Numeros reales, Conjuntos, desigualdades, valor absoluto
1. Números Reales, conjuntos,
desigualdades y valor absoluto
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Ministerio del P.P para la
Educación Universitaria Ciencia y Tecnología
Barquisimeto-Estado Lara
Integrante
Yoletzi Medina
C.I 16.385.768
Seccion:0406
Prof Consuelo
2. Definición de Conjuntos
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos
diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener
entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los
elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos,
por ejemplo:
es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.
Operaciones en Conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar
operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
3. Números Reales
Es el conjunto de números reales (denotado por R) Incluye tanto a los números:
Naturales que se representa con la letra N = 1,2,3,4
Enteros que se representa con al letra Z = -1,-2,-3,0 1,2,3
Racionales que se representa con la letra Q = a es decir 4
b 3
Irracionales que se representa con la letra I
Racionales es la agrupación de los conjuntos anteriores es la unión de los Q U I
Ejercicios :
a) 1/5 es un numero real racional
b) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,,es un numero real natural
c) 2 es un numero entero
d) 2 es un numero real irracional
e)-5,2 es un numero real racional
La Recta Real
Es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una
correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como
puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta
graduada como la entera de ordenados y separados con la misma distancia.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero.
2, 3 , 5
4. Recta Real :
-∞
R
Propiedades de los Números Reales
∞+
• El resultado de sumar dos números reales es
otro número real. Es decir, si a y b pertenecen a los
números reales, en lenguaje matemático esto mismo se
expresa: a + ∈ 𝑅
Interna
• El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado
es decir, ( a + b) + c = a ( b + c)
• Ejemplos : 2 + ( 5 + 8) = ( 2 + 5) + 8
• 10 + ( 13 + 15) = ( 10 + 13) + 15
Asociativa
5. • El orden de los sumandos no varía la suma a + b = b + a
• Ejemplos: 4 + 5 = 5 + 4 , 10 + 12 = 12 +10
Conmutativa
• El elemento neutro es un número que cumple que a + e =
e + a = a, para cualquier número a
• En el caso de los números reales, el 0 es el elemento
neutro de la suma porque todo número sumado con él da
el mismo número
• Ejemplos: 3+0 = 3 , 145+0= 145 , 2156 + 0 = 2156
Elemento Neutro
• Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos
como resultado el elemento neutro, en este caso, cero.
• Al opuesto de un número a se le denota como . - a
Entonces a – a = 0 El opuesto del opuesto de un número
es igual al mismo número – (-a) = a
Elemento Opuesto
6. • La diferencia de dos números reales se define como la
suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. a –
b = a + (-b )
Diferencia de
números reales
• Interna :
• El resultado de multiplicar dos números reales es otro
número real. a . b ∈ 𝑅
Producto de los
números reales de
la multiplicación
• El modo de agrupar los factores no varía el
resultado. Si , a , b y c son números reales cualesquiera,
se cumple que: ( a . b) . c = a . ( b . c)
• Ejemplos: 3.(6. 5)= (3 . 6) . 5 ; 4.(19 .5) = ( 4 . 19) .5
Asociativa
7. • El orden de los factores no varía el producto a . b = b . a
• Ejemplo : 3 . 7 = 7 . 3
Conmutativa
• El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque
todo número multiplicado por él da el mismo número. a . 1
= 1 . a = a
• Ejemplo : 1 .3 = 3 ; 125 . 1 = 125
Elemento Neutro
• Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos
como resultado el elemento unidad.
• a . 1 = 1
• a
Elemento Opuesto
8. • El producto de un número por una suma es igual a la suma
de los productos de dicho número por cada uno de los
sumandos.
• a . ( b + c) = a . b + a . C
• Ejemplo : 5 ( 2 + 3) = 5 . (2) + 5 .(3)
• 5 (5) = 10 +15
• 25 = 25
Distributiva
• Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
• Si varios sumandos tienen un factor común, podemos
transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
• a . b + a . C = a . ( b + c)
• Ejemplo : Q = x² + 3x³y + 4x
• Resolución:
• El factor común de este polinomio será: «x» (el factor
común de menor exponente).
• Entonces la factorización será: Q = x(x + 3x²y + 4)
Factor común
9. Desigualdades
Es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través
de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que
≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar
que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
Menor que <
Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”
10. Valor absoluto
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero,
y opuesto de a, si a es negativo.
Ejemplos:
a)|5| = 5 |-5|= 5 |0| = 0
b) |X|= 2 X = -2 X = 2
c)|X|< 2 -2<X< 2 X∈ (-2,2)
d)|X|> 2 X< −2 ó X> 2 −∞, −2 𝑈 ( 2, +∞)
Propiedades
1. Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a|= |-a|
Ejemplo:
|5|= |-5|= 5
11. 2. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a . b|= |a | .| b|
Ejemplo:
|5 . (-2)|= |5| . |(-2)|
|-10|= |5| . |2|
10 = 10
3. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los
sumandos.
|a + b|≤ |a|+|b|
Ejemplo:
|5+ (-2)|≤|5|+ |(-2)|
|3|≤ |5| + |2|
3 ≤ 7
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la
diferencia de ambos números:
d(a,b) = |b - a|
Ejemplo: la distancia entre -5 y 4
d (-5 ,4) = |4 – (-5)|=
=|4+5|= |9|
12. Inecuaciones y desigualdades
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos
signos:
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de una inecuación se expresa mediante :
1.Una representación grafica
2. Un intervalo
Solución:
2X-1<7
2X<8 X<4
(-∞,4)
< Menor que 2x -1 < 𝟕
≤ Menor o igual a que 2x - 1≤ 7
> Mayor que 2x-1>7
≥ Mayor o igual que 2x-1≥7
14. Inecuaciones Equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la
inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número
positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número
negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5
Inecuaciones de Primer Grado
Una inecuación de primer grado es una desigualdad en la que la potencia de variable es uno.
Ejemplos: X+ 2 < 6, Es una inecuación de primer grado
3( x-1) + 2 [ 2 – x – 3( x+2)]≥ 5 (1 – x) +3, es una inecuación de primer grado
