Definiciones matemáticas:
Conjuntos
Numero Reales
Valor Absoluto
Desigualdad de valor absoluto
Planos cartesianos
Representación gráfica de las cónicas
Este archivo te servirá para recordar y manejar mejor temas sobre los números reales y conjuntos ademas de valor absoluto, así como también una serie de ejercicio resueltos que te ayudaran a entender mejor la teoría
Este archivo te servirá para recordar y manejar mejor temas sobre los números reales y conjuntos ademas de valor absoluto, así como también una serie de ejercicio resueltos que te ayudaran a entender mejor la teoría
Presentacion de matematica
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
Unidad 2: Números Reales y Plano Numérico
Maickel Pineda
CI: 30.304.460
Aula 0103
Universidad Politécnica Territorial Del estado Lara
"Andrés Eloy Blanco"
Programa Nacional De Formación en Agroalimentación
La siguiente presentación ejecutada por mi persona Angeli Dannielys Peña Suárez, estudiante de la Universidad Politécnica Territorial Andes Eloy Blanco te sera de gran ayuda para saber un poco mas acerca de de los conceptos y ejemplos de los conjuntos, pertenencia, agrupación, intersección, operaciones con conjuntos, los números reales y sus conjuntos, desigualdades, valor absoluto, desigualdades con valor absoluto, plano numérico y las cónicas.
Presentacion de matematica
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
Unidad 2: Números Reales y Plano Numérico
Maickel Pineda
CI: 30.304.460
Aula 0103
Universidad Politécnica Territorial Del estado Lara
"Andrés Eloy Blanco"
Programa Nacional De Formación en Agroalimentación
La siguiente presentación ejecutada por mi persona Angeli Dannielys Peña Suárez, estudiante de la Universidad Politécnica Territorial Andes Eloy Blanco te sera de gran ayuda para saber un poco mas acerca de de los conceptos y ejemplos de los conjuntos, pertenencia, agrupación, intersección, operaciones con conjuntos, los números reales y sus conjuntos, desigualdades, valor absoluto, desigualdades con valor absoluto, plano numérico y las cónicas.
* Definición de Conjuntos.
*Operaciones con Conjuntos.
*Números Reales.
*Desigualdades.
*Definición de Valor Absoluto.
*Desigualdades de Valor Absoluto.
Números reales y plano numérico:
Conjunto:
Operaciones con conjuntos:
Números reales:
Desigualdad:
Propiedades de las inecuaciones:
Valor absoluto:
Desigualdades de valor absoluto:
Plano numérico:
Representación grafica de las cónicas:
Biological screening of herbal drugs: Introduction and Need for
Phyto-Pharmacological Screening, New Strategies for evaluating
Natural Products, In vitro evaluation techniques for Antioxidants, Antimicrobial and Anticancer drugs. In vivo evaluation techniques
for Anti-inflammatory, Antiulcer, Anticancer, Wound healing, Antidiabetic, Hepatoprotective, Cardio protective, Diuretics and
Antifertility, Toxicity studies as per OECD guidelines
Embracing GenAI - A Strategic ImperativePeter Windle
Artificial Intelligence (AI) technologies such as Generative AI, Image Generators and Large Language Models have had a dramatic impact on teaching, learning and assessment over the past 18 months. The most immediate threat AI posed was to Academic Integrity with Higher Education Institutes (HEIs) focusing their efforts on combating the use of GenAI in assessment. Guidelines were developed for staff and students, policies put in place too. Innovative educators have forged paths in the use of Generative AI for teaching, learning and assessments leading to pockets of transformation springing up across HEIs, often with little or no top-down guidance, support or direction.
This Gasta posits a strategic approach to integrating AI into HEIs to prepare staff, students and the curriculum for an evolving world and workplace. We will highlight the advantages of working with these technologies beyond the realm of teaching, learning and assessment by considering prompt engineering skills, industry impact, curriculum changes, and the need for staff upskilling. In contrast, not engaging strategically with Generative AI poses risks, including falling behind peers, missed opportunities and failing to ensure our graduates remain employable. The rapid evolution of AI technologies necessitates a proactive and strategic approach if we are to remain relevant.
How to Make a Field invisible in Odoo 17Celine George
It is possible to hide or invisible some fields in odoo. Commonly using “invisible” attribute in the field definition to invisible the fields. This slide will show how to make a field invisible in odoo 17.
Palestine last event orientationfvgnh .pptxRaedMohamed3
An EFL lesson about the current events in Palestine. It is intended to be for intermediate students who wish to increase their listening skills through a short lesson in power point.
Read| The latest issue of The Challenger is here! We are thrilled to announce that our school paper has qualified for the NATIONAL SCHOOLS PRESS CONFERENCE (NSPC) 2024. Thank you for your unwavering support and trust. Dive into the stories that made us stand out!
Introduction to AI for Nonprofits with Tapp NetworkTechSoup
Dive into the world of AI! Experts Jon Hill and Tareq Monaur will guide you through AI's role in enhancing nonprofit websites and basic marketing strategies, making it easy to understand and apply.
The French Revolution, which began in 1789, was a period of radical social and political upheaval in France. It marked the decline of absolute monarchies, the rise of secular and democratic republics, and the eventual rise of Napoleon Bonaparte. This revolutionary period is crucial in understanding the transition from feudalism to modernity in Europe.
For more information, visit-www.vavaclasses.com
June 3, 2024 Anti-Semitism Letter Sent to MIT President Kornbluth and MIT Cor...Levi Shapiro
Letter from the Congress of the United States regarding Anti-Semitism sent June 3rd to MIT President Sally Kornbluth, MIT Corp Chair, Mark Gorenberg
Dear Dr. Kornbluth and Mr. Gorenberg,
The US House of Representatives is deeply concerned by ongoing and pervasive acts of antisemitic
harassment and intimidation at the Massachusetts Institute of Technology (MIT). Failing to act decisively to ensure a safe learning environment for all students would be a grave dereliction of your responsibilities as President of MIT and Chair of the MIT Corporation.
This Congress will not stand idly by and allow an environment hostile to Jewish students to persist. The House believes that your institution is in violation of Title VI of the Civil Rights Act, and the inability or
unwillingness to rectify this violation through action requires accountability.
Postsecondary education is a unique opportunity for students to learn and have their ideas and beliefs challenged. However, universities receiving hundreds of millions of federal funds annually have denied
students that opportunity and have been hijacked to become venues for the promotion of terrorism, antisemitic harassment and intimidation, unlawful encampments, and in some cases, assaults and riots.
The House of Representatives will not countenance the use of federal funds to indoctrinate students into hateful, antisemitic, anti-American supporters of terrorism. Investigations into campus antisemitism by the Committee on Education and the Workforce and the Committee on Ways and Means have been expanded into a Congress-wide probe across all relevant jurisdictions to address this national crisis. The undersigned Committees will conduct oversight into the use of federal funds at MIT and its learning environment under authorities granted to each Committee.
• The Committee on Education and the Workforce has been investigating your institution since December 7, 2023. The Committee has broad jurisdiction over postsecondary education, including its compliance with Title VI of the Civil Rights Act, campus safety concerns over disruptions to the learning environment, and the awarding of federal student aid under the Higher Education Act.
• The Committee on Oversight and Accountability is investigating the sources of funding and other support flowing to groups espousing pro-Hamas propaganda and engaged in antisemitic harassment and intimidation of students. The Committee on Oversight and Accountability is the principal oversight committee of the US House of Representatives and has broad authority to investigate “any matter” at “any time” under House Rule X.
• The Committee on Ways and Means has been investigating several universities since November 15, 2023, when the Committee held a hearing entitled From Ivory Towers to Dark Corners: Investigating the Nexus Between Antisemitism, Tax-Exempt Universities, and Terror Financing. The Committee followed the hearing with letters to those institutions on January 10, 202
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxPavel ( NSTU)
Synthetic fiber production is a fascinating and complex field that blends chemistry, engineering, and environmental science. By understanding these aspects, students can gain a comprehensive view of synthetic fiber production, its impact on society and the environment, and the potential for future innovations. Synthetic fibers play a crucial role in modern society, impacting various aspects of daily life, industry, and the environment. ynthetic fibers are integral to modern life, offering a range of benefits from cost-effectiveness and versatility to innovative applications and performance characteristics. While they pose environmental challenges, ongoing research and development aim to create more sustainable and eco-friendly alternatives. Understanding the importance of synthetic fibers helps in appreciating their role in the economy, industry, and daily life, while also emphasizing the need for sustainable practices and innovation.
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...Sandy Millin
http://sandymillin.wordpress.com/iateflwebinar2024
Published classroom materials form the basis of syllabuses, drive teacher professional development, and have a potentially huge influence on learners, teachers and education systems. All teachers also create their own materials, whether a few sentences on a blackboard, a highly-structured fully-realised online course, or anything in between. Despite this, the knowledge and skills needed to create effective language learning materials are rarely part of teacher training, and are mostly learnt by trial and error.
Knowledge and skills frameworks, generally called competency frameworks, for ELT teachers, trainers and managers have existed for a few years now. However, until I created one for my MA dissertation, there wasn’t one drawing together what we need to know and do to be able to effectively produce language learning materials.
This webinar will introduce you to my framework, highlighting the key competencies I identified from my research. It will also show how anybody involved in language teaching (any language, not just English!), teacher training, managing schools or developing language learning materials can benefit from using the framework.
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...
Matemática II Unidad
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
“ANDRES ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO ESTADO LARA
PARTICIPANTE:
Norneris Meléndez
CI: 17380599
Sección: 0401
BARQUISIMETO MARZO 2021
2. Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza,
es decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas
propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los
elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
3. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para
formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B
será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con
todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El
símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el
siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para
representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que
se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.
También se puede graficar
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la
unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
4. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A
y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A ∩ B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Intersección de conjuntos.
5. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde
de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos
entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el
mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
6. .
.Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará
formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que
se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
7. Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los
siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En
esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el
conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto
del cual se hace la operación de complemento.
8. A la unión del conjunto I de los números
irracionales con el conjunto Q de los números
racionales se le llama conjuntos de los números
reales y se denota con la letra 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼
Los números Naturales (N) los numero entero (Z), todos
números enteros es un numero Racional (Q) y todo numero
racional es un numero real(R). Se puede escribir:
𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅
El conjunto I no tienen elementos comunes con Q. por lo
tanto, la intersección de ambos de ambos conjuntos es el
conjunto vacío, lo cual en símbolos se expresa así: Q ∩ 𝐼 =
⊘
Pero el conjunto I es subconjunto de R, es decir 𝐼 ⊂ 𝑅.
Los subconjuntos notables de R son:
El conjunto de los números reales sin el cero, que se
denota así: 𝑅+ = 𝑅 − 0
El conjunto de los números reales positivos que se
denota así: 𝑅+
El conjunto de los números reales negativo que se
denota asi: 𝑅−
9. 𝑁 ∩ 𝑍− =⊘. el conjunto de los números naturales
no tienen elementos en común con el subconjunto
de los enteros negativos, por lo tanto, su
intersección es conjunto vacío.
𝑄−
∪ 𝑄+
= 𝑄∗
. AL UNIR LOS subconjuntos 𝑄−
y 𝑄+
se
obtienen todos los racionales negativos y positivos sin el
cero, es decir , 𝑄∗.
𝐼 ∩ 𝑅− = 𝐼−. Al intersectar los irracionales
con los reales negativos, los elementos
comunes a ambos son los irracionales
negativos.
𝑁 ∪ 𝐼 = 𝑁 ∪ 𝐼. Como el conjunto 𝑁 no tiene
elementos en común con el conjunto
𝐼, su union no corresponde a ningun a ningún
conjunto o subconjunto notable y por ello el
resultado se expresa de esa forma.
𝑅∗
∪ 0 = 𝑅. El conjunto de todos los
números reales sin el cero se denota
así: 𝑅∗
, por lo tanto al unirlo con el
cero se obtienen todo el conjunto
10. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c = a+(b+c).
La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
11. El valor absoluto de un numero 𝑥 , es el valor no negativo
de x sin importar el signo, sea positivo o negativo. Asi, 7 es
el valor absoluto de +7 y de -7
El valor absoluto de un numero real a, denotado por 𝑎 , se como:
𝑎 =
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 < 0
O sea, el valor absoluto de un numero real es igual
al mismo numero si este es 0 ó positivo y es igual a
su inverso aditivo si es negativo
Sabemos que todo numero positivo x tiene dos raíces
cuadradas, una positiva y otra negativa. A la positiva
la denotamos con 𝑥 y a la negativa con - 𝑥.
Considerando que 𝑎2 es raíz cuadrada
positiva de 𝑎2
, se tiene que:
𝑎2 = 𝑎
De la definición obtenemos que:
1. 𝑎 ≥ 0; ⋁𝑎 ∈ 𝑅
2. − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎 ;∨ 𝑎 ∈ 𝑅
3. 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = −𝑎
-a a
0
Teorema
Para todo numero real 𝑎 > 0 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
1. 𝑥 < 𝑎 ⟺ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
1. 𝑥 > 𝑎 ⟺ 𝑥 < −𝑎 ó 𝑥 > 𝑎
2. 𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
3. 𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 ó 𝑥 ≥ 𝑎
a
-a 0
-a a
0
-a a
0
12. Una desigualdad de valor absoluto es una
desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia
entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es 𝑥 ∥ −4 < 𝑥 < 4 .
Cuando se resuelven desigualdades de valor
absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de
estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales
a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
13. La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a >
b O a < - b .
Desigualdades de valor absoluto
14. Es el conjunto ℝ2 formado por todos los pares
ordenados (a,b) de números reales. Estos es
ℝ2
= 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
EsTamos usando la misma notación para expresar tanto al par 𝑎, 𝑏 .
Debemos recordar que un par ordenados de números reales es una
pareja de números reales, en la cual se distingue un orden. Es decir, en
general, 𝑎, 𝑏 ≠ 𝑏, 𝑎 .
Dos pares ordenados 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 son iguales, si y solo si 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑.
Es de fundamental importancia tener una representación geométrica de ℝ2. Para esto
se toma un plano cualquiera al cual fijamos. Sobre este plano tomamos dos rectas
numéricas perpendiculares a la misma escala y cuyo orígenes coinciden.
Esta dos rectas nos permiten establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos P del
plano y los pares ordenados 𝑥, 𝑦 de números reales, así como se muestra en la figura a
continuación. A la recta X o eje e las abscisas. La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas.
15. El punto de intersección es el punto 0 de los ejes es el origen. Si al
punto P le corresponde el par 𝑥, 𝑦 , diremos que 𝑥 e 𝑦 son las
coordenadas de P, siendo 𝑥 su abscisa e 𝑦 su ordenada. Con el objeto de
abreviar, identificaremos el punto P con el par 𝑥, 𝑦 , y escribimos P =
𝑥, 𝑦 , así tenemos por ejemplo 𝐴 = 0, 0 . Esta correspondencia
biunívoca también nos permite identificar al plano con ℝ2
-1
-2
-3
-y
y
3
2
Y
1
1 2 X 3 4 x
-X -4 -3 -2 -1
𝑃 = 𝑥, 𝑦
Plano
Cartesiano
Se ha adoptado el nombre de “Cartesiano” en honor
al celebre matemático y filosofo Rene Descarte
(1.596 - 1650), a quien se le otorga la paternidad
de la geometría analítica. El plano, provisto con
este sistema de coordenadas recibe el nombre de
PLANO CARTESIANO .
16. Distancia
La distancia entre los puntos 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1 𝑦 𝑝2 𝑥2 , 𝑦2 es
𝑑 𝑝1, 𝑝2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
Tomemos el triangulo rectángulo que tiene por hipotenusa
el segmento que une 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1 𝑦 𝑝2 𝑥2 , 𝑦2 y por
catetos, los segmentos paralelos a los ejes indicados en la
figura .
Las longitudes de los catetos son 𝑥2 − 𝑥1 y 𝑦2 − 𝑦1 . La
distancia 𝑑 𝑝1, 𝑝2 es la longitud de la hipotenusa. Luego,
aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
𝑑 𝑝1, 𝑝2 = 𝑥2 − 𝑥1
2
+ 𝑦2 − 𝑦1
2
De donde obtenemos : 𝑑 𝑝1, 𝑝2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1
𝑝2 𝑥2 , 𝑦2
𝑥2
𝑥1
𝑦1
𝑦2
17. Punto
Medio
El punto medio del segmento de rectas de extremos 𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1 𝑦 𝑝2 𝑥2 , 𝑦2 es el punto
𝑀 =
𝑥1 + 𝑥2
2
, 𝑦1 +𝑦2
2
Sea 𝑀 = 𝑥 , 𝑦 .
Proyectamos el segmento sobre los ejes .
Por ser Sea 𝑀 = 𝑥 , 𝑦 el punto medio de los intervalos
𝑥1 , 𝑥2 e 𝑦1 , 𝑦2 , respectivamente . Luego,
𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦 ⟹
2𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 e 2𝑦 = 𝑦1+𝑦2 ⇒ 𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
e 𝑦 =
𝑦1+𝑦2
2
𝑃1 = 𝑥1 , 𝑦1
𝑝2 𝑥2 , 𝑦2
𝑀 = 𝑥 , 𝑦 .
𝑥1 x 𝑥2
𝑦2
y
𝑦1
18. La
Circunferencias
La circunferencia de centro 𝑐 = ℎ , 𝑘
Y radio 𝑟 tiene por ecuación
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟
En particular, si el centro es el origen,
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑃 = 𝑥 , 𝑦 esta en la circunferencia ⟺
𝑑 𝑃 , 𝐶 = 𝑟 ⟺ 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2= r
⟺ 𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟
Puede ser vista como la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
a la cual le
hemos aplicado la traslación que lleva el origen 0,0 al punto .
𝑟
𝑘
ℎ
P= ℎ , 𝑘
0 x
𝑦
19. La
Parábola
Se le llama parábola al grafico de cualquiera de las dos ecuaciones siguientes
donde a, b y c son constantes con 𝑎 ≠ 0
1) 𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
2) 𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐
Las parábolas mas simples, y de las cuales se pueden obtener todas las otras
mediante traslaciones y reflexiones en la diagonal principal, son parábolas que
tienen por ecuación.
3 𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 ≠ 0
La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según 𝑎 > 0 𝑜 𝑎 < 0
𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 > 0 𝑦 = 𝑎𝑥2
, 𝑎 < 0
y
y
x
0
1 , 𝑎
−1 , 𝑎
x
−1 , 𝑎 1 , 𝑎
20. La
Parábola
Si en la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑦2
intercambiamos las variables x e y, obtenemos las parábolas
4 𝑥 = 𝑎𝑦2
Esta parábola, de acuerdo al criterio de inversión, se obtienen a partir de las
anteriores, reflejando en la diagonal principal.
La parábola es un curva simétrica. Se llama vértice de la parábola al punto
donde el eje de simetría corta a la parábola. En los casos anteriores, el vértice
es el origen O= 0 , 0
−𝑎 , 1
−𝑎 , −1
0
𝑦
x
𝑎 , 1
𝑎 , −1
0
𝑦
x
𝑥 = 𝑎𝑦2
, 𝑎 > 0 𝑥 = 𝑎𝑦2
, 𝑎 < 0
21. Llamaremos elipse en posición normal al grafico de las siguiente ecuación
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Donde a y b son dos números positivos. A esta ecuación la llamaremos ecuación normal de
la elipse con centro en origen.
Esta ecuación no se altera si cambiamos x por –x o por –y. Esto significa que la elipse es
simétrica respecto al eje x, al eje y por lo tanto, también al origen
hallemos la intersección con los ejes
𝑦 = 0 ⟹ 𝑥2
= 𝑎2
⟹ 𝑥 = 𝑎 ò 𝑥 = −𝑎
Luego, la curva intersecta al eje X en
𝑎, 0 𝑦 −𝑎, , 0
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2 = 𝑏2 ⟹ 𝑦 = 𝑏 ò 𝑦 = −𝑏
Luego, la curva intersecta al eje Y en 0, 𝑏 𝑦 0 − 𝑏 .
Por ser la elipse en posición normal simétrica respecto
al origen, diremos que este es su centro.
y
x
0
a
-a
-b
b
22. Se le llama hipérbola en posición normal al grafico de cualquiera de las dos
ecuaciones siguientes, donde a y b son dos constantes positivas. A estas
ecuaciones las llamaremos ecuaciones normales de la hipérbola con centro
en origen.
1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 2
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1
𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥
𝑣1 𝑣2
𝑏
−𝑏
𝑎
−𝑎 𝑥
𝑦
𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥
𝑣1
𝑣2
−𝑏 𝑏
𝑎
−𝑎
𝑥
𝑦
Análisis de cada una de las ecuaciones
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 no se altera si se cambia x
por –x ò y por –y
Luego, esta hipérbola es simétrica
respecto a los dos ejes y al origen.
Esta hipérbola intersecta al eje x. en
efecto 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑎 ò 𝑥 = −𝑎.
Estos puntos de intersección:
𝑣1 = −𝑎 , 0 𝑦 𝑣2 = 𝑎 , 0 ,
Son los vértices de la hipérbola.
Esta hipérbola no intersecta al eje y. en efecto: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦2 = −𝑏2, pero
esta ultima ecuación no tiene soluciones reales.
23. De (1) obtenemos
𝑥2
𝑎2 = 1 +
𝑦2
𝑏2 ≥ 1 ⇒ 𝑥2
≥ 𝑎2
⇒ 𝑥 ≥ 𝑎 ⇒ 𝑥 ≥ 𝑎 ò 𝑥 ≤ −𝑎
Esto quiere decir que la hipérbola se compone de dos partes, a las que se les llama
ramas.
Se llama asíntotas de esta hipérbola a las rectas
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥, y = −
𝑏
𝑎
𝑥,
Esta recta se obtiene igualando a 0 el primer miembro de la izquierda de la
ecuación de la hipérbola. Así:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0 ⇒
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 0
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
= 0 ò
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 0 ⇒ 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥 ò 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥.
Las asíntotas tienen la particularidad de que ambas ramas de la hipérbola se van
aproximando cada vez mas a ellas, a medida que nos alejamos del origen.
Para graficar la hipérbola se recomienda trazar las asíntotas primero
2) Para la ecuación
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1, 𝑝𝑜𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠
Esta se puede obtener de la (1) intercambiando la x por la y. esto significa que la
hipérbola corresponde a (2) se obtienen reflejando en la diagonal principal la
hipérbola correspondiente se tiene:
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑣1 = 0, −𝑎 , 𝑣2 = 0, 𝑎 . 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑦 =
𝑎
𝑏
, 𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥
24. 1.)Ejercicios del Jorge Sáenz Calculo diferencial
Hallar una ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas y llevarla a la forma 𝑦 =
𝑚𝑥 + 𝑏
Pasa por el punto 1 , 3 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 5.
Ecuación del punto pendiente de la recta.
𝑝0= 𝑥0,𝑦0
⇒ 𝑝0 = 1 , 3
𝑚 = 5
Sustituimos los datos en la Ecuación
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 3 = 5 𝑥 − 1
𝑦 − 3 = 5𝑥 − 5
𝑦 = 5𝑥 − 5 + 3
𝑦 = 5𝑥 − 2
1 , 3
25. Hallar una ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas
Centro 2, −1 ; 𝑟 = 5
La circunferencia de centro 𝐶 = ℎ , 𝑘 𝑦 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝑥 − 2 2
+ 𝑦 − −1
2
= 52
𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 25
𝑦
𝑥
5
2, −1
2.)Ejercicios del Jorge Sáenz Calculo diferencial