Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Dokumen tersebut membahas tentang definisi metrik pada ruang riil satu dan dua dimensi, contoh himpunan terbuka dan tertutup, konvergensi barisan Cauchy, dan kontinuitas peta kontraksi.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
Dokumen tersebut membahas tentang revisi bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar yang mencakup sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, koordinat kartesius, dan konsep-konsep matematika lainnya."
Ketaksamaan Markov dan Chebyshev membantu menentukan rentang peluang (batas atas dan bawah) suatu variabel acak jika hanya diketahui rata-rata dan variansnya, bukan fungsi distribusinya. Teorema Chebyshev menyatakan batas atas dan bawah peluang suatu variabel berada di luar k kali simpangan baku dari rata-rata.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Dokumen tersebut membahas tentang definisi metrik pada ruang riil satu dan dua dimensi, contoh himpunan terbuka dan tertutup, konvergensi barisan Cauchy, dan kontinuitas peta kontraksi.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
Dokumen tersebut membahas tentang revisi bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar yang mencakup sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, koordinat kartesius, dan konsep-konsep matematika lainnya."
Ketaksamaan Markov dan Chebyshev membantu menentukan rentang peluang (batas atas dan bawah) suatu variabel acak jika hanya diketahui rata-rata dan variansnya, bukan fungsi distribusinya. Teorema Chebyshev menyatakan batas atas dan bawah peluang suatu variabel berada di luar k kali simpangan baku dari rata-rata.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Dokumen ini berisi penyelesaian soal-soal geometri analitik ruang yang meliputi penentuan persamaan bidang, titik potong sumbu koordinat dengan bidang datar, dan mengecek apakah beberapa titik sebidang.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
1. The document discusses three topics regarding double integrals: double integrals over rectangles, repeated integrals, and double integrals over non-rectangular regions.
2. It provides examples of using the Riemann sum and repeated integrals to evaluate double integrals over rectangles.
3. It also explains how to evaluate double integrals over y-simple and x-simple regions by expressing them as repeated integrals. For example, it shows calculating the volume of a tetrahedron bounded by coordinate planes and a plane.
Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Contoh soal-olimpiade-matematika-smama-aime-omits-dllNur Ahmad Abrori
Dokumen tersebut berisi:
1. Penjelasan singkat tentang beberapa soal matematika olimpiade dan kompetisi;
2. Contoh-contoh soal beserta jawabannya dalam bidang aljabar dan olimpiade matematika;
3. Materi soal-soal olimpiade matematika dari berbagai sumber.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil dan kompleks. Bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat digambarkan secara geometris sebagai titik pada bidang kompleks dan operasi aljabar bilangan kompleks memiliki interpretasi geometris.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA.
3. Contoh soal juga d
Modul ini membahas konsep kongruensi kuadratis, residu kuadratis, dan cara menyelesaikan kongruensi kuadratis dengan mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna."
Dokumen ini berisi penyelesaian soal-soal geometri analitik ruang yang meliputi penentuan persamaan bidang, titik potong sumbu koordinat dengan bidang datar, dan mengecek apakah beberapa titik sebidang.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
1. The document discusses three topics regarding double integrals: double integrals over rectangles, repeated integrals, and double integrals over non-rectangular regions.
2. It provides examples of using the Riemann sum and repeated integrals to evaluate double integrals over rectangles.
3. It also explains how to evaluate double integrals over y-simple and x-simple regions by expressing them as repeated integrals. For example, it shows calculating the volume of a tetrahedron bounded by coordinate planes and a plane.
Buku ini membahas materi geometri analitik ruang yang meliputi titik dan vektor dalam ruang tiga dimensi, garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajat dua.
Contoh soal-olimpiade-matematika-smama-aime-omits-dllNur Ahmad Abrori
Dokumen tersebut berisi:
1. Penjelasan singkat tentang beberapa soal matematika olimpiade dan kompetisi;
2. Contoh-contoh soal beserta jawabannya dalam bidang aljabar dan olimpiade matematika;
3. Materi soal-soal olimpiade matematika dari berbagai sumber.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil dan kompleks. Bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat digambarkan secara geometris sebagai titik pada bidang kompleks dan operasi aljabar bilangan kompleks memiliki interpretasi geometris.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA.
3. Contoh soal juga d
Modul ini membahas konsep kongruensi kuadratis, residu kuadratis, dan cara menyelesaikan kongruensi kuadratis dengan mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna."
Php my sql - functions - arrays - tutorial - programmerblog.netProgrammer Blog
In this ppt you will learn about functions and array in php. What are functions, how to declare and use. built in functions. include and required keywords. how are arguments used. how to create functions inside functions.
What are php arrays, how to create an array and use them. Built in array functions. What are super globals?
Kumpulan soal dan pembahasan sistem persamaan linier dua variabelseptianes tama
Dokumen tersebut berisi kumpulan soal dan pembahasan sistem persamaan linier dua variabel untuk pelajaran matematika SMP dan SMA. Terdapat contoh soal dan penyelesaiannya secara langkah demi langkah.
Dokumen tersebut membahas tentang himpunan dan operasi-operasinya. Secara singkat, himpunan adalah kumpulan objek yang memiliki ciri tertentu, dan dapat dilakukan operasi gabungan, irisan, selisih, serta dibedakan menjadi himpunan yang sama, subset, kosong, dan lainnya. Diagram Venn digunakan untuk menggambarkan hubungan antar himpunan.
Dokumen tersebut berisi soal-soal ujian akhir semester (UAS) Kalkulus I dari tahun 2009 hingga 2000. Terdapat lima soal UAS Kalkulus I tahun 2009 yang meliputi penentuan luas daerah, volume benda putar, turunan fungsi, integral, dan kekonvergenan integral tak wajar.
This document discusses different types of terrorism such as state terrorism, religious terrorism, pathological terrorism, and issue-oriented terrorism. It also examines reasons why people become terrorists such as seeking identity, belonging to a group, and being attracted to violent content. Finally, it outlines the impacts of terrorism like increased security costs, panic, loss of life, economic damage, and slowed growth.
Major Indian telecom players include Airtel, Reliance, Tata Docomo, Vodafone, Idea, MTNL, and Aircel. Airtel announced a $60 billion investment in network transformation. Vodafone launched free data and roaming on 4G and is partnering with Huawei to test 4.5G technology to prepare for 5G by 2020. BSNL plans to install 21,000 new towers with a $1 billion investment.
This website provides information about selling used cars in Cologne, Germany. It discusses purchasing used vehicles and offers to buy cars from people directly in Cologne or the surrounding area. The website aims to make it easy for people to sell their used cars.
The document appears to be a collection of sightings and observations of an Andrew and other interns at KRC over a period of time. It mentions Andrew beating up a kid, finding a reason to return to the West Coast, having a happy hour, being mean to a robot named Doorae-Bot, attending a Dodgers game, and being seen at a play by Jesse. It concludes by thanking Scarlette, Kyung Soo, Doorae, Liz, and Andrew and expressing love for them.
Audacity is a free, open source audio editing program that can be used by educators to create podcasts, convert audio formats like CDs and tapes into digital formats, record narration for PowerPoint slides and VoiceThreads, shorten audio recordings, and more. It can be downloaded from the Audacity website for Windows or Mac computers. Users also need to download the Lame encoder plug-in to convert audio files between formats like WAV to MP3. The document provides instructions on getting started with Audacity and includes an example of editing a sound file.
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlakMono Manullang
Pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak mencakup konsep harga mutlak dan sifat-sifatnya seperti persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan harga mutlak. Dibahas pula teorema-teorema terkait persamaan dan pertidaksamaan harga mutlak beserta contoh penerapannya.
1. Dokumen tersebut membahas tentang konsep fungsi satu variabel, termasuk pengertian bilangan real, operasi hitung, sifat-sifat bilangan real, sistem bilangan real, dan urutan bilangan real.
2. Materi lain yang dibahas adalah ketaksamaan, selang, nilai mutlak, fungsi matematika, domain dan kodomain fungsi, serta cara menggambar grafik fungsi.
3. Diberikan juga contoh soal tentang penyelesaian ketaks
Dokumen tersebut membahas tentang materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel beserta contoh-contoh soalnya. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi persamaan dan pertidaksamaan linear, sifat-sifatnya, cara penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak, serta contoh soal beserta penyelesaiannya.
Bab ini membahas sistem persamaan linear dua variabel, yang meliputi bentuk-bentuk persamaan linear dua variabel dan grafik himpunan penyelesaiannya. Persamaan linear dua variabel memiliki dua variabel dengan pangkat satu, berbeda dengan persamaan linear satu variabel yang hanya memiliki satu variabel. Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear dua variabel untuk bilangan tidak real berupa titik-titik, sedangkan untuk bilangan real berupa garis lurus
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang penyelesaian ketaksamaan, termasuk jenis-jenis selang, cara menyelesaikan ketaksamaan linear, kuadrat, dan lainnya, serta memberikan contoh soal beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang remidi matematika khususnya sistem persamaan linear dua variabel dan cara penyelesaiannya melalui metode substitusi dan metode grafik."
Dokumen tersebut merupakan ringkasan bab pertama tentang sistem bilangan riil, operasi hitungan, dan konsep dasar kalkulus seperti fungsi, limit, derivasi, dan integral.
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linear yang memiliki dua variabel. Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan metode grafik, substitusi, atau eliminasi. Metode grafik mencari titik potong grafik kedua persamaan. Metode substitusi mengganti salah satu variabel. Metode eliminasi menyamakan koefisien dan mengurangkan/menjumlahkan persamaan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat, termasuk cara menentukan himpunan penyelesaian, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta sistem persamaan linier dua variabel.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas dan statistika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan:
1) Konsep distribusi probabilitas dari suatu variabel acak berdasarkan ruang sampel dan nilai-nilai variabel acaknya.
2) Cara menentukan fungsi distribusi probabilitas dan kumulatif dari suatu variabel acak.
3) Pengertian dan rumus harapan matematis sebagai ukuran rata-rata dari suatu variabel
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
1. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 1
A. Sistem Bilangan
Terdapat beberapa sistem bilangan, yaitu: bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional,
bilangan irrasional, dan bilangan real. Masing-masing bilangan itu sebagai berikut.
(1) Bilangan asli merupakan sistem bilangan paling sederhana, yaitu
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(2) Bilangan bulat melibatkan negatif bilangan asli dan nol, yaitu
…, 4, 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …
(3) Bilangan rasional melibatkan hasil bagi dua bilangan bulat, seperti
2
3
,
−1
5
,
11
7
,
23
3
,
20
2
,
−15
1
, …
Pembagian dengan nol, misalnya
6
0
atau
−4
0
, tidak termasuk bilangan rasional karena
tidak memiliki makna apapun. Oleh karena itu, pembagian dengan nol harus dihindari.
(4) Bilangan irrasional mencakup akar dari suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan
sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, seperti
2, 3, 5, 7
3
, 𝜋, …
(5) Bilangan real mencakup semua jenis bilangan yang ada. Jika A menyatakan bilangan
asli (bulat positif), B bilangan bulat, Q bilangan rasional, dan R bilangan real, maka
A B Q R
Lambang dibaca himpunan bagian dari. Pernyataan A B berarti setiap unsur A
juga merupakan unsur B.
BAB
1
Sistem Bilangan Real
A. Sistem Bilangan
B. Pertidaksamaan
C. Nilai Mutlak dan Bentuk Akar
D. Jarak Antara Dua Titik dan Persamaan Lingkaran
E. Garis Lurus
2. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 2
Bilangan real memenuhi operasi penjumlahan dan perkalian. Pada operasi
penjumlahan dan perkalian bilangan real berlaku sifat-sifat berikut. Misalnya, x dan y
bilangan real maka berlaku:
(1) Hukum-hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx.
(2) Hukum-hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z
(3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz
(4) Unsur-unsur identitas. Ada dua bilangan berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan
x1 = x untuk setiap bilangan real x.
(5) Invers (kebalikan). Setiap bilangan x memiliki kebalikan penjumlahan, –x , yang
memenuhi x + (–x) = 0. Selain itu, setiap bilangan x, kecuali 0, memiliki kebalikan
perkalian, x-1
, yang memenuhi xx-1
= 1.
Pengurangan dan pembagian didefinisikan sebagai
)( yxyx
dan
1
yxyx
y
x
dengan syarat y 0. Pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.
Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi bilangan real positif dan bilangan negatif.
Kenyataan ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan bentuk hubungan lebih kecil dari
atau kurang dari (<) dan lebih besar dari atau lebih dari (>). Hubungan ini masing-masing
didefinisikan sebagai berikut.
Contoh 1.1
Buktikan bahwa 3 < 5!
Definisi
(i) x < y jika dan hanya jika x – y negatif;
(ii) x > y jika dan hanya jika x – y positif.
3. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 3
Penyelesaian
3 – 5 = –2 (NEGATIF) maka 3 < 5.
Contoh 1.2
Nyatakan apakah ungkapan –2 < –5 BENAR atau SALAH! Berikan alasannya!
Penyelesaian
–2 – (–5) = 3 (POSITIF) maka –2 > –5. Jadi, ungkapan –2 < –5 adalah SALAH.
Selanjutnya, hubungan kurang dari atau sama dengan () dan lebih dari atau sama
dengan () didefinisikan sebagai berikut.
Ungkapan yang mengandung >, <, , dan disebut pertidaksamaan. Pertidaksamaan
yang melibatkan > dan < disebut pertidaksamaan murni, sedangkan yang melibatkan dan
disebut pertidaksamaan tidak murni.
Gambar 1.1 Garis bilangan real.
Berdasarkan definisi, x > 0 menyatakan bahwa x merupakan bilangan positif dan,
sebaliknya, x < 0 menyatakan bahwa x merupakan bilangan negatif. Pada garis bilangan real,
seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1.1, bilangan-bilangan positif berada di sebelah
kanan titik 0 dan bilangan-bilangan negatif berada di sebelah kiri titik 0. Titik 0 disebut titik
asal. Semakin ke kanan, bilangannya semakin besar. Sebaliknya, semakin ke kiri
bilangannya semakin kecil.
Definisi
(i) x y jika dan hanya jika x – y negatif atau nol;
(ii) x y jika dan hanya jika x – y positif atau nol.
4. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 4
Sifat-sifat pertidaksamaan sebagai berikut.
(1) Trikotomi: Jika x dan y adalah bilangan, salah satu dari berikut ini akan dipenuhi: x < y
atau x = y atau x > y.
(2) Transitif : Jika x < y dan y < z maka x < z.
(3) Penjumlahan: x < y x + z < y + z
(4) Perkalian: Jika z > 0, x < y xz < yz. Sebaliknya, jika z < 0, x < y xz > yz.
Tunjukkan tahapan penyelesaian dan
jawaban dari soal-soal berikut.
1. 5 – 3(9 – 12) + 7
2. –4 [3 – 2(7 – 5) + 7(14 – 3)]
3. 21
4
7
6
4. )82(23
5.
22
5
2
1
Sederhanakan aljabar berikut.
6. (3x – 2)(x + 5)
7. (2x + 6)2
8.
3
62
x
xx
9.
3
2142
t
tt
10.
2
24
2
12
2
pppp
Nyatakan apakah ungkapan berikut benar
atau salah. Berikan alasannya.
11. 73
12.
7
22
3
13. 171
14. 265
15. 9
44
7
5
SOAL-SOAL 5.1
5. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 5
B. Pertidaksamaan
1. Selang atau Interval
Suatu bilangan x yang berada di antara a dan b, yakni a < x dan x < b, dapat dituliskan
dalam pertidaksamaan bersambung sebagai berikut: a < x < b. Himpunan semua bilangan x
yang memenuhi pertidaksamaan bersambung ini disebut selang atau interval.
Secara umum selang dibedakan menjadi selang terbuka, selang tertutup, dan
kombinasi keduanya. Ungkapan a x b menyatakan selang terbuka yang terdiri dari
semua bilangan real antara a dan b, tidak termasuk titik ujung a dan b dan lambangkan oleh
(a, b). Sementara itu, ungkapan a x b menyatakan selang tertutup yang terdiri dari
semua bilangan real antara a dan b, termasuk a dan b itu sendiri dan dilambangkan oleh [a,
b]. Pada Tabel 1.1 diperlihatkan berbagai kemungkinan selang dan lambangnya.
Tabel 1.1 Lambang himpunan penyelesaian, selang, dan gambarnya.
Lambang Himpunan Lambang Selang Gambar
{ x: a x b } (a, b)
{ x: a x b } [a, b]
{ x: a x b } [a, b)
{ x: a x b } (a, b]
{ x: x b } (– , b]
{ x: x b } (– , b)
{ x: x a } [a, )
{ x: x a } (a, )
R (– , )
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
6. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 6
2. Memecahkan Pertidaksamaan
Memecahkan pertidaksamaan berarti mencari himpunan semua bilangan real yang membuat
pertidaksamaan tersebut menjadi benar. Berbeda dengan persamaan, yang penyelesaiannya
terdiri dari satu atau sejumlah bilangan terbatas, penyelesaian pertidaksamaan adalah
himpunan semua bilangan real dalam selang tertentu atau gabungan beberapa selang.
Hal-hal yang dapat dilakukan ketika memecahkan pertidaksamaan tanpa mengubah
himpunan penyelesaiannya berdasar pada kenyataan berikut.
Contoh 1.3 Cari himpunan penyelesaian dari 2x – 6 4x – 3 dan gambarkan himpunan
penyelesaiannya pada garis bilangan real.
Penyelesaian
2x – 6 4x – 3
2x 4x + 3 (setelah kedua ruas ditambah 6)
– 2x 3 (setelah kedua ruas ditambah –4x)
x –
2
3
(setelah kedua ruas dikalikan – 2
1
, tanda pertidaksamaan dibalik).
Jadi, himpunan penyelesaiannya sbb.:
2
3
2
3
:, xx
(1) Setiap ruas dapat ditambahkan bilangan yang sama.
(2) Setiap ruas dapat dilkalikan dengan bilangan positif yang sama.
(3) Setiap ruas dapat dikalikan dengan bilangan negatif, tetapi arah tanda
pertidaksamaan harus dibalik.
–3 –2 –1 0 1 2 3
7. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 7
Contoh 1.4
Cari himpunan penyelesaian dari –5 2x + 6 4.
Penyelesaian
–6 2x + 6 4
–12 2x –2 (setelah setiap ruas ditambah –6)
–6 x –1 (setelah setiap ruas dikalikan ½ )
Jadi, himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:
16:)1,6[ xx
Contoh 1.5
Tentukan semua nilai x yang memenuhi 2x + 7 5 dan 3x – 2 < 4.
Penyelesaian
Ungkapan ”dan” menunjukkan bahwa nilai x harus memenuhi kedua pertidaksamaan
tersebut.
2x + 7 5 dan 3x – 2 < 4
2x 2 3x < 6
x 1 x < 2
[1, ) (, 2)
Jadi, nilai x yang memenuhi kedua pertidaksamaan di atas adalah
[1, ) (, 2) = [1, 2).
Contoh 1.6
Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi 2x + 7 5 atau 3x – 2 > 4.
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
8. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 8
Penyelesaian
Ungkapan ”atau” menunjukkan bahwa nilai x memenuhi salah satu dari kedua
pertidaksamaan tersebut.
2x + 7 5 atau 3x – 2 > 4
2x 2 3x > 6
x 1 x > 2
(,1] (2, )
Jadi, x yang memenuhi salah satu pertidaksamaan di atas adalah (,1] (2, ).
Contoh 1.3 sampai dengan Contoh 1.6 berkaitan dengan pemecahan pertidaksamaan
yang melibatkan variabel x berpangkat 1. Untuk kasus seperti itu, kecuali Contoh 1.3, suku
yang mengandung peubah x dibuat sedemikian rupa sehingga berada di ruas kiri, sedangkan
suku yang hanya bilangan berada di ruas kanan. Khusus untuk jenis pertidaksamaan seperti
pada Contoh 1.3, karena ruas kiri dan ruas kanannya sudah berupa bilangan, suku yang
mengandung peubah x disimpan di ruas tengah.
Bagaimana jika pertidaksamaan melibatkan peubah x yang BUKAN berpangkat 1?
Untuk kasus tersebut, buatlah sedemikian rupa sehingga ruas kanan menjadi NOL.
Contoh 1.8
Cari himpunan penyelesaian x2
– 2x 8.
Penyelesaian
x2
– 2x 8
x2
– 2x – 8 0 (setelah ditambah –8)
(x + 2)(x – 4) 0 (setelah difaktorkan)
Ambil dulu (x + 2)(x – 4) = 0 sehingga diperoleh x = – 2 dan x = 4. Titik x = – 2 dan x = 4
disebut titik pemecah selang (split point). Titik ini membagi garis bilangan real menjadi tiga
selang: (–, –2), (–2, 4), dan (4, ). Pada masing-masing selang ini, (x + 2)(x – 4) terdiri
9. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 9
dari satu tanda, bisa selalu positif atau selalu negatif. Untuk mendapatkan tanda pada setiap
selang, gunakan titik uji yang berada dalam selang tersebut, seperti terlihat pada gambar dan
tabel berikut.
Selang Titik Uji (x) Nilai dari (x + 2)(x – 4) Tanda
(–, –2) –3 7 +
(–2, 4) 0 –8 –
(4, ) 5 7 +
Ungkapan x2
– 2x – 8 0 menunjukkan bahwa nilai x2
– 2x – 8 adalah negatif. Berdasarkan
gambar atau tabel tersebut, x2
– 2x – 8 bernilai negatif pada selang (–2, 4). Jadi, himpunan
penyelesaian dari (x + 2)(x – 4) 0 adalah (–2, 4).
Contoh 1.9
Cari himpunan penyelesaian dari x2
– 2x 8.
Penyelesaian
Mengacu pada penyelesaian Contoh 1.8, himpunan penyelesaian x2
– 2x – 8 0 adalah (–,
–2) atau (4, ). Ungkapan tersebut ditulis (–, –2) (4, ). Tanda dibaca: gabungan
atau atau. Jadi, himpunan penyelesaian dari x2
– 2x 8 adalah (–, –2) (4, ).
Contoh 1.10
Tentukan penyelesaian dari 2x2
+ 5x – 3 0.
–2 –1 0 1 2 3 4
+ +–
titik pemecah selang titik pemecah selang
titik uji titik ujititik uji
–3 5
10. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 10
Penyelesaian
Karena 2x2
+ 5x – 3 = (2x – 1)(x + 3) maka diperoleh titik pemecah selangnya adalah x = –3
dan x = ½. Dengan memasukkan titik uji –4, 0, dan 1, diperoleh selang positif atau negatif
seperti yang diperlihatkan pada gambar. Perhatikan bahwa ungkapan 2x2
+ 5x – 3 0
menunjukkan bahwa 2x2
+ 5x – 3 selalu bernilai positif atau nol. Karena 2x2
+ 5x – 3 dapat
bernilai nol, titik pemecah selang x = –3 dan x = ½ termasuk ke dalam penyelesaian. Dengan
demikian, himpunan penyelesaiannya adalah (–, –3] [½, ).
Contoh 1.11
Cari himpunan penyelesaian dari 0
3
1
x
x
.
Penyelesaian
Ungkapan 0
3
1
x
x
menunjukkan bahwa
𝑥−1
𝑥+3
selalu positif atau nol. Titik pemecah selang
adalah x = 1 dan x = –3 (pembuat nol dari pembilang dan penyebut). Perhatikan bahwa x = –
3 harus dikecualikan karena akan menghasilkan pembagian dengan nol. Sementara itu, x = 1
termasuk penyelesaian. Dengan demikian, selangnya adalah (–,–3), (–3, 1], dan [1, ).
Dengan memasukkan titik uji pada setiap selang, masing-masing –4, 0, dan 2, secara
berurutan, diperoleh bahwa
𝑥−1
𝑥+3
bernilai positif atau nol pada selang (–,–3) atau [1, ).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (–,–3) [1, ).
–4 –3 –2 –1 0 ½ 1 2
+ +–
titik pemecah selang
titik ujititik uji
–5 3
11. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 11
Contoh 1.12
Tentukan semua nilai x yang memenuhi x
x
4
1
.
Penyelesaian
Hati-hati dalam memecahkan pertidaksamaan seperti ini. Ingat bahwa x bisa bernilai positif
atau negatif dan, dalam kasus ini, x 0 (penyebut tidak boleh 0).
Berikut adalah CARA JAWAB YANG SALAH.
x
x
4
1
1 4x2
1 – 4x2
0
(1 – 2x)(1 + 2x) 0
Titik pemecah selang: x = ½ dan x = ½ sehingga diperoleh tiga selang, yaitu (,½),
(½, ½), dan (½,). Dengan memasukaan titik uji 1, 0, dan 1 berturut-turut pada masing-
masing selang tersebut, diperoleh bahwa nilai (1 – 2x)(1 + 2x) adalah negatif untuk
(,½), positif untuk (½, ½), dan negatif untuk (½,). Sementara itu, ungkapan (1 –
2x)(1 + 2x) 0 menunjukkan bahwa nilainya harus positif atau nol. Dengan demikian, nilai
x yang memenuhi terdapat pada (½, ½).
–4 –3 –2 –1 0 1 2
+ +–
titik pemecah selang titik pemecah selang
titik uji titik ujititik uji
–5 3
12. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 12
Mengapa (½, ½) merupakan JAWABAN YANG SALAH dari pertidaksamaan x
x
4
1
?
Jika kita masukkan x = 0 pada pertidaksamaan tersebut (x = 0 berada pada selang tersebut),
diperoleh ungkapan 0
0
1
. Jelas bahwa ini adalah SALAH.
CARA JAWAB YANG BENAR sebagai berikut.
x
x
4
1
04
1
x
x
0
41 2
x
x
0
)21)(21(
x
xx
Titik pemecah selang: x = ½, x = 0, dan x = ½. Perhatikan bahwa x = 0 harus dikecualikan
karena penyebut tidak boleh sama dengan nol, sementara x = ½ dan x = ½ termasuk ke
dalam selang. Dengan memasukan titik uji 1, ¼ , ¼, dan 1 berturut-turut pada masing-
masing selang, diperoleh bahwa nilai (1 – 2x)(1 + 2x) adalah positif untuk (,½], negatif
untuk (½, 0), positif untuk (0, ½], dan negatif untuk [½, ). Sementara itu, ungkapan (1 –
2x)(1 + 2x) 0 menunjukkan bahwa nilainya harus positif atau nol. Dengan demikian, nilai
x yang memenuhi terdapat pada (,½] [½, ). Jadi, nilai x yang memenuhi x
x
4
1
adalah (,½] [½, ).
Contoh 1.13
Cari himpunan penyelesaian dari 2
12
x
x
.
Penyelesaian
Contoh ini serupa dengan Contoh 1.13. Cara menyelesaikannya sebagai berikut.
13. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 13
2
12
x
x
02
12
x
x
0
212
x
x
x
x
0
122
x
xx
0
)1( 2
x
x
Karena pembilangnya, yakni 2
)1( x , selalu positif atau nol, titik pemecah selangnya
adalah x = 0 (Tapi, ingat, penyebut x 0). Dengan memasukkan titik uji 1 dan 1, diperoleh
tanda negatif untuk (, 0) dan positif untuk (0, ). Jadi, penyelesaiannya adalah (0, ).
Tunjukkan lambang selang berikut pada
garis bilangan real.
1. [–5, 2]
2. (–, –1]
3. (1, 4]
4. (–1, 2)
5. [0, )
Tentukan semua x yang memenuhi
pertidaksamaan berikut. Nyatakan dalam
notasi selang dan grafik.
6. 3462 xx
7. 342
xx
8. x
x
9
1
9. 0
1
4
x
x
10. 3
2
x
x
11. 0)3)(1)(2( xxx
12. 065 23
xxx
13. 82 24
xx
14. 273 x dan 212 x
SOAL-SOAL 1.2
14. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 14
15. 172 x atau 312 x
C. Nilai Mutlak dan Bentuk Akar
1. Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real x, dilambangkan oleh |x|, didefinisikan sebagai berikut.
Definisi tersebut menyatakan bahwa |x| selalu bernilai taknegatif. Sebagai contoh, |4| = 4,
|–3| = 3, |0| = 0, dan |–x| = |x|.
Nilai mutlak dapat dipahami sebagai sebuah jarak. |x| adalah jarak antara x dan titik
asal (titik nol). Dengan pemahaman yang sama, |x – a| adalah jarak antara x dan titik a.
Adapun sifat-sifat nilai mutlak sebagai berikut.
(1) |ab| = |a||b| (3) |a + b| |a| + |b|
(2)
b
a
b
a
(4) |a – b| ||a| + |b||
Memecahkan Pertidaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak Pertidaksamaan yang
melibatkan nilai mutlak memenuhi pernyataan berikut.
Teorema
|x | a –a x a
|x | > a x –a atau x a
Definisi Nilai Mutlak
0,
0,
||
xx
xx
x
15. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 15
Contoh 1.14
Cari himpunan penyelesaian dari |x – 5| 3.
Penyelesaian
|x – 5| 3 –3 x – 5 3
2 x 8 (setelah setiap ruas ditambah 5)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (2, 8).
Contoh 1.15
Cari himpunan penyelesaian dari |2x – 7| 1.
Penyelesaian
|2x – 7| 1 2x – 7 – 1 atau 2x – 7 1
2x 6 atau 2x 8
x 3 atau x 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (–, 3] [4, ).
Contoh 1.16
Cari himpunan penyelesaian dari 2
2||
x
x
.
Penyelesaian
Memecahkan pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak seperti ini dilakukan membuka
tanda mutlak sesuai dengan definisinya.
o Untuk x 0, |x| = x :
2
2||
x
x
2
2
x
x
02
2
x
x
0
22
x
x
x
x
0
2
x
x
16. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 16
Titik pemecah selangnya adalah x = 0 dan x = 2. Akan tetapi, x = 0 harus dikecualikan
dari himpunan penyelesaian karena penyebut tidak boleh nol. Hasil uji selang (lihat
gambar) menunjukkan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah (0, 2]. Akan tetapi,
kita sedang bekerja untuk x 0 atau (0, ) maka himpunan penyelesaiannya menjadi (0,
2) (0, ) = (0, 2).
o Untuk x < 0, |x| = –x:
2
2||
x
x
2
2
x
x
02
2
x
x
0
22
x
x
x
x
0
32
x
x
Titik pemecah selangnya adalah x = 0 dan x = 2/3. Akan tetapi, x = 0 harus dikecualikan
dari himpunan penyelesaian karena penyebut tidak boleh nol. Hasil uji selang (lihat
gambar) diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah (0, 2/3]. Akan tetapi, kita sedang
bekerja untuk x < 0 atau (–, 0) maka himpunan penyelesaiannya menjadi (0, 2/3) (–
, 0) = { } atau himpunan kosong.
Jadi, himpunan penyelesaian dari 2
2||
x
x
adalah (0, 2) { } = (0, 2).
–1 0 1/2 2/3 1 2
+ ––
titik pemecah selang
titik uji titik ujititik uji
–2 –1 0 1 2 3 4
+ ––
titik pemecah selang
titik uji titik ujititik uji
–3
17. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 17
Contoh 1.17
Tentukan semua x yang memenuhi 2
3
x
x
.
Penyelesaian
2
3
x
x
2
3
2 x
x
2
3
x
x
dan 2
3
x
x
Kita pecahkan dahulu masing-masing.
(*) 2
3
x
x
02
3
x
x
0
23 2
x
xx
0
322
x
xx
0
)3)(1(
x
xx
Diperoleh titik pemecah selang: x = –1, x = 0, dan x = 3. (Ingat, x = 0 harus dikecualikan
dari solusi, karena penyebut tidak boleh sama dengan nol). Dengan memasukkan titik uji
pada tiap selang berturut-turut: –2, –½, 1, dan 4 diperoleh selang yang memenuhi
0
)3)(1(
x
xx
adalah
HP1 = (–,–1] (0, 3] (i)
(**) 2
3
x
x
02
3
x
x
0
23 2
x
xx
18. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 18
0
322
x
xx
0
)3)(1(
x
xx
Diperoleh titik pemecah selang: x = –3, x = 0, dan x = 1. (Ingat, x = 0 harus dikecualikan
dari solusi, karena penyebut tidak boleh sama dengan nol). Dengan memasukkan titik uji
pada tiap selang berturut-turut: –4, –1, ½, dan 2 diperoleh selang yang memenuhi
0
)3)(1(
x
xx
adalah
HP2 = [–3, 0) [1, ) (ii)
Dengan demikian, semua x yang memenuhi 2
3
x
x
adalah
HP1 HP2 = {(–,–1] (0, 3]} {[–3, 0) [1, )} = [–3, –1] [1, 3].
2. Akar dari Kuadrat
Setiap bilangan positif memiliki dua akar kuadrat. Sebagai contoh, dua akar kuadrat dari 16
adalah 4 dan –4 dan kadang-kadang dinyatakan sebagai 4. Untuk a 0, a disebut akar
kuadrat taknegatif dari a. Jadi, 4 = 2 dan 225 = 15. Penulisan 9 = 3 adalah tidak
benar karena 9 berarti akar kuadrat taknegatif dari 9, yakni 3. Bilangan 3 memiliki dua
akar kuadrat, yang ditulis 3 , tetapi 3 menyatakan bilangan real positif.
Secara umum, bentuk akar kuadrat definisikan sebagai berikut:
.
Definisi Akar dari Kuadrat
xx 2
19. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 19
Ingat kembali bahwa penyelesaian persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 diberikan oleh
rumus abc sebagai berikut.
a
acbb
x
2
42
.
Bilangan D = b2
– 4ac disebut diskriminan dari persamaan kuadrat. Persamaan ini memiliki
dua penyelesaian real jika D 0, satu penyelesaian real jika D = 0, dan tak ada penyelesaian
real (imajiner) jika D 0.
Contoh 1.18
Cari himpunan penyelesaian dari x2
– x – 3 0.
Penyelesaian
Dua penyelesaian dari x2
– x – 3 = 0 yaitu
13
2
1
2
1
)1(2
)3)(1(4)1()1( 2
1
x
dan
13
2
1
2
1
)1(2
)3)(1(4)1()1( 2
2
x .
Titik pemecah selang 13
2
1
2
1
dan 13
2
1
2
1
membagi tiga selang yaitu (–,
13
2
1
2
1
], [ 13
2
1
2
1
, 13
2
1
2
1
], dan [ 13
2
1
2
1
, ). Ambil titik uji –2, 0, dan 4
maka diperoleh simpulan bahwa himpunan penyelesaian dari x2
– x – 3 0 adalah [
13
2
1
2
1
, 13
2
1
2
1
].
20. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 20
3. Kuadrat Nilai Mutlak
Kuadrat dari nilai mutlak memenuhi persamaan berikut.
Penguadratan kedua ruas pada pertidaksamaan dapat menyebabkan pertidaksamaan
itu menjadi salah. Sebagai contoh, –2 > –5 akan tetapi (–2)2
< (–5)2
. Di lain pihak, 2 < 5 dan
22
< 52
. Dengan demikian, penguadratan kedua ruas pada pertidaksamaan akan tetap benar
jika bilangan pada kedua ruas itu taknegatif. Berdasarkan kenyataan tersebut, diperoleh
teorema berikut.
Contoh 1.19
Cari himpunan penyelesaian dari |x – 1| 2|x – 3|.
Penyelesaian
Pemecahan pertidaksamaan di atas dapat dilakukan dengan menguadratkan kedua ruasnya
sebagai berikut.
|3|2|1| xx 222
|3|2|1| xx
)96(412 22
xxxx
3624412 22
xxxx
035223 xx
035223 2
xx
0)5)(73( xx
Titik pemecah selangnya adalah x = 7/3 dan x = 5. Uji selangnya sebagai berikut.
Teorema
|x| |y| x2
y2
Kuadrat Nilai Mutlak
22
xx
21. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 21
Jadi, himpunan penyelesaian dari |x – 1| 2|x – 3| adalah (–, 7/3) (5, ).
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut.
1. 21 x
2. 1
5
2
x
3. 1054 x
4. |2|2|1| xx
5. )2(2|1| xx
6.
||
2
1
x
x
7.
|1|
2
x
x
8. x
x
2
3
9. 0232
xx
10. 0151114 2
xx
D. Jarak Antara Dua Titik dan Persamaan Lingkaran
1. Jarak Antara Dua Titik
Tinjau tiga buah titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x2, y1) seperti diperlihatkan pada Gambar
1.2. Garis hubung ketiga titik membentuk segitiga siku-siku dengan siku-siku di C. Jarak
AB dapat ditentukan menggunakan dalil Pythagoras sebagai berikut.
SOAL-SOAL 1.3
0 7/3 4 5 6
– ++
titik pemecah selang
titik uji titik ujititik uji
22. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 22
Gambar 1.2 Menentukan jarak antara dua titik.
Contoh 1.20
Tentukan jarak antara (a) A(2, –5) dan B(4, 3); (b) C( 3,2 ) dan D( 34,22 ).
Penyelesaian
(a) 2
12
2
12 )()(|| yyxxABd
22
))5(3()24( 22
8)6( 10
(b) 2
12
2
12 )()(|| yyxxCDd
22
)343()222( 22
)35()2( 79
2. Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama ke titik acuan tetap. Titik acuan tetap
ini disebut pusat lingkaran.
Jarak antara titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)
2
12
2
12 )()(|| yyxxABd
A(x1, y1)
B(x2, y2)
C(x2, y1)
x
x2x1
y1
y2
y
d
23. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 23
Sekarang tinjau sebuah lingkaran berjari-jari r dan berpusat di P(a,b) seperti
diperlihatkan pada Gambar 1.3 . Jarak titik (x, y) pada lingkaran ke pusat lingkaran adalah
22
)()( byaxr
Dengan menguadratkan kedua ruas dan mengubah susunan persamaan di atas diperoleh
persamaan lingkaran sebagai berikut.
Gambar 1.3 Lingkaran berpusat di (a, b) dan berjari-jari r.
Jika persamaan lingkaran baku kita uraikan, diperoleh
222
)()( rbyax
22222
22 rbbyyaaxx
0)()2()2( 22222
rbaybxayx
Misalkan A = –2a, B = –2b, dan C = a2
+ b2
– r2
maka persamaan lingkaran umum sebagai
berikut.
Persamaan Lingkaran Baku
Lingkaran baku berjejari r berpusat di (a, b) dinyatakan oleh persamaan
222
)()( rbyax
P(a, b)
(x, y)
x
y
r
24. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 24
Contoh 1.21
Tentukan persamaan lingkaran berjejari 5 dan berpusat di (2, 3).
Penyelesaian
Diketahui r = 5, a = 2, dan b = –3 maka
222
)()( rbyax
222
5))3(()2( yx
25)3()2( 22
yx
Contoh 1.22
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang dinyatakan oleh persamaan
066222
yxyx .
Penyelesaian
Bandingkan 066222
yxyx dengan 022
CByAxyx maka
diperoleh A = –2, B = 6, dan C = 6. Selanjutnya diperoleh
Persamaan Lingkaran Umum
Secara umum, lingkaran dapat dinyatakan oleh persamaan
022
CByAxyx
Pusat lingkaran P(a, b) dengan
2
A
a dan
2
B
b
dan jari-jari
Cbar 22
25. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 25
1
2
2
2
A
a , 3
2
6
2
B
b , dan
26)3(1 2222
Cbar
Jadi, pusat lingkaran tersebut adalah (1, –3) dengan jari-jari 2 satuan.
Gambarkan titik-titik berikut pada
koordinat bidang dan tentukan jaraknya.
1. A(3, 2) dan B(–1, 5)
2. C(1, 3) dan D(–2, 4)
3. E(–3, –2) dan F(4, 5)
Tentukan persamaan lingkaran yang
pusat dan jari-jarinya berturut-turut
sebagai berikut.
4. (–2, 3) dan 2
5. (0, 0) dan 5
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
yang memenuhi persamaan berikut.
6. 16)1(2 22
yx
7. 06222
yxyx
8. 01561644 22
yxyx
Tentukan jarak antarpusat dua lingkaran
berikut.
9. 9)2(1 22
yx dan
25)4(3 22
yx
10. 0351222
xyx dan
0101022
yxyx
E. Garis Lurus
1. Kemiringan Garis atau Gradien
Tinjau sebuah garis g seperti diperlihatkan pada Gambar 1.4. Misalnya titik A(x1, y1) dan
B(x2, y2) berada pada garis tersebut. Gradien garis g didefinisikan sebagai berikut.
SOAL-SOAL 1.4
26. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 26
Contoh 1.23
Tentukan gradien garis yang melalui (2,5) dan (4,1).
Penyelesaian
3
2
6
4
)2(4
51
12
12
xx
yy
m
Gambar 1.4 Gradien garis takvertikal.
2. Garis-garis Sejajar dan Tegak lurus
Pada Gambar 1.5(a) diperlihatkan dua buah garis, g dan h, yang sejajar satu sama lain,
sedangkan pada Gambar 1.5(b), garis g dan h saling tegak lurus. Keadaan kedua garis
tersebut memenuhi teorema berikut.
Definisi Gradien
Gradien garis yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2), untuk x1 x2
12
12
xx
yy
m
.
Garis vertikal tidak memiliki gradien.
A
B
x
x2x1
y1
y2
y
y2 – y1
x2 – x1
C(x, y)
x
y
27. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 27
Gambar 1.5 (a) Dua garis sejajar dan (b) dua garis saling tegak lurus.
3. Persamaan Garis Lurus
Tinjau kembali Gambar 1.5. Jika C(x, y) adalah sebarang titik pada garis yang melalui AB,
gradien garis tersebut juga dapat dinyatakan oleh
1
1
xx
yy
m
Dari persamaan tersebut diperoleh persamaan garis sebagai berikut.
Jika garis dengan gradien m yang memotong sumbu-y di titik (0, c), persamaan
garisnya menjadi sebagai berikut.
Persamaan Garis (1)
Garis dengan gradien m yang melalui titik (x1, y2) memenuhi persamaan
11 )( yxxmy
Teorema
Misalkan m1 adalah gradien garis g dan m2 adalah gradien garis h:
(1) Garis g sejajar garis h jika m1 = m2.
(2) Garis g tegak lurus garis h jika 121 mm .
g h
g h
(a) (b)
28. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 28
Secara umum, persamaan garis dapat dinyatakan sebagai berikut.
Persamaan Garis Vertikal dan Horisontal Garis vertikal melalui titik (a, b) memiliki
persamaan x = a karena setiap koordinat-x pada garis memiliki nilai a. Serupa dengan itu,
garis lurus yang melalui (a, b) memiliki persamaan y = b.
Gambar 1.6 Garis x = 2 dan y = 3
Persamaan Garis (Umum)
Untuk A dan B tak nol bersamaan, sebuah garis dapat dinyatakan oleh persamaan
0 CByAx
Persamaan ini disebut persamaan linear umum. Gradien garisnya adalah
B
A
m
Persamaan Garis (2)
Garis dengan gradien m yang memotong sumbu-y di titik (0, c)
cmxy
x
x = 2
y = 3
y
1
2
–1
–1
1 2 3
29. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 29
Contoh 1.24
(a) Carilah persamaan garis yang melalui (3, 4) yang sejajar dengan garis 0653 yx .
(b) Tentukan pula persamaan garis yang melalui (1,2) yang tegak lurus persamaan garis
tersebut.
Penyelesaian
Garis 0653 yx ditulis menjadi
5
6
5
3
xy . Jadi, gradien garisnya
5
3
1 m .
(a) Karena sejajar, gradien garis yang melalui (3, 4) adalah
5
3
12 mm sehingga
11 )( yxxmy
atau
5
11
5
3
xy
Jadi, persamaan garis melalui (3, 4) yang sejajar garis 0653 yx adalah
5
11
5
3
xy .
(b) Karena tegak lurus, garis yang melalui (–1, 2) memiliki gradien
3
5
5/3
11
1
2
m
m
sehingga persamaan garisnya
11 )( yxxmy
2))1((
3
5
xy
3
1
3
5
xy
Jadi, persamaan garis melalui (–1, 2) yang tegak lurus garis 0653 yx adalah
3
1
3
5
xy
4)3(
5
3
xy
30. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 30
Tentukan gradien garis yang melalui
titik-titik berikut.
1. (1, 2) dan (4, –3)
2. (–2, 1) dan (3, 0)
Tentukan persamaan garis dengan
kondisi berikut. Nyatakan dalam bentuk
0 CByAx .
3. Gradien 2 melalui (–2, 4)
4. Gradien 3
2
melalui (0, 5)
5. Melalui (0, 2) dan (–1, 4)
6. Melalui (–2, 1) dan (3, 3)
Tentukan persamaan garis yang melalui
(–1, 2) dan
7. sejajar garis 32 xy
8. sejajar garis 0532 yx
9. tegak lurus 53 xy
10. tegak lurus 062 yx
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut. Nyatakan
himpunan tersebut dalam notasi selang.
1. 1 – 4x > 0
2. 6x + 4 > 3x – 8
3. 4 – 2x < 3x + 1 < 5x + 7
4. 2x2
+ 5x – 3 0
5. 21p2
– 44p –15
6. x
x
2
1
7. (x2
+ 1)(x – 1)(x – 3)(x + 3) < 0
8. 2
1
3
x
9. |3x – 7| < 5
10. |2x + 5| > 1
11. 75
7
2
x
12. |12 – 3x| – |x| > 0
13. 2
|1|
x
x
14. )5(2|2| xx
15. | x + 1| + | x | – 3 < 0
16. Tentukan gradien garis yang melalui
dua titik berikut.
(a) A(1, 2) dan B(–1, –1)
SOAL-SOAL ULANGAN
SOAL-SOAL 1.5
31. Aip Saripudin, Bahan Ajar Matematika Dasar JPTE FPTK UPI 31
(b) P(–3, 1) dan Q(–8,1)
17. Tentukan persamaan garis yang
bergradien m dan melalui titik P
berikut.
(a) m = 2; P(3, –4)
(b) m = – ½ ; P(–5, 1)
18. Tentukan persamaan garis yang
melalui (2, 5) dan
(a) sejajar garis 2x – 10y – 3 = 0
(b) tegak lurus 2x – 3y + 5 = 0