2. DEFINICION DE CONJUNTOS
Se denomina conjunto a toda unión de objetos, dichos objetos se
denominan elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan con letras
mayúsculas y se colocan entre llaves.
Ejemplos
A= { 1,2,3,4,5}
B= { a,e,i,o,u }
C= {1, 2, 3,4,..}
D= {lun, mar,…, dom}
3. Existen muchos tipos de conjuntos. Sin embargo,
podemos citar entre los más importantes:
-Conjunto vacío: No posee elementos
(A= {} = ø)
-Conjunto unitario: Posee un único elemento
(A = {5})
-Conjunto finito o numerable: Posee una cantidad contable de elementos
(A= {1,5,10}, B = {1,2,…,60}).
-Conjunto infinito: Posee una cantidad no numerable o contable de elementos
(A={1,2,3,…})
4. También se pueden clasificar de acuerdo a como
se expresan los elementos del conjunto:
-Conjuntos por extensión: Cuando se aprecian explícitamente los elementos
A={1,2,3,4,5},B={1,3,5…,21})
-Conjuntos por compresión: Cuando los elementos vienen expresados por medio de
una ley de formación
( A={2k+1/k € N}, B={x/x_ es _dividir_de_30})
Subconjuntos:
Un conjunto A es Subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento
del conjunto A es un elemento del conjunto B. la notación A c B se lee “A es subconjunto de B”
Ejemplo:
A={1,2,3} y B= {1,2,3,4,5}, se puede decir que A es subconjunto de B.
5. Conjuntos Notables
Conjunto Natural:
N= {0,1,2,3,4,…}
-Conjunto Entero:
Z= {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
-Conjunto Racional:
Q= {
𝑎
𝑏
/a,b c Z ^ b ≠ O}
-Conjunto Irracional:
I= {𝑎
𝑏
𝑐
/a,b,c c Z ^ b ≠ O
-Conjunto Real:
R= Q ᴗ I
6. Operaciones con Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera:
La Unión de A con B, representa el conjunto formado por todos los
elementos de A junto con todos los elementos de B.
Aᴖ B= {x/x c A ˅ x c B}.
La Intersección de A con B, representa el conjunto formado por todos los
elementos comunes entre A y B.
Aᴗ B= {x/x A c ˄ x c B}.
Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A es subconjunto de B y B es
subconjunto de A.
7. mayor que >
menor que <
menor o igual que ≤
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Menor que <
Mayor que >
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Desigualdad
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre
dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos:
La desigualdad matemática es una expresión que está
formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al
lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha,
al lado derecho del signo de igualdad.
Ejemplo: 3x + 3 < 9
9. Propiedades de la desigualdad
matemática
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes propiedades:
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Por ejemplo:
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que no tiene incógnitas.
10. Clasificación de los intervalos
-Abierto: (a, b) = {x € R/ a ˂x˂b}
-Cerrado: [a, b]= {x € R/ a≤x≤ b}
Intervalo infinito : es aquel que tiene un valor infinito en uno o ambos extremos. El extremo
que posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos,
será la recta real.
Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞;a). Estos además
pueden contener intervalos cerrados, como [a; ∞).
Por ejemplo
si tenemos el intervalo infinito [1;∞), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 en
adelante.
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con
una variable dentro.
11. Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | <4 significa que la distancia entre x y
0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4 El conjunto solución es {x| − 4 < 𝑥 < 4}
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces
a < b Y a > - b .
.
.
12. Ejemplo 1 :
| x - 7 | <3
x - 7 <3 Y x - 7> –3
–3 < x - 7 <3
-3 + 7 < x - 7 + 7 <3 + 7
4 < x <10
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x <-4 O x > 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a <- b .
Ejemplo 2 :
|x+2|≥4
x+2 ≥ 4 O x + 2 ≤ - 4
x ≥ 2 O x ≤ - 6
13. Plano numérico
Sean A y B dos conjuntos cuales quiera no nulos de números Reales. Se
denomina Producto Cartesiano de A y B, denotado por AxB, al conjunto
formado por todos los pares ordenados(x,y) donde x Є Ay y Є B.
Se denomina Plano coordenado al conjunto formado por todos los pares
ordenados (x,y) donde x,y Є R
R2= Rx R ={(x,y) / x Є R ˄ y R}
y
Gráficamente II cuadrante I cuadrante
X
III cuadrante IV Cuadrante
cuadrante x y
I
II
III
IV
+
-
-
+
+
+
-
-
14. Punto medio
Sean 𝑃1 = (𝑥1 + 𝑦2)y 𝑃2= (𝑥2, 𝑦2) dos puntos en 𝑅2. El punto medio entre
los puntos 𝑃1
, 𝑃2
, esta dada por:
M= (x,y);X=𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
, y =
𝑦1+𝑦2
2
Y 𝑃1
𝑦1−𝑦2
x-𝑥1=𝑥2 −𝑥 2𝑥=𝑥1+𝑥2 M =
𝑥1+𝑥2
2
, y =
𝑦1+𝑦2
2
𝑥 =
𝑥1+𝑥2
2
y-𝑦2 𝑃2
𝑦1−𝑦=𝑦1+𝑌2
𝑦1+𝑦2=2𝑦
y =
𝑌1+𝑌2
2
X
15. Distancia
Sean 𝑝2
= 𝑥1
, 𝑦2)y 𝑝2
𝑥1
, 𝑦2)𝑅2
dos puntos en 𝑅2
La distancia no dirigida entre 𝑝1
, 𝑝2)esta dada por 𝑝1
, 𝑝2) = 𝑥2, 𝑦1) + 𝑦2, 𝑦1)
y
y1
(y1-y2) d( 𝑝1
, 𝑝2)
y2 𝑝2
X
x1 x2
16. Representación Grafica de las cónicas
Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que
forman eje y generatriz.
La elipse es una curva cerrada.
17. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular
Circunferencia
18. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
Parábola
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el
infinito.
19. Hipérbola
La hipérbola es la sección producida en una superficie
cónica de revolución por un plano oblicuo al eje,
formando con él un ángulo menor al que forman eje y
generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la
superficie cónica
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga
indefinidamente y consta de dos ramas separadas.
