Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto Desigualdades con Valor Absoluto

1. Numeros
Reales
Universidad Politécnica Tecnológica Andrés Eloy Blanco
PNF Contaduría, Sección: 0104
Luisana Sequera

2. Concepto
Definición de Conjuntos
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de
números que guardan una serie de propiedades
estructurales.
Por ejemplo el sistema más usual en aritmética
natural está formado por el conjunto de los
números naturales, con la suma, la multiplicación
y las relaciones usuales de orden aditivo.
Conjuntos de Números reales
El conjunto de los números reales se forma al
combinar el conjunto de números racionales y el
conjunto de números irracionales. El conjunto de
números reales consiste en todos los números que
tienen un lugar en la recta numérica.
o Números Naturales: Los que usamos para contar
1,2,3,4,5…
o Números Enteros: Números negativos y el cero: -
1,-2,-3,0,-4
o Números Fraccionarios: Números expresados
con dos números enteros: 4
5
o Números Algebraicos: Proviene de una solución
de una expresión algebraica: 2 = 𝑥2
− 2 = 0
o Números trascendentales: Es infinito no
numerable, esto es, también tiene infinitos
elementos pero no los podemos contar: e, π
2

3. 1.
Operaciones de
Conjunto
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra
de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los
conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
3

4. Unión o reunión de conjuntos.
◎ Unión o reunión de conjuntos: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar
otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos
de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación
de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los
conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
4
Ejemplo 4: Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en
donde B está incluido en A, la unión será AUB={3,5,6,7}.
Usando diagramas de Venn se tendría

5. Intersección de conjuntos
◎ Intersección de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los
elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección
es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
5
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que
juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la
intersección será F∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y
básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6. Diferencia de Conjuntos
◎ Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los
elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa
para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
6
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la diferencia de estos conjuntos será B-A={6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

7. Diferencia de Simétrica de Conjuntos
◎ Diferencia de simétrica de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos
conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos
no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es
el siguiente: △.
Ejemplo 1:Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
7
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que
juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la
diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que sólo
juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

8. Complementos de un Conjunto
◎ Complemento de un conjunto: Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos
del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta
incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por
todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto
A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se
opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de
complemento.
Ejemplo 1: Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los
siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo siguiente:
8
Ejemplo 2: Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes de
un colegio} y el conjunto V={x/x estudiantes que juegan
voley}, el conjunto V' estará formado por los siguientes
elementos V'={x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

9. Propiedades
◎ Propiedad conmutativa: a · b = b · a.
ejemplo: 5 · 8 = 5 · 8
40 40
9
◎ Propiedad asociativa: a· (b · c) = (a · b) · c
ejemplo: 2 · (3 · 5) = (2 · 3) · 5
2 · 15 = 6 · 5
30 30
◎ Elemento neutro: Existe un único número
que llamaremos uno denotado por 1, tal
que: a · 1 = 1 · a = a
◎ Inverso multiplicativo: Para todo número real a ≠ 0,
existe un número real 𝑎1
tal que al multiplicarlos,
obtenemos como resultado el número 1, es decir, 𝑎 ·
𝑎−1
= 𝑎−1
· 𝑎 = 1
◎ Elemento nulo: Existe un único número que
llamaremos cero denotado por 0, tal que
a · 0 = 0 · a = a
◎ Propiedad Distributiva: Si consideramos esta igualdad
en un sentido, distribuimos un producto en una suma
pero en el sentido contrario haremos algo que se
conoce como como sacar factor común.
a · (b+c)=a · b + a · c

10. Axiomas de Orden
◎ Existen otros axiomas que cohesionan con mayor fuerza el conjunto de los números reales, particularmente,
Ley de Tricotomía define parte de los Axiomas de Orden de los números reales estableciendo una relación
entre dos números reales. Formalmente, si a y b son números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes:
1.- a es igual a b, es decir, a = b. Gráficamente tenemos que a y b se encuentran en el mismo punto de la recta real.
a es igual a b
2.- a es menor que b, es decir, a < b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la izquierda de b de la recta real.
a es menor que b
3.- a es mayor que b, es decir, a > b. Gráficamente tenemos que a se encuentra a la derecha de b de la recta real.
a es mayor que b
10

11. 2.
Desigualdades
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un
signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: - no es
igual< - menor que> - mayor que - menor o igual que - mayor o
igual que. Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.
Por ejemplo:x+3<7(La punta del signo < siempre señala el menor)
11

12. Desigualdades
◎ Si a y b son números reales, se dice que a es
mayor que b y se simboliza: a > b; si a - b es un numero
positivo.
1.1 Propiedades de las desigualdades
Para a; b; c 2 𝜖 R se cumple:
Antisimetrica: si a > b y b > a ) a = b
Transitividad: si a > b y b > c ) a > c
Monótona: si a > b ) a + c > b + c
si a > b y c > 0 ) a c > b c
si a > b y c < 0 ) a c < b
12
◎ Igualdad y desigualdad: Al igual que los
números naturales también los números enteros
se pueden comparar. Pero decimos que dos números
enteros son iguales si representan la misma cantidad
de cosas y tienen el mismo signo. Es decir 4 puede
representar 4 objetos y -4 también puede representar 4
objetos, pero ambos no son iguales ya que el 4 representa
algo que uno tiene y el -4 algo que uno no tiene, eso hace
que los números 4 y -4 sean diferentes o no iguales. Es decir
4≠-4. ejemplo:
-3<-1, porque, si consideramos a los números sin signo 3>1
-5>-15, porque, si consideramos a los números sin signo 5<15
-3<-2, porque, si consideramos a los números sin signo 3>2
-5>-8, porque, si consideramos a los números sin signo 5<8

13. Símbolos de Igualdad y Desigualdad
13
Símbolo Descripción
a=b
a≠b
a>b
.
a<b
a es igual a b, si a y b representan
las mismas cantidades.
a no es igual a b, si a y b
representan distintas cantidades.
a es mayor que b, si a representa
una es menor que b, si a representa
una cantidad menor que b.
a cantidad mayor que b

14. 3.
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número entero coincide con su valor
numérico sin tener en cuenta el signo. Se representa con unas
barras verticales alrededor del número, así: |x|. Por ejemplo,|2|
representa el valor absoluto de 2
14

15. Valor Absoluto
◎ El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o
gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se
indica encerrando el número, variable o expresión
dentro de barras verticales, así:
|20|
|x|
|4n − 9|
Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es
siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o
cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es
negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por
ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es
también 5.
15
◎ El valor absoluto se define como:
x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0
Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido
de las dos siguientes maneras:
|x| = √(x2)
|x| es igual al máximo de { x, -x }
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
|x| > 0 No negatividad
|x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva
|x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa
|x + y| ≤ |x| + |y| Desigualdad triangular
OTRAS PROPIEDADES
|-x| = |x| Simetría
|a – b| = 0 ↔ a = b Identidad de indiscernibles
|a – b| ≤ |a – c| + |c – b| Desigualdad triangular
|a – b| ≥ |(|a| – |b|)| (equivalente a la propiedad aditiva)
|x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b ≠ 0 Preservación de la división (equivalente a la propiedad
multiplicativa)
Valor Absoluto
5
-5
5
5

16. Valor Absoluto De Un Numero Real
◎ Para todos los números reales los valores absolutos “x”
satisfacen las siguientes condiciones:
|x| = x ; si x ≥ 0
|x| = -x ; si x < 0
En una recta numérica, las representaciones de los valores
absolutos de un número real es la distancia entre número y el
cero u origen. Por ejemplo, |3| es la distancia de tres unidades
al cero. absoluto de -5 es también 5.
Tanto 3 y -3 son las distancias de dos unidades desde el cero.
|3| = |-3| = 3. En matemática, la medición de cualquier
distancia siempre es un valor no negativo.
El valor absoluto de un número real x, es siempre positivo o
cero, pero nunca negativo.
16
◎ En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una
expresión es la distancia entre el valor y cero. Cuando
usamos la recta numérica para explorar el valor absoluto,
éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si
el valor original es positivo o cero, el valor absoluto estará
sobre el original.
Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo
lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3
unidades a la derecha del cero en la recta numérica.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del
cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos
el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero,
pero en direcciones opuestas.
-4 -4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una
expresión, debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las
operaciones dentro de las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2,
4, o 6.

17. 4.
Desigualdades Con
Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene
un signo de valor absoluto con una variable dentro.
17

18. Desigualdades de valor absoluto (<):
◎ La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y
0 es menor que 4
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos
casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto
es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto
es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos
casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si |
a | < b , entonces a < b Y a > - b
18
◎ Ejemplo 1 : Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12