ⋅3, ya que 15 > 6
11. III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un
mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.
Esto es, dado un número c < 0, si a > b entonces se cumple que a ⋅ c < b ⋅ c y que
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
Ejemplos. Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por − 4 a ambos miembros, entonces, se
cumple que 6(− 4) < 3(− 4), ya que − 24 < −12
INECUACIONES ENTERAS
Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las
ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones
tienen infinitas soluciones. El procedimiento para resolverlas es similar al de las
ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades.
Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los
términos de un miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para
que aquellos que contienen a la incógnita queden en el primer miembro y los términos
independientes en el otro. Finalmente, para despejar la incógnita se divide por el valor del
coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera propiedad de las desigualdades, según
el signo del coeficiente.
Ejemplo 4x + 6 > 2x – 8
Solución.
Se transponen términos:
4x − 2x > −8 – 6
Se reducen los términos semejantes:
2x > −14
Dividiendo por 2:
x >
−14
2
⇒ x > -7
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Para resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican sus dos miembros
por el mínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se
reduce para convertirla en una inecuación entera. Cuando el denominador contiene la
incógnita, tiene que analizarse cuando es tanto positiva como negativa. Para ambos casos
12. debe obtenerse la respectiva intersección de las restricciones. La solución de la inecuación,
es la unión de los dos intervalos obtenidos.
Ejemplo Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias:
𝟐
𝟓
+
𝟏
𝟑
x >
𝟒
𝟓
x -
𝟕
𝟑
Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que
es 15:
15(
2
5
+
1
3
𝑥)> 15(
4
5
𝑥 −
7
3
)
Se efectúan las operaciones para cada término:
6 + 5x >12x – 35
Se transponen términos:
5x −12x > −35 – 6
Se reducen los términos semejantes:
− 7x > −41
Dividiendo por − 7 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
X<
−41
−7
⇒ <
41
7
DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:
ax2 + bx + c > 0 o ax2 + bx + c ≥ 0 o ax2 + bx + c < 0 o ax2 + bx + c ≤ 0
Donde a, b y c son números reales y a ≠ 0 . Su solución generalmente representa un
intervalo o la unión de dos intervalos de números reales.
Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número
de prueba.
Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática
Ax2+ bx + c = 0.
Ejemplo X2 -9 < 0
X2 = 9
13. x = ± √9
x = ±3
Los números críticos son:
r1 = 3 y r2 = - 3
Definición de Valor absoluto
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica hasta
un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de
x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).
Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los valores absolutos están
representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se lee como módulo de x).
El valor absoluto se define como:
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {x|-4 <x <4}
Cuando se resuelven desigualades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
14. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b , entonces a < b Y a >
- b
Ejemplo A: | x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sumo 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es {x | x < -4 o x >4}
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b , entonces a > b O a <
- b .
15. Ejemplo B : | X + 2| ≥ 4
Separe en dos desigualdades.
X + 2 ≥ 4 o x + 2 ≤ -4
Resto 2 de cada lado en cada desigualdad.
X ≥ 2 O X ≤ -6
La gráfica se vería así:
Ejercicio resuelto en (Cafetería virtual: 2(x + 3) –4(x –2) < x +5
2x + 6 – 4x + 8 < x + 5
2x – 4 x –x < 5 – 6 – 8
–3x < –9
X <
–𝟗
–𝟑
X < + 3
Ejercicio para resolver en (Cafetería virtual)
2(x-5)>3
