1. Los Conjuntos Sus
Operaciones y Los
Números Reales
Natalie Nicole Velásquez Rivas
Sección: 1101
Profesora: María Carruido
PNF: contaduría Pública
2. Los Conjuntos
Un conjunto se define como una colección de elementos con características
similares consideradas en sí mismas como un objeto. Pudiendo ser sus elementos:
números, colores, personas, figuras, letras etc. Se dice que un elemento (o miembro)
pertenece a un conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos posee.
Por ejemplo para los números naturales. Si se considera la propiedad de ser un número
primo, el conjunto de los números primos es:
P= (2, 3, 5, 7, 11,13,..)
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y nada más. Los
conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que
componen al conjunto se llaman elementos o miembros se dice que pertenecen al
conjunto y se denota mediante el símbolo la expresión A A se lee entonces como
A está, A o pertenece o contiene A para la noción contraria se usa el símbolo.
un conjunto es una colección de elementos con características similares considerado
en si mismo como un objeto, los elementos de un conjunto puede ser personas,
números, colores, letras , y figuras etc. ,se dice que un elemento(o miembro)
pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún nodo dentro de él
Ejemplo: el conjunto de colores del arcoíris es
Al{𝑟𝑜𝑗𝑜, 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 , 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑎𝑧𝑢𝑙, 𝑎ñ𝑖𝑙, 𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑡𝑎}
Operaciones con conjuntos
No podemos definir a un conjunto por ser un concepto primitivo pero hacemos
abstracción y lo pensamos como una colección desordenada de un objeto, los objetos
de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tenga una relación entre ellos, a
los conjuntos de un conjunto se les llama elementos de dicho conjunto por lo tanto un
conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los
elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchete o paréntesis
3. Ejemplo: la unión de los conjuntos son A=*1,2,3+ Y B=*2,4,6+ seria el conjunto
C=*1,2,3,4,6+ esto es: *1,2,3+ ∪ *2,4,6+ = *1,2,3,4,6+
Ejemplo: la coincidencia de A =*3,7,8+ Y B=*1,2,9+ seria C={ }, ya que *3,7,8+ ∩
*1,2,9+ = { }por lo tanto A y B son disjunto.
Producto cartesiano:
(Símbolo X) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C= A x
B donde los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a
A y un segundo elemento b perteneciente a B.
Ejemplos: *1, 𝑎, + ∪ *2, + = *2, , 1, 𝑎, +
El producto cartesiano de A= {2,3} Y B= {a, b, c}
es A x B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),}
Principio de inclusión- exclusión:
Es la generalización del resultado arbitrario de conjuntos, es una técnica muy
importante que se usa principalmente en los problemas de enumeración.
Matemáticamente se expresa de la siguiente manera: ∪ ∩
Un ejemplo de ello sucede cuando se quiere encontrar un cardinal de la unión de dos
conjuntos finitos A y B, se debe tener en cuenta que en A ∪ B cada elemento de A está
solo una vez en A, pero no en B, y viceversa, pero hay algunos elementos que pueden
pertenecer a A Y a B a la vez, es por ello que el principio de inclusión-exclusión se
basa en restar a la unión de dos conjuntos la intersección de ambos.
4. Identidad:
en el lenguaje matemático se entiende por identidad a dos objetos que aparentemente
son distintos por la forma en la que se representan, al final son lo mismo. Por lo tanto,
una identidad es una igualdad entre dos expresiones, entre los conjuntos existen una
serie de leyes de identidades expuestas a continuación:
Leyes de Identidad:
A ∪ = A, La unión de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío es el mismo
conjunto.
A ∩ U = U, La intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto universal, es el
conjunto universal.
Leyes de dominación:
A ∪ U = U, la unión de un conjunto cualquiera con el conjunto universal, es el
conjunto universal
A ∩ = la intersección de un conjunto cualquiera con el conjunto vacío, es el conjunto
vacío.
Leyes idempotentes:
A ∪ A = A, la unión de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo conjunto.
A ∩ A = A, la Intersección de un conjunto cualquiera consigo mismo, es el mismo
conjunto.
Ley de contemplación
̅, la negación de la negación de un conjunto cualquiera, es el mismo conjunto.
Leyes conmutativas:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
5. Leyes asociativas
A ∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C
Leyes distributivas:
A ∩ (B ∪ C)= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C)
Leyes de Morgan
∪ = ∩
∩ = ∩
Leyes de absorción:
A ∪ (A∩B)=A
A ∩ (A∪B)=A
Leyes de complemento
A ∪ = U, La unión de un conjunto cualquiera con su complementario, es el
conjunto universal.
A ∩ , La intersección de un conjunto cualquiera con su complementario, es el
conjunto vacío.
Uniones e intersecciones generalizadas
Las operaciones de unión y de intersección tienen la propiedad asociativa, por lo tanto si
tenemos tres conjuntos A, B y C…
La unión de esos tres conjuntos es otro conjunto Del cual contiene todos aquellos
elementos que están al menos en uno de los conjuntos A, B o C (A∪B∪C)
6. Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A, B y C solamente si x pertenece
al conjunto A o x pertenece al conjunto C.
Ejemplo:
sea A={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} y C={0,5,20} la unión de A,B y C es el conjunto
D= {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 13, 20}
Y la intersección de A, B y C es el conjunto D= {20}.
Los números
reales
Los números son cualquier número
que corresponda a un punto en la
recta real y puede clasificarse en
números naturales, enteros,
racionales e irracionales. En otras
palabras, cualquier número real está
comprendido entre menos infinito y
más infinito y podemos
representarlo en la recta real.
Se representan mediante la letra ℝ
Los números reales son todos los
números que encontramos más
frecuentemente dado que los
números complejos no se
encuentran de manera accidental,
sino que tienen que buscarse
expresamente.
7. Clasificación
de los
números
reales
Números naturales
N letra que representa a los
números naturales primeros
elementos del conjunto de
números naturales 1, 2, 3,4
Números enteros
Z la letra que representa el
conjunto de números enteros
Ejemplo de algunos de los
elementos del conjunto de
números enteros… -3,-2-1, 0
,1,2,3,…
Números racionales
Q la letra que representa el
conjunto de números racionales
Ejemplo de algunos de los elementos
del conjunto de números racionales
8
2
,
;7
5
,
2
3
17
;1
Números irracionales se
denota con la la letra que
representa I Ejemplo de
algunos elementos del
conjunto irracionales 3,𝜋.
8. Dominio de los números reales
Los números reales son los números comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir
no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
ℝ ( ∞, +)
Desigualdades
En el lenguaje matemático una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una
igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o
los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a > b significa que a es mayor que b
La notación a < b significa que a es menor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual que b; también puede leerse como estrictamente mayor que” o “estrictamente
menor que”.
La notación a ≥ b significa que a es mayor o igual que b
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
La notación 𝑎 ≪ significa a es mucho menor que b;
La notación 𝑎 ≫ significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general
una diferencia de varios ordenes de magnitud.
La notación 𝑎 ≠ significa que a no es igual a b. tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
9. Las desigualdades en sentido amplio ≤y≥ sobre los números reales son relaciones de
orden total, mientras que las desigualdades estrictas <y> sobre los números reales son
relaciones de orden estricto.
Notación encadenada: la notación a<b<c establece que a<b (a menor que b) y que (b
menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse
que a<c (a menor que c) obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o
restarse el mismo número real a los tres términos, así como también multiplicarlos o
dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones
según su signo. Así a < b+ e < c es equivalente a: a ▪ e < b < c ▪ e.
Esta inecuación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1.≤ a2
≤…≤ an establece que a ¡≤ a+ para i=1,2…,n-1. Según la propiedad transitiva esta
condición es equivalente a: a ¡ ≤ aj para cualesquiera 1≤i≤j≤n.
Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes
direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades
entre los términos adyacentes. Por ejemplo: a < b= c ≤ d
Significa que a < b = c ≤ d ( y por transitividad a < d).
Desigualdades entre medias: las distintas medias pueden relacionarse utilizando
desigualdades. Por ejemplo, para números positivos a1, a2,…an
Propiedades
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las
propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad
también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (<y>) son reemplazados por
sus símbolos correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤y≥).
Transitividad
Para los números reales arbitrarios a, b y c:
Si a > b y b>c entonces a > c.
Si a < b y b<c entonces a < c
Si a > b y b= c entonces a>c.
Si a < b y b= c entonces a<c.
10. Suma o adicción
Para los números reales arbitrarios a, b y c:
Si a < b entonces a + c < b + c y a – c < b – c
Si a > b entonces a + c > b + c y a – c > b – c.
Multiplicación y división
Para los números reales arbitrarios a y b y c diferente de cero:
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc > y a/c > b/c
Opuesto:
Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
Si c es positivo y a<b entonces -a > -b.
Si a>b entonces –a < -b.
Recíproco:
Para números reales a y b distinto de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a < 1/b si a y b son de distinto signo:
Si a < b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Función afín
Es cualquier función real con una variable real de la forma: (x)= a x+b donde a y b son
números reales:
Ejemplo:
F(x)-2x+3
F(x)-x
5
2
x+5
F(x)=3x-1
12. El valor absoluto
La notación de valor absoluto se utiliza en el terreno de la matemática para nombrar al
valor que tiene un número más allá de su signo, esto quiere decir que el valor que
también se conoce como modulo es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su
signo es positivo o negativo.
Así 3 es el valor absoluto de +3 y de -3
El valor absoluto está vinculado con las notaciones de magnitud, distancia y norma en
diferencia contextos matemáticos y físicos el concepto de valor absoluto de un
número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos
Desigualdad de valor absoluto
Si tenemos la desigualdad menor o igual
|𝑥| ≤ 𝑎
podemos escribir -a≤ 𝑥 ≤ 𝑎
Que es lo mismo que decir 𝑎 ≤ 𝑥 𝑦 𝑥 ≤ 𝑎
Tienen que cumplirse ambas relaciones dicho en forma de intervalos
𝑥𝜖⌊ 𝑎, 𝑎⌋
Si la desigualdad es mayor o igual
|𝑥| ≥
Podemos escribir 𝑥 ≤ ∪ ≤ 𝑥
Plano numérico
Distancia
Ejemplo: tenemos el conjunto
𝑥3={𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ }
𝑥3 Viene a ser conjunto de los números reales comprendidos entre a y b, incluido b
pero no a.
Se simboliza por (𝑎, ]
13. Se llama intervalo semiabierto a la izquierda
Se representa gráficamente por:
A(a) B (b)
Ejemplo: tenemos el conjunto
𝑥4={𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < }
𝑥4Viene a ser el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b, incluido b
pero no a.
Se simboliza por (𝑎, ]
Se llama intervalo semiabierto a la derecha
Se representa gráficamente por:
A(a) B (b)
Coordenadas del punto medio:
Ejercicio: tenemos los puntos A (-1,-2), B( 9,5) construyamos en un sistema de
coordenadas el segmento AB
Utilicemos Le mapa para hallar el punto medio de AB Llamémoslo M
14. En el ejemplo analizando tenemos que las coordenadas de los punto extremos del
segmentos AB son (-1,-2 ) y(9,5)
𝑥 =
;1:9
2
= 4
𝑦 =
;2:5
2
=
3
2
(4,
3
2
)
Representación gráfica
