Matematicas unidad 2

Matematicas
Andrea Freitez
30876198
Sección: 0103

Conjuntos
Un conjunto es una colección de
elementos con características
similares considerada en sí
misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto,
pueden ser las siguientes:
personas, números, colores,
letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si está
definido como incluido de algún
modo dentro de él.
3
✘ Ejemplo: el conjunto de los
colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo,
verde, azul, añil, violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que
todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los
números naturales, si se considera la propiedad de ser un
número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
4

Conjuntos
Un conjunto queda definido
únicamente por sus miembros y
por nada más. En particular, un
conjunto puede escribirse como
una lista de elementos, pero
cambiar el orden de dicha lista
o añadir elementos repetidos no
define un conjunto nuevo. Por
ejemplo:
5
✘ S = {lunes, martes,
miércoles, jueves, viernes} =
{martes, viernes, jueves,
lunes, miércoles}
✘ AI = {rojo, naranja, amarillo,
verde, azul, añil, violeta} =
{amarillo, naranja, rojo,
verde, violeta, añil, azul}

Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos
diversos conjuntos de números, los
más elementales son
6
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El
conjunto de los números
naturales, o números que
sirven para contar.
 Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
5, ... } . El conjunto de los
números enteros, o números
que sirven para designar
cantidades enteras (positivas o
negativas).
 Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ...,
2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números
racionales, o números que pueden ser
expresados como un cociente (quotient)
 R = Q U {"números irracionales"} . El
conjunto de los números reales, formado
por la unión de Q y de todos los números
irracionales. Este conjunto suele
denominarse recta real , pues los puntos de
una recta pueden ponerse en
correspondencia con los infinitos números
de R.

Operaciones en conjuntos
Las operaciones con conjuntos también
conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los
conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las
siguientes: unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
8

Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite
unir dos o más conjuntos para
formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos
que queremos unir pero sin que se
repitan. Es decir dado un conjunto
A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro
conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún
elemento 9
 Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la
unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

Intersección de conjuntos
la operación que nos permite
formar un conjunto, sólo con los
elementos comunes involucrados
en la operación. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y
B, estará formado por los
elementos de A y los elementos
de B que sean comunes, los
elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa
para indicar la operación de
intersección es el siguiente: ∩. 10
 Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos
conjuntos será
A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

Diferencia de conjuntos
Es la operación que nos permite formar
un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que pertenecen al primero
pero no al segundo. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia de los
conjuntos entra A y B, estará formado por
todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa
para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente: -. 11
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
de estos conjuntos será A-
B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

Es la operación que nos permite
formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el
que tendrá todos los elementos que
no sean comunes a ambos conjuntos.
Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado
por todos los elementos no comunes
a los conjuntos A y B. El símbolo que
se usa para indicar la operación de
diferencia simétrica es el siguiente: △.
Diferencia de simétrica de conjuntos.
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:
12

Los números reales son el conjunto que incluye los números
naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la
letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número
imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta
expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de
efectos como los fenómenos eléctricos.
Números Reales
14

Además de las características
particulares de cada conjunto que
compone el superconjunto de los
números reales, mencionamos las
siguientes características.
 • Orden
 Todos los números reales tienen
un orden:
 1>2>3>4>5…
 –5<–4<–3<–2<–1<0…
Caracteristicas
 En el caso de las fracciones y
decimales:
0,550<0,560<0,565…
3
15
,
4
17
,
5
18
,
6
19
15

Clasificación de los números reales
16

De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales.
Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con
la letra mayúscula N. Todos los números están representados por los
diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre de dígitos.
Numeros Naturales
17

Numeros enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números
naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros
positivos, el cero y los enteros negativos. Los números
negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa
por la letra mayúscula Z y se representa como:
Z={… –5, –4, –3, –2, –1,0,1,2,3,4,5…}
18

Números racionales
Yellow
Is the color of gold,
butter and ripe lemons.
In the spectrum of
visible light, yellow is
found between green
and orange.
Blue
Is the colour of the
clear sky and the deep
sea. It is located
between violet and
green on the optical
spectrum.
19

In two or three columns
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades
continuas y las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como
la longitud, el volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones.
El conjunto de números racionales se designa con la letra Q:
20

Números Irracionales
Los números irracionales comprenden los números que no pueden
expresarse como la división de enteros en el que el denominador es
distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o
como fracción que son inconmensurables son también irracionales.
Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro el número
π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún
número entero ni fraccionario, son números irracionales:
2, 3, 5
21

Desigualdades
Desigualdad matemática es una
proposición de relación de orden
existente entre dos expresiones
algebraicas conectadas a través de los
signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que <, menor o igual que ≤, así
como mayor o igual que ≥, resultando
ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad
establecida en una expresión de esta
índole, se emplea para denotar que dos
objetos matemáticos expresan valores
desiguales 23
.Algo a notar en las expresiones de
desigualdad matemática es que,
aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos
revelan en qué sentido la una
desigualdad no es igual.

Valor Absoluto
25
En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real x,
denotado por |x|, es el valor no negativo de x sin importar el
signo, sea este positivo o negativo. Así, 3 es el valor absoluto de
+3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud,
distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los
cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

26
Desigualdades con
Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una
desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.

Desigualdades con Valor Absoluto (<)
27
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
✘ Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
✘ Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b
Y a > - b .

Desigualdades con Valor Absoluto (>)
28
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
✘ Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
✘ Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a
< - b .
.

Plano Numerico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas
cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen
o punto cero
30

Distancia
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la
fórmula de distancia entre estos dos puntos. La
demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo
muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia
entre dos puntos dadas sus coordenadas La distancia entre
dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d(P1,P2 ).
La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los
puntos.
31

Punto Medio
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se
encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean
puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes
iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos
del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz
del segmento.
32

Punto Medio
Dado un segmento, cuyos extremos tienen por
coordenadas:
A=(x1,y1) y B=(x2,y2)
El punto medio, Pm, tendrá por coordenadas:
𝑃𝑚 = (
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)
33

Trazado de Circunferencia
Se denomina circunferencia al lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro. El radio de la
circunferencia es la distancia de un punto
cualquiera de dicha circunferencia al centro.
34

Ecuación de Circunferencia
si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las
coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un
triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de
Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno
cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al
radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos
desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y
obtenemos: x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
35

Ecuación de Circunferencia
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2
tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3
E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
36

Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias a dos puntos fijos es
constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos
de la elipse.
37

Ecuacion de Elipse
para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje
de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un
punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el
caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al
doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando
Pitágoras tenemos que:
38

Ecuación de Elipse
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y
desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente:
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la
ecuación debería de ser:
39

Ecuación de Elipse
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
tendremos la ecuación: donde podemos
comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto
que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.
40

Ecuación de Elipse
Ejemplo: Si tenemos la ecuación
Entonces tenemos que:
Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2.
Hallemos en centro (p, q).
41

Ecuación de ELIPSE
El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se
trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor
de 81.
La ecuación de la elipse queda:
42

hipérbola
cuya diferencia de distancias entre dos puntos
fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman
focos de la hipérbola .
43

Ecuación de la Hipérbola
nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y
tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la
diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la
distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la
hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a
44

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo
matemáticamente podemos llegar a esta expresión:
. Nuevamente a partir del
dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que
y por lo tanto la ecuación nos queda:
. Dividiendo cada término por obtenemos
45

Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p,
q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
46

tendremos la ecuación:
, donde podemos comprobar que es igual
que la de la circunferencia, o una elipse,
excepto que los términos A y B no tienen
porqué ser iguales.
47

Parábola
que equidistan de un punto fijo llamado foco y de
una recta fija llamada directriz .
48

Ecuación de Parábola
Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es
la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si
tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q
= (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ
Elevando al cuadrado ambos miembros:
49

Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la
ecuación sería:
desarrollando la ecuación tendremos:
50
Lo que obtendremos que es:
en la que podemos observar
que falta el término de

Observación: es de destacar que el término x y no
aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de
simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de
coordenadas; en caso contrario aparecería este término,
que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación
de los ejes
51

Representación Grafica de las Cónicas
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a
todas las curvas resultantes de las diferentes
intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no
pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente
dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola,
hipérbola y circunferencia.
52

Circunferencia
53

Elipse
54

Hipérbola
55

Parábola
56

Bibliografía
✘ http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/conjuntos.htm
✘ https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
✘ https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica0
1/Cap10-03-OperacionesConjuntos.php
✘ https://www.todamateria.com/numeros-reales/
✘ https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-
matematica.html
✘ https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_ absoluto
58

Bibliografía
✘ https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_ help/spanish/
topics/absolute-value-inequalities
✘ http://www.estoy-aprendiendo.com/plano-cartesiano---
distancia.html
✘ https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_ medio
✘ http://zambranosanchez.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%
20de%20Matematicas/Analisis_ Algebra/matem/matematica/Co
nicas.htm
59

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