Definición de Conjuntos, Operaciones con conjuntos.Números Reales, Desigualdades, Definición de Valor AbsolutoDesigualdades con Valor Absoluto

1. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS, OPERACIONES CON CONJUNTOS.
NÚMEROS REALES, DESIGUALDADES, DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
SARMIENTO GUSTAVO
CI: 27.586.115
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
PROGRAMA DE FORMACIÓN NACIONAL
AGROALIMENTACIÓN
BARQUISIMETO - ESTADO LARA

2. Definición de Conjuntos
Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero que
poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas
relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos mediante
letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo:
a) C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo:
b) C = {x ∊ R, 1 ≤ x ≤ 2}
es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).
Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades
enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números que pueden ser
expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal
como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p ) que poseen
infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números
irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los
infinitos números de R.

3. Operaciones con conjunto
1.- Unión
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos
A o B. Este conjunto, expresado por comprensión es:
A ⋃ B = { x ∊ U / x ∊ A ˅ x ∊ B}
Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.
Ejemplo:
2.- Intersección
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén simultáneamente en
los conjuntos A y B. Este conjunto, expresado por comprensión es:
A ⋂ B = {x ∊ U / x ∊ A ˄ x ∊ B}
Así, podemos decir que los elementos de la intersección de A con B son aquéllos que estén a la vez en A y en B.
Ejemplo:

4. 3.- Disjuntos o Incompatibles
A veces, dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, esto es, la intersección de ambos es el conjunto vacío. En este
caso diremos que los conjunto son disjuntos o incompatibles. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales impares y el
conjunto de los números naturales pares son disjuntos porque no hay ningún número natural que sea simultáneamente par e impar,
es decir, la intersección de ambos conjuntos es el conjunto vacío.
Ejemplo:
4.- Diferencia
Sean A y B conjuntos. La diferencia del conjunto A menos B, denotado por A – B, es el conjunto formado por los elementos que
estén en A y no en B.
Este conjunto, expresado por comprensión es:
A – B = { x ∊ U / x ∊ A ˄ x ∉ B}
Así, podemos decir que los elementos de la diferencia de A con B son aquéllos que estén únicamente en A.
Ejemplo:

5. 4.- Complementación
Sea A un conjunto. El complementario del conjunto A es el conjunto, denotado por Al, formado por los elementos del universal
U que no estén en A.
Este conjunto, expresado por comprensión es:
Al = { x ∊ U / x ∉ A}
En la figura del ejemplo, está señalado en verde el conjunto Al.
Como cabe esperar, si un conjunto es el complementario de otro conjunto, diremos que ambos conjuntos son
complementarios.
Ejemplo:

6. Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen expansión
decimal no periódica.
Ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2 es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) Π también es real.
Conjunto de los Números Reales
el conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números
irracionales.
Los números racionales se clasifican en:
a) Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son
números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0.
d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número
finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo, Por ejemplo, 3

7. En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Hay números racionales que parecen
irracionales, como por ejemplo 25.
A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento notamos que las raíces son exactas y al calcularlas
llegamos a números racionales. En efecto, 25= 5
e) Números Trascendentales
, no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones
trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no
pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos
al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. Para terminar es recomendable observar con atención el siguiente mapa
conceptual, para reafirmar todo lo anteriormente expuesto a cerca de los números reales. A partir de ahora, cuando se diga número
sin adjetivo calificativo, estaremos hablando de número real. Puedes estar seguro de eso.
La recta real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un número real. Como cada punto de ella está identificado
con un número racional o irracional
esta recta es una recta compacta donde no queda ningún “espacio libre” entre dos
puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos números racionales siempre es posible encontrar uno
entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera siempre está entre ellos dos. En la recta real
representamos todos los números (recuerde que todo punto de la recta esta etiquetado con un número real) y en ella podemos
visualizar el orden en que se ubican.

8. Propiedades de los Número Reales
Propiedad Conmutativa. Operación suma y resta
Definición: a + b= b + a el orden de sumar o multiplicar reales no altera el resultado.
Ejemplo:
a) 5 + 4 = 4 + 5
20 = 20
b) (- 8) 3 = 3 (- 8)
-24 = -24
Propiedad Identidad. Operación suma y multiplicación
Definición: a + 0 = a------ a x 1= a. Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real
multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.
Ejemplo:
a) 12 + (14 + 11) = (12 + 14) + 11
12 + 25 = 26 + 11
37 = 37
b) 589 x (33 x 12) = (589 x 33) x 12
589 x 396 = 19437 x 12
233244 = 233244
Propiedad Asociativa. Operación suma y multiplicación
Definición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c. Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se
afecta el resultado.
Ejemplo:
a) -11 + 0 = -11 b) 20 x 1 = 20

9. Propiedad Distributiva. Operación suma respecto a multiplicación
Definición: a (b + c) = ab + a c. El factor se distribuye a cada sumando.
Ejemplo:
a) 30+ (-30) = 0 b) 1/8x (8) = 1
Propiedad Inversos. Operación suma y multiplicación
Definición: a + (-a) = 0------(a)1/a=1. La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.
Ejemplo:
a) 5(x+3) = 5(x) + 5(3) = 5x+ 15 b) 2x (4 +6) = 8x +12x = 20x
Propiedad Reflexiva.
Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma.
Ejemplo:
a) 3b = 3b b)10 + 5 = 10 + 5
Propiedad Simétrica.
Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.
Propiedades de Igualdades
Ejemplo:
a) Si 22 + 30 = 52 entonces 52 = 22 + 30 b) Si q = z, entonces z = q

10. Propiedad Transitiva.
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales.
Ejemplo:
a) Si 7 + 5 = 12 y 6 + 6 = 12 entonces 7 + 5 = 6 + 6 b) Si p + q = x y a + c = x, entonces p + q = a + b
Propiedad Uniforme.
Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva.
Ejemplo:
a) Si 3 + 2 = 5, entonces 3 + 2 (4) = 5 (4)
5(4) = 20
20 = 20
b) Si a = b, entonces a + y = b + y
Propiedad Cancelativa.
Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera.
Ejemplo:
a) Si (3 x 2) – 3 = 6 - 3, entonces 3 x 2 = 6
6 = 6
b) Si p + q = n + q, entonces p = n

11. Inecuaciones y Desigualdades
Es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos:
desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
< Menor que
≤ Menor o igual que
> Mayor que
≥ Mayor o igual que
Ejemplo:
a) 4x + 6 ˃ 2x - 8
4x + 2x ˃ - 6 - 8
2x ˃ - 14
x ˃ - 14
2
x ˃ - 7
b) 13x - 3x + 2 - 5x ≥ - 10 + 2x + 6
13x - 3x - 5x – 2x ≥ - 10 + 6 – 2
3x ≥ – 6
x ≥ – 6
3
x ≥ – 2
Inecuaciones equivalentes
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es
equivalente a la dada.
Ejemplo: a) 5x + 2 < 4
5x + 2 - 2 < 4 - 2
5x < 2
b) 9x + 4 < 5
9x + 4 - 4 < 5 - 4
9x < 1

12. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación
resultante es equivalente ala dada.
Ejemplo: a) 4x < 8
4x : 4 < 8 : 4
x < 2
b) 5x < 10
5x : 5 < 10 : 5
x < 2
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación
resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
Ejemplo: a) - x < 6
- x . (- 1) ˃ (- 1) . 6
x ˃ - 6
a) - x < 8
- x . (- 1) ˃ (- 1) . 8
x ˃ - 8
Inecuaciones de primer grado
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
1º Quitar corchetes y paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones
5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
6º Despejamos la incógnita.
7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

13. Ejemplo:
a) 4 (x + 1) < 2 – 3 (2x + 6)
4 x + 4 < 2 – 6x + 18
4 x + 4 < 2 – 6x - 18
4 x + 6x < 2 – 18 - 4
10x < – 20
x < – 20
10
x < – 2
– 2
b)
3
4
− 7𝑥 −
9
2
≥
5
3
− 8𝑥 +
11
4
𝑥 + 5
12 (
3
4
− 7𝑥 −
9
2
) ≥ 12 (
5
3
− 8𝑥 +
11
4
𝑥 + 5)
9 – 84x – 54 ≥ 20 – 96x + 33x + 60
– 84x+ 96x – 33 ≥ 20 – 9 + 54 + 60
– 21x ≥ 125
x ≤ -
125
21
– 6
Inecuaciones de segundo grado
Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:
𝑎𝑥2
+ bx + c > 0 o 𝑎𝑥2
+ bx + c ≥ 0 o 𝑎𝑥2
+ bx + c < 0 o 𝑎𝑥2
+ bx + c ≤ donde, a b y c son números reales y a ≠ 0 . Su
solución generalmente representa un intervalo o la unión de dos intervalos de números reales
Ejemplo:
a) 𝑥2
− 9 > 0
𝑥2
= 9
𝑥2
= ± 9
𝑥2
= ±3
X = + 3
X = − 3
Para x = -4 −42
− 9 = 16 – 9 = 7 > 0
Para x = 0 02
− 9 = 0 – 9 = - 9 < 0
Para x =4 42
− 9 = 16 – 9 = 7 > 0
– 3 3

14. b) 𝑥2
− 8 < 2x
𝑥2
- 2x − 8 = 0
a = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −8
𝑥 =
−( −2) ± (−2)2−4(1)(−8)
2(1)
𝑥 =
2 ± 4 + 32
2
𝑥 =
2 ± 36
2
𝑥 =
2 ± 6
2
𝑥1 =2 + 6 = 8 = 4
2 2
𝑥2 = 2 - 6 = - 8 = - 4
2 2
Para x= - 3 (32
) − 2. −3 − 8 = 9 + 6 − 8 = 7 ˃ 0
Para x= 0 (02
) − 2. 0 − 8 = 0 + 0 − 8 = − 8 < 0
Para x= 5 (52
) − 2. 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 ˃ 0
– 2 4
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el
denominador no puede ser cero.
𝑥 − 2
𝑥 + 2
< 0
Ejemplo: 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 2
𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2
𝑥 = −3
(−3)−2
(−3)+2
=
−5
−1
= 5
𝑥 = 0
(0)−2
(0)+2
=
−2
2
= −1
𝑥 = 3 (3) − 2
(3) + 2
=
1
5
– 2 2

15. b) 1 +
𝑥+2
𝑥 3
˃ 2 1 +
𝑥+2
𝑥 − 3
− 2 ˃
0
𝑥+2
𝑥 − 3
− 1 ˃ 0 𝑥+2 −(𝑥−3)
𝑥 − 3
− 1 ˃ 0 𝑥+2 −𝑥−3
𝑥 − 3
− 1 ˃ 0
5
𝑥 − 3
˃ 0 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3
𝑥 = 0
5
0 − 3
= 5
− 3
𝑥 = 4
5
4 − 3
= 5
1
= 5
3
Valor Absoluto
El valor absoluto o módulo de un número x, representado por |x| es igual a x si el número es positivo o 0 y es igual a - x si el
número es negativo. El signo "-" opera en x cambiándolo a positivo.
Ejemplo:
a) |3|= 3 b) |- 3|= 3
Desigualdades con Valor Absoluto
|x| ˃ a
x < - a U x ˃ a
a) |x + 5| ≥ 3
x + 5 ≤ - 3 ⋃ x + 5 ≥ 3
x ≤ - 3 -5 ⋃ x ≥ 3 - 5

16. Desigualdades con Valor Absoluto
|x| ˃ a
x < - a U x ˃ a
a) |x + 5| ≥ 3
x + 5 ≤ - 3 ⋃ x + 5 ≥ 3
x ≤ - 3 -5 ⋃ x ≥ 3 - 5
x ≤ - 8 ⋃ x ≥ - 2
– 8 -2
b) |x - 3| ≤ 12
- 12 ≤ x – 3 ≤ 12
|x| < a
- a < x < a
- 12 + 3 ≤ x ≤ 12 + 3
- 9 ≤ x ≤ 15
– 9 15

17. Ejercicio Propuesto
1) |2x - 3| < 7