This document defines key concepts related to real numbers and sets. It discusses the properties of real numbers, including their characteristics as being ordered, integral, and infinite. It also defines natural numbers, integers, rational numbers, and irrational numbers. The document then covers basic set operations like union, intersection, difference, symmetric difference, and complement. It concludes by defining absolute value and describing inequalities and properties of real numbers like closure of addition/multiplication.

1. Definición, operaciones con
conjunto, números reales y
desigualdades
Alumno: Moisés Vásquez 29795176
Sección: AD301-J
Profesora: Gloria Colmenares
Matemáticas: trayecto inicial

2. Concepto de números reales
• Se forma al combinar el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales el conjunto de numero reales
consiste en todo los números que tienen un lugar en la recta numérica.
• Son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racional e irracional y se presenta con la letra R.
Características de los números reales.
Orden: todos los números reales tienen un orden.
1> 2> 3> 4> 5…
… -5< -4< -3< -2< -1< 0 …
Es el caso de fracciones y decimales:
0,550< 0,560< 0,565
3 4 5 6 7 8
15 17 18 19 20 21
Integral: la integridad de los números es que no hay espacios vacíos en este conjunto de números, esto significa que cada
conjunto tiene un limite superior, tiene un limite más pequeño.
Infinitud: los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir no tiene final, ya sea del lado positivo
como el negativo.
Expansión decimal: un numero real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinita. Se usan en
mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.
cada numero real se puede escribir como un decimal. Los irracionales tienen cifras decimales interminables. Ejemplo: pi R es
aproximadamente 3,14159265358979…

3. Números naturales
• Estos son los números con los que estamos mas cómodos: 1,2,3,4,5,6….
El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N. todos los números están
representados por los diez símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 que recibe el nombre de dígitos.
Números enteros: los números naturales y sus simétricos este incluye los enteros positivo. Esto incluye
los enteros positivos, el cero y los enteros negativos los números negativos se denota con un signo (-) se
designa por la letra mayúscula Z y se representa como Z = … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Un numero simétrico es aquel que sumado con su correspondiente numero natural da cero, es decir el
simétrico de N es –N, ya que N+(-N)= 0
Ejemplo: 5+(-5)= 0
Números racionales: fraccionamos según por la necesidad de medir cantidades continuas tales como la
longitud, el volumen y el peso, llevo al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de los racionales se
designa con la letra Q.
Q= p
q p,q ∈Z, 9≠0
Ejemplo: pastel dividido entre 3 se representa 1/3 para cada persona

4. Números irracionales:
• Comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador. Se representa con
la letra mayúscula I .
Ejemplo: 𝜋 = 3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún numero entero ni fraccionario, son números irracionales.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7
Propiedades de los números reales.
1- la suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ R, entonces a+b ∈ 𝑅.
2- la suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b= b+a.
3- la suma de los números es asociativa, es decir (a+b) +c= a (b+c).
4- la suma de un número real y 0 es el mismo numero; a+0= a.
5- para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0.
ejemplo: a+(-a) = 0.
6- la multiplicación de dos números reales es cerrada; si a y b ∈ R, entonces a.b ∈ 𝑅.
7- la multiplicación de dos números reales es conmutativa entonces a.b = b.a.
8- el producto de los números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b.c)
9- en la multiplicación el elemento neutro es el 1; entonces a.1 = a
10- para cada numero real a diferente de 0 existe otro numero real llamado el inverso multiplicativo. a.a-1 = 1
Si a,b y c ∈ 𝑅, entonces a(b+c)= (a.b)+(a.c)

5. Operaciones con conjunto
• Nos permite realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
De las operaciones con conjuntos veremos con unión, intersección, diferencia, diferencia
simétrica y complemento.
Unión de conjuntos: es la operación que nos permite unir dos o mas conjuntos para
formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin
que se repitan. Es decir dado un conjunto A y B será otro conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento, se
representa con el símbolo ∪.
Ejemplo: dado dos conjuntos A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B= { 8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos serán A∪ 𝐵={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} usando diagrama de venn.
A∪ 𝐵 también se puede graficar así
A∪ 𝐵
1 2 3
4 5 6 7 8
9 10 11
1
2 4 6
3 5 7
8 9
10 11

6. Intersección de conjunto
• Es la operación que nos permite formar un conjunto, solo con los elementos
comunes involucrados en la operación, es decir dado los conjuntos A y B la de
intersección de los conjuntos A y B estará formados por elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos y el símbolo que se usa ∩.
Ejemplo: dado los conjuntos A={1, 2, 3, 4, 5} y B={4, 5, 6, 7, 8, 9} la intersección de
estos conjuntos será A∩ 𝐵 = 4, 5 usando diagrama de B se tendría lo siguiente
A B
1
2
3
4 6 7
5 8 9

7. Diferencia de conjuntos
• Es la operación que nos permite formar un conjunto donde dos conjuntos, el
conjuntos resultante es el que tendrá todo los elementos que pertenece al
primero pero no al segundo. Es decir dado dos conjuntos A y B, la diferencia de
los conjuntos entre A y B estará formado por todos los elementos que A que no
pertenezcan a B. el símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción.
Ejemplo: A – B
A B
1
2
3
4 6 7
5 8 9

8. Diferencia de simétrica de conjuntos
• Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todo los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos A y B la diferencia simétrica estará formada por todo los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar
la operación de diferencia simétrica es ∆
Ejemplo: dado dos conjuntos A= ( 1, 2, 3, 4, 5) y B = (4, 5, 6, 7, 8, 9) la diferencia
simétrica de estos conjuntos será A ∆𝐵 {1, 2, 3, 6, 7,8,9} usando diagramas de B se
tendría.
A∆𝐵
A B
1
2
3
4 6 7
5 8 9

9. Complemento de un conjunto
• Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto incluido en el
conjunto universal ∪ entonces el conjunto formado por todos los elementos que
pertenezcan al conjunto A. en esta operación el complemento de un conjunto se
detona con un apóstrofe sobre el conjunto que se opera. A′
Ejemplo: dado el conjunto universal ∪= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y el conjunto A={1,
2, 9} el conjunto A’ estará formado por los siguientes elementos A’={3,4,5,6,7,8}
usando diagrama de venn sería.
A A’
3 4
5 6
7 8
1
2 9

10. Valor absoluto
• Es un valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea positivo o negativo así es 3 es el valor absoluto de +3 y de -3. el valor
absoluto esta vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contexto matemáticos y físicos.
La inecuación: es una desigualdad en la que aparecen uno o mas valores desconocidos, resolverlas es encontrar el conjunto de
todos los números reales para los cuales es verdadera. Todos los números que satisfacen la desigualdad constituye el conjunto
solución.
Suma de números reales: el resultado de sumar dos números reales es otro numero real, es decir si A y B pertenecen a los
números reales, en lenguaje matemático esto mismo se expresa a∈ 𝑅 entonces la suma resultará a+b∈R.
Asociativa: el resultado de multiplicar dos números reales es otro numero real a.b∈ R
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si A,B y C son números reales cualesquiera se cumple que: (a.b).c = a.(b.c)
Ejemplo: ( 2 . 𝜋). ∈ = 2. (𝜋 . e)
Conmutativa : el orden de los factores no varía el producto. A.b= b.a
Ejemplo: 2.
3
3 =
3
3. 2
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, por que todo numero multiplicado por el da el mismo número. A.1= 1.A= A.
Ejemplo: 𝜋.1= 𝜋
Un numero es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
Ejemplo:
𝜋. 1 = 1
𝜋

11. Distributiva
• El producto de un número por una suma es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada uno de los sumandos. A.b+a+c
Ejemplo: 2. ( 2+1)= 2. 2+ 2.1= 2+ 2
Factor común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva si varios
sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en
producto extrayendo dicho factor. A.b+a.c= a.(b+c)
Ejemplo: 𝝅 e2 + e3 = e2 .(𝜋+e)

12. Desigualdades del valor absoluto
• Es una desigualdad que tiene un signo valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto, la desigualdad |x|<4 significa que la distancia entre x y o es menor que 4.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Así x>4yx<4. el conjunto solución es { x1-4<x<4}
Cuando se devuelven desigualdades de valor absoluto hay dos casos a considerar.
Caso 1: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
Ejemplo:
Resuelva y grafica |x-7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad necesitamos descomponerla.
X-7<3yx-7>-3 -3 < x -7 >3
Sume 7 en cada expresión
-3+7< x-7+7< 3+7
4< x <10
La grafica se vería así. O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10