This document defines and explains sets and operations on sets. It begins by defining a set as a collection of objects or elements. It then discusses set notation, listing elements within curly brackets. Various types of sets are defined, including finite, infinite, universal, and empty sets. Methods for defining sets by enumeration or description are presented. Common set operations like union, intersection, difference, and complement are defined using examples and Venn diagrams. Properties of sets and laws of sets such as commutativity, associativity, and distribution are stated. The document also discusses the real number system and subsets of real numbers. It defines absolute value and absolute value inequalities, explaining how to solve such inequalities by considering two cases.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
“ANDRES ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO ESTADO LARA
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
PARTICIPANTE:
Jeancarlos Freitez
CI: 14031831
Sección: DL0300
BARQUISIMETO MARZO 2021

2. CONJUNTO
DEFINICIÓN
De acuerdo a Spiegel, un conjunto es una colección de objetos llamados miembros o
elementos del conjunto. Algunos sinónimos de conjunto son: clase, grupo y colección.
Para Marques, un conjunto es un agregado o colección de objetos de cualquier naturaleza con
características bien definidas de manera que se puedan distinguir todos sus elementos. A los
objetos que lo componen se les llama elementos del conjunto.
NOTACIÓN
Un conjunto se denota con una letra mayúscula A, B, C y el elemento por una letra
minúscula a, b.
A los elementos se les encierra entre llaves ( {} ) y se separan por comas ( , ).
Ejemplos:
1. El conjunto D cuyos elementos son los números que aparecen al lanzar
un dado.
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. El conjunto de días de la semana.
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}
3. El conjunto de las vocales.
V = {a, e, i, o, u}
4. El conjunto de los enteros positivos menores que 10.
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
MÉTODOS PARA DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Al definir un conjunto se puede hacer de dos formas:
Método de Extensión o Numeración
En este método se hace un listado de sus elementos, si esto es posible.
Ejemplos:
1. El conjunto de las vocales en el alfabeto.
V = {a, e, i, o, u}
2. Lanzamiento de un par de dados comunes

3. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3. El conjunto de los triángulos en un plano.
El método de extensión para este caso no se puede utilizar.
Método de Comprensión o Descripción
Se describe alguna propiedad conservada por todos sus miembros y por los no miembros.
Ejemplos:
1. El conjunto de las vocales en el alfabeto.
V = {x | x es una vocal}
2 El conjunto de los triángulos en un plano
T = {x | x es un triángulo en un plano}
El conjunto del ejemplo 1 se lee “El conjunto de los elementos x tales que x es una vocal”.
La línea vertical | se lee “tal que” ó “dado que”. Para el ejemplo 2, se lee “El conjunto de los
elementos x dado que x es un triángulo en un plano”
TIPOS DE CONJUNTOS
Según la cantidad de elementos que tenga un conjunto, éstos se pueden clasificar de la
siguiente manera:
Conjuntos Finitos
Son los que tienen un número conocido de elementos.
Ejemplos:
El conjunto de números que aparecen al lanzar un dado.
El conjunto de días de la semana.
El conjunto de las vocales.
El conjunto de los enteros positivos menores que 10.
Conjuntos Infinitos
Son lo que tienen un número ilimitado de elementos.
El conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales entre 2 y 5
Conjunto universal
Es el conjunto de todos los elementos considerados en un problema o situación dada.

4. Ejemplos:
1. Si solo se desea trabajar con los números reales positivos, el conjunto
universal será U = R+ = (0, +∞)
2. Si se quiere trabajar con los números que aparecen en un dado, el conjunto
universal será U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Se puede notar que el conjunto universal no es único, depende de la situación.
Conjunto vacío
Un conjunto que no tiene elementos y se denota por ∅ ó { }
Ejemplos:
1. El conjunto A = {x ∈ ! / !!+ 1 = 0} es un conjunto vacío porque no hay
ningún número real que satisfaga !!+ 1 = 0.
2. El conjunto de los meses del año con 27 días.
DIAGRAMAS DE VENN
Cualquier figura geométrica cerrada (círculos, rectángulos, triángulos, óvalos, etc) sirve
para representar gráficamente las operaciones entre conjuntos, estos gráficos son llamados
Diagramas de Venn.
Normalmente, al conjunto universal se le representa con un rectángulo y los conjuntos con
un círculo o elipse, tal y como se muestra en la siguiente figura:
Los diagramas de Venn en ningún momento constituyen una prueba matemática; sin
embargo, permiten tener una visión intuitiva de la relación que puede existir entre los
conjuntos.
OPERACIONES DE CONJUNTOS
Unión
El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama
la unión de A y B y se escribe A ∪ B. (Área sombreada).

5. Intersección
El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B se llama la
intersección de A y B y se escribe A ∩ B. (Área sombreada).
Diferencia
El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llama la
diferencia de A y B y se escribe A – B. (Área sombreada).
Complemento
Son todos los conjuntos no en A y se escribe A’. (Área sombreada).

6. Ejemplos de Operaciones de Conjuntos
Sean:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {7, 8, 9}
 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7}
 𝐴 ∪ 𝐶 = {1,2,3,4,7,8,0}
 𝐵 ∪ 𝐶 = {3,4,5,6,7,8,9}
 𝐴 ∩ 𝐵 = {3,4}
 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅
 𝐵 ∩ 𝐶 = {7}
 𝐴´ = {5,6,7,8,9}
 𝐵´ = {1,2,8,9}
 C´={1,2,3,4,5,6, }
 𝐴 − 𝐵 = {1,2}
 𝐵 − 𝐴 = {5,6,7}
 𝐴 − 𝐶 = {1,2,3,4}
 𝐶 − 𝐴 = {7,8,9}
 𝐵 − 𝐶 = {3,4,5,6}
 𝐶 − 𝐵 = {8,9}
 (𝐴 ∪ 𝐵) = {8,9}
LEYES DE COCNJUNTOS
Ley conmutativa
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
Ley asociativa
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
Ley distributiva
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐶)

7. LOS NÚMEROS NATURALES
Los números Naturales (N) los numero entero (Z), todos números enteros es un numero
Racional (Q) y todo numero racional es un número real(R). Se puede escribir:
𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅
El conjunto I no tienen elementos comunes con Q. por lo tanto, la intersección de ambos
de ambos conjuntos es el conjunto vacío, lo cual en símbolos se expresa así: Q ∩ 𝐼 =⊘
Pero el conjunto I es subconjunto de R, es decir 𝐼 ⊂ 𝑅.
Los subconjuntos notables de R son:
 El conjunto de los números reales sin el cero, que se denota así: 𝑅+
= 𝑅 − {0}
 El conjunto de los números reales positivos que se denota así: 𝑅+
 El conjunto de los números reales negativo que se denota asi: 𝑅−
 A la unión del conjunto I de los números irracionales con el conjunto Q de los
números racionales se le llama conjuntos de los números reales y se denota con la
letra 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼
Conjuntos Numéricos
Números Naturales (𝑁) 𝑁 = (1,2,3,4,5,6,7,8,9 … … … … … )
Números Enteros (𝑍) 𝑍 = (… … … . −3, −2, −1,0, 1, 2, 3 … … )
Números Racionales (𝑄) 𝑄 = (… . ; −2; −1; − 1
2
⁄ ; 0; 1
2
⁄ ; 1; 3
2
⁄ ; 2 … … … . . )
Números Irracionales (𝐼) 𝐼 = (… . . ; 𝜋, √7;
3
2
𝜋; √29; ℮; … … . )
Números Reales (ℝ) ℝ = (… . . ; −2; −1; 0; 1;
3
2
𝜋; √2: ℮; 2; 3 … . . )
 𝑁 ∩ 𝑍−
=⊘. el conjunto de los números naturales no tienen elementos en común
con el subconjunto de los enteros negativos, por lo tanto, su intersección es conjunto
vacío.
 𝑄−
∪ 𝑄+
= 𝑄∗
. AL UNIR LOS subconjuntos 𝑄−
y 𝑄+
se obtienen todos los
racionales negativos y positivos sin el cero, es decir , 𝑄∗
.
 𝐼 ∩ 𝑅−
= 𝐼−
. Al intersectar los irracionales con los reales negativos, los elementos
comunes a ambos son los irracionales negativos.

8.  𝑁 ∪ 𝐼 = 𝑁 ∪ 𝐼. Como el conjunto 𝑁 no tiene elementos en común con el conjunto
𝐼, su union no corresponde a ningun a ningún conjunto o subconjunto notable y
por ello el resultado se expresa de esa forma.
 𝑅∗
∪ {0} = 𝑅. El conjunto de todos los números reales sin el cero se denota así: 𝑅∗
,
por lo tanto al unirlo con el cero se obtienen todo el conjunto
PROPIEDADES
 La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
 La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
 La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c = a+(b+c).
 La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
 Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0:
a+(-a)=0
 La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
 La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
 El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
 En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
 Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
 Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número |𝑥|, es el valor no negativo de x sin importar el signo, sea
positivo o negativo. Asi, 7 es el valor absoluto de +7 y de -7
El valor absoluto de un número real a, denotado por |𝑎|, se cómo:
|𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 < 0
O sea, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número si este es 0 ó positivo y
es igual a su inverso aditivo si es negativo
Sabemos que todo numero positivo x tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa.
A la positiva la denotamos con √𝑥 y a la negativa con -√𝑥.

9. Considerando que √𝑎2 es raíz cuadrada positiva de 𝑎2
, se tiene que:
√𝑎2 = |𝑎|
De la definición obtenemos que:
1. |𝑎| ≥ 0; ⋁𝑎 ∈ 𝑅
2. −|𝑎| ≤ 𝑎 ≤ |𝑎|;∨ 𝑎 ∈ 𝑅
3. |𝑥| = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 ó 𝑥 = −𝑎
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {𝑥 ∥ −4 < 𝑥 < 4}.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquier números reales a y b, si | a | < b, entonces a < b Y a >- b
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4.