Data ramus bone tersebut tidak mengandung outlier berdasarkan analisis standarisasi dan jarak kuadrat. Semua nilai zjk dan dj2 berada dalam kisaran yang diizinkan untuk distribusi normal multivariate.
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUALArning Susilawati
ย
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL PADA DATA JUMLAH PERMINTAAN AIR BERSIH TERHADAP PENDAPATAN TOTAL KELUARGA, JUMLAH TANGGUNGAN KELUARGA, DAN PENGELUARAN ENERGI
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUALArning Susilawati
ย
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA DAN PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL PADA DATA JUMLAH PERMINTAAN AIR BERSIH TERHADAP PENDAPATAN TOTAL KELUARGA, JUMLAH TANGGUNGAN KELUARGA, DAN PENGELUARAN ENERGI
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
APG Pertemuan 4 : Multivariate Normal Distribution (2)
1.
2. 1. Mathematical Simplicity ๏ distribusi ini relatif mudah
dikerjakan, sehingga mudah untuk mendapatkan
metode multivariat berdasarkan distribusi ini.
2. Multivariate version of the CTL ๏ jika kita memiliki
koleksi vektor acak X1, X2, ..., Xn yang iid, maka vektor
mean sampel, ๐ฅ, akan menjadi multivariat yang
terdistribusi normal untuk sampel besar.
3. Banyak fenomena dapat dimodelkan menggunakan
distribusi
3. Random variabel X berdistribusi normal dengan
Rata-rata : ยต Varians : ๐
PDF : ๐ ๐ฅ =
1
2๐๐2
exp{โ
1
2๐2 (๐ฅ โ ๐)2
} untuk โโ < ๐ฅ < โ
4.
5. Random vektor X (๐ ร 1) berdistribusi multivariat normal dengan
Vektor rata-rata populasi : ยต Matriks varians-kovarians : โ
Pdf : ๐ ๐ =
๐
๐๐
๐/๐
โ โ๐/๐
๐๐๐ โ
๐
๐
๐ โ ๐ โฒโโ๐
๐ โ ๐
Notasi : ๐ ๐~๐ ๐(๐, โ)
Jika ๐ = 2 maka X bersdistribusi Bivariate Normal
8. 1. Kombinasi linier dari semua komponen peubah x juga
menyebar normal.
๐ =
๐=1
๐
๐๐ ๐๐ฝ = ๐โฒ๐ฟ
Jika ๐ฟ ๐~๐ ๐(๐, โ)maka Y berdistribusi normal dengan
Rata-rata : ๐โฒ
๐ = โ ๐=1
๐
๐๐ ๐ ๐
Varians : ๐โฒ
โ๐ = โ ๐=1
๐
โ ๐=1
๐
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐
Notasi : ๐~๐(๐โฒ
๐, ๐โฒ
โ๐)
9. 2. Jika ๐ฟ ๐~๐ ๐(๐, โ) maka semua komponen dari X juga
berdistribusi normal.
3. Jika kovarian bernilai nol maka komponen yang
bersesuaian saling bebas
4. Sebaran bersyarat dari semua variabel berdistribusi
multivariate normal:
๐ =
๐ฅ1
๐ฅ2
~๐ ๐(๐, โ) dengan ๐ =
๐ฅ1
๐ฅ2
,
โ =
โ11
โ21
โ12
โ22
dan โ22 > 0
10. maka sebaran bersayarat X dengan X2 = x2 adalah normal
dengan
rata-rata = ยต1 + โ12โ22
โ1
(x2- ยต2)
kovarian = โ11 โ โ12โ22
โ1
โ21
5. Jika ๐ฟ ๐~๐ ๐(๐, โ) dengan โ > 0 maka
a. ๐ โ ๐ โฒโโ๐ ๐ โ ๐ ~ แตก ๐
b. Selang kepercayaan (1-ฮฑ) ๏ ๐ โ ๐ โฒโโ๐ ๐ โ ๐ =
แตก(๐ผ,๐)
11. Teorema:
Jika โ definit positif maka โ -1 ada
โe = ฮปe
โ -1 e = (1/ ฮป) e,
sehinggga ( ฮป.e) adalah pasangan nilai akar ciri dan vektor ciri
bagi โ koresponden terhadap pasangan (1/ ฮป .e) untuk โ-1 . โ -1
juga positif.
12. Kurva CI berbentuk elipsoid, dimana
c = permukaan ellips berpusat di ยต
๐ โ ๐ โฒโโ๐
๐ โ ๐ = ๐2
dan absis = ยฑ c ฮปi๐๐ dimana โei = ฮปiei , i = 1,2,..,p
semua x yang memenuhi
16. Dalam kasus univariate (p=1), kita tahu bahwa sebaran dari x adalah normal dengan
rata-rata ๐ dan varian ๐2
/n. Hal ini juga berlaku untuk kasus multivariate (p โฅ2)
dimana vektor rata-rata X berdistribusi normal dengan rataan ๐ dan matriks kovarian
(1/n)โ . Varians dari sampling (n-1) ๐ 2
= โ ๐=1
๐
(๐ฅ๐ โ ๐ฅ)2
mengikuti distribusi chi
square dengan derajat besas n-1, dimana (n-1) ๐ 2
merupakan penjumlahan dari :
๐ ๐ ๐๐
๐
+ โฏ + ๐ ๐โ๐
๐
= (๐๐๐) ๐ + โฏ + (๐๐ ๐โ๐) ๐
๐๐๐, mengikuti distribusi N(0, ๐2
). Ini merupakan bentuk umum distribusi sampling
dari unsur-unsur matriks kovarian. Distribusi ini disebut dengan distribusi Wishart.
17. Ambil x1, x2, ..., xn sebagai contoh acak yang berukuran n dari
sebuah populasi normal ganda p dengan rata-rata ๐ dan
matriks kovarian โ , kemudian :
1. X mengikuti ditribusi Np (๐, (1/n) โ )
2. (n-1)S adalah menyebar Wishart dengan db = n โ 1
3. X dan S adalah bebas.
Karena โ tidak diketahui, sebaran ๐ tidak dapat digunakan
langsung untuk mendapatkan ๐ . Sebagaimana S
memberikan informasi bebas tentang โ dan distribusi s tidak
tergantung pada ๐.
18. Hal-hal yang perlu diperhatikan dari distribusi Wishart:
1. Jika ๐ด1 menyebar W ๐1 (๐ด1| โ ) bebas dari ๐ด2, yang menyebar
Wm2 (A2 ), maka A1 + A2 menyebar Wm1+m2 (A1 + A2| โ)
2. Jika A menyebar Wm (A|โ ), maka CACโ menyebar Wm
(CACโ|CโCโ).
Distribusi ini tidak ada jika ukuran contoh n tidak lebih besar dari
jumlah peubah (p). Jika ada maka sebaran Wishartnya adalah
๐ ๐ (๐ด|โ ) =
๐ด (๐โ๐โ2)/2
๐โ๐ก๐๐ดโโ1/2
โ ๐(๐โ1)/2โ ๐(๐โ1)/4 |โ|(๐โ1)/2 โ๐=1
๐
โ[
1
2 ๐ โ 1
]
Dimana matriks A definit ositif dan โ (.) adalah fungsi Gamma.
19. Beberapa tahapan yang harus dilakukan dalam menyusun Plot
Kuartil 2 adalah sebagai berikut:
1. Hitung:
๐๐๐
2
= ๐ฅ(๐) โ ๐
โฒ
โโ1
๐ฅ(๐) โ ๐
2. Beri peringkat nilai ๐๐๐
2
3. Carilah nilai chi-Square dari nilai (i โ1/2)/n dengan derajat bebas
p.
๐ ๐
2
๐ โ
1
2
๐
20. 4. Buat plot
๐ ๐
2
๐โ
1
2
๐
dengan ๐๐๐
2
bila pola hubungannya mengikuti garis lurus maka data tersebut dapat
dikatakan menyebar normal ganda. Namun demikian untuk lebih
menyakinkan dapat dilakukan dengan menghitung nilai korelasi person
๐ ๐
2
๐โ
1
2
๐
dengan ๐๐๐
2
.
Apabila nilai korelasi ini nyata maka data tersebut mengikuti sebaran
normal ganda.
22. Dengan menggunakan QQ-Plot, tunjukkan apakah data tersebut
berdistribusi normal ganda?
(Pembahasan terlampir)
23. Langkah-langkah deteksi outlier:
1. Membuat dot plot di setiap variabel
2. Membuat scatter plot berpasangan setiap variabel
3. Menghitung nilai standarisasi ๐ง๐๐ = (๐ฅ๐๐ โ ๐ฅ ๐) / ๐ ๐๐ untuk j=
1,2โฆ,n dan k = 1,2,โฆ,p; jika nilai ๐ง๐๐ berada dalam selang -3 < ๐ง๐๐ <
3 maka data jk bukan oulier, sebaliknya jika nilai ๐ง๐๐ lebih kecil
dari -3 dan lebih besar dari 3 maka data ke-jk merupakan oulier.
4. Menghitung jarak kuadrat ๐๐
2
= ๐ฅ๐ โ ๐ฅ
โฒ
๐ โ1
๐ฅ๐ โ ๐ฅ , jika nilai
๐๐
2
melebihi ๐(๐)
2
maka data ke-jk merupakan outlier.
25. Let X be ๐3(๐,โ)with
1. Which of the following random variables
are independent?
a. X1 and X2
b. X2 and X3
c. (X1, X2) and X3
2. Find the mean vector and covariance matrix for 3X1 - 2X2 + X3!
(Pembahasan terlampir)