This document defines sets and set operations like union, intersection, difference, and Cartesian product. It also defines real numbers and their properties under addition, subtraction, multiplication, and division. Inequalities and absolute value are introduced, along with properties of absolute value inequalities. Key points covered include defining sets by listing elements or using properties, the empty set and universal set, Venn diagrams for visualizing sets, and properties of real number operations that maintain their results as real numbers.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UPTAEB-LARA
MATEMÁTICA
ALUMNO: VICENTE DANIEL GUTIÉRREZ LARA
CI: 27666254
SECCIÓN: DE0201

2. ÍNDICE
1. Definición de Conjuntos.
2. Operaciones con conjuntos.
3. Números Reales
4. Desigualdades.
5. Definición de Valor absoluto
6. Desigualdades con valor Absoluto

3. DEFINICIÓN DE
CONJUNTOS:
Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos
pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos
que componen el conjunto se llaman elementos o miembros.
Formas de definir un conjunto
Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves: , siendo
irrelevante el orden. Se puede hacer de dos maneras:
•Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen.
•Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos.
•Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de
Venn

4. EJEMPLO:
Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en
la imagen, A , tiene 8 miembros. Este conjunto puede
representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn.
El orden de las personas en A es irrelevante.

5. CONJUNTO VACÍO
. El conjunto que no contiene ningún elemento se llama
el conjunto vacío y se denota por Ø o { } .
Conjunto universal
. El conjunto universal, que denotaremos por U, es el conjunto
que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto
considerado.

6. OPERACIONES CON
CONJUNTOS
•Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como , es
el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los
dos conjuntos.
•Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa
como , es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos
conjuntos.
•Complementario: El complementario de un conjunto A es el conjunto (o
bien, ) que contiene todos los elementos que no pertenecen a A ,
respecto a un conjunto universal U que lo contiene.
•Diferencia: La diferencia del conjunto A con el conjunto B es el
conjunto que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté
en B.

7. •Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no
a ambos a la vez.
•Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto de todos los pares ordenados (a,b) formados con un primer elemento
"a" perteneciente a A, y un segundo elemento "b" perteneciente a B.

8. EJEMPLO DE OPERACIONES
CON CONJUNTOS
Unión:
Intercepción:
Diferencia:

9. Diferencia simétrica:
Producto cartesiano:

10. LOS NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales, se designa por R

11. Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un
número real.

12. Representación de los números reales
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta
aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos
representarlos de forma exacta.
𝟓 = 𝟐² + 𝟏²

13. OPERACIONES DE NÚMEROS
REALES
Suma de números reales
Propiedades:
Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b ϵ R

14. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a

15. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el
mismo número.
a + 0 = a
Elemento opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
-(-8) = 8

16. Diferencia de números reales:
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el
opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)
Producto de números reales:
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue
manteniendo con los números reales.

17. PROPIEDADES:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
a . b ϵ R
Interna :
Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números
reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números
reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)

18. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado
por él da el mismo número.
a ·1 = a
Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el
elemento unidad.
Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c

19. División de números reales:
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el
inverso del divisor.
DESIGUALDADES
Si a y b son números reales, se dice que a es mayor que b y se simboliza: a > b;
si a b es un numero positivo
Propiedades de las desigualdades
Para a; b; c ϵ R se cumple:
1. AntisimetrÌa: si a > b y b > a ) a = b
2. Transitividad: si a > b y b > c ) a > c
3. MonotonÌa: si a > b ) a + c > b + c
4. si a > b y c > 0 ) a c > b c
5. si a > b y c < 0 ) a c < b

20. VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
Se define el valor absoluto de un número real a así : |a| =
{ a si a > 0
0 si a =0
-a si a < 0}
Ejemplo 1
| 7| =-(-7)=7,|
11
5
| =
11
5
Geométricamente, el valor absoluto de un número es la distancia que lo separa
del cero o punto de referencia

21. Propiedades del valor absoluto
• El valor absoluto de un número real siempre es mayor o igual a cero.
• Sea b > 0 afirmar que |a| = b ,es equivalente a afirmar que a = bV a = -b esto se
simboliza como |a|= b ↔a = b V a = -b
• Sea b > 0 afirmar que |a| < b, es equivalente a afirmar que -b < a y que a < b lo
cual se puede resumir en -b < a < b
• Sea b > 0 afirmar que |a| > b , es equivalente a afirmar que a < -b o que a > b
• |a + b| ≤ |a| + |b| desigualdad triangular

22. DESIGUALDADES CON VALOR
ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro
Ejemplo:
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.” Si se te pide
resolver x, quieres encontrar los valores de x que están a 4 unidades o menos de 0
en la recta numérica. Podrías empezar imaginando la recta numérica y los valores
de x que satisfacen esta ecuación.
4 y −4 están a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3 también son
soluciones porque cada uno de estos valores está a menos de cuatro unidades del
0. Al igual que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. — hay un número infinito de valores
de x que satisfacen la desigualdad.
La gráfica de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, en 4 y en −4. La
distancia entre estos dos círculos en la recta numérica está coloreada de azul
porque estos son los valores que satisfacen la ecuación.

23. La solución se puede escribir de esta manera: −4 ≤ x ≤ 4.
La situación es un poco distinta cuando el signo de desigualdad es “mayor
que” o “mayor o igual a.” Considera la desigualdad simple También,
podrías pensar en la recta numérica y los valores de x mayores de tres
unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3 no están incluidos en la solución,
entonces hay dos círculos abiertos en estos valores. 2 y −2 no serían
soluciones porque no están a más de tres unidades del 0. Pero 5 y −5 si
están y también lo están todos los valores extendiéndose a la izquierda
de −3 y a la derecha de 3. La gráfica se vería como la que está abajo.
La solución de esta desigualdad puede escribirse: x < −3 o x > 3