Dokumen tersebut membahas tentang fungsi pernyataan, kuantor universal dan kuantor eksistensial, premis dan argumen, serta contoh-contoh penarikan kesimpulan logika melalui modus ponen, modus tolens, silogisme, dilema konstruktif, dan dilema destruktif.

1. Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd
Mata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika

2. Fungsi Pernyataan
Definisi:
Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat
terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta
pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).
Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka
yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(x)
bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk
setiap x (x adalah anggota dari semesta
pembicaraan). Ingat bahwa p(x) suatu pernyataan.

3. Contoh:
1. Jika p(x) = 1 + x > 5
p(x) akan merupakan fungsi pernyataan pada
A = himpunan bilangan asli. Karena demikian maka
p(x) bernilai benar untuk x = 5, 6, 7, . . .
2. Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan
bilangan asli, tidak ada x yang menyebabkan q(x)
bernilai benar.

4. Kuantor Umum (Kuantor Universal)
Simbol  yang dibaca “untuk semua” atau “untuk
setiap” disebut kuantor umum.
Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu
himpunan A (himpunan A adalah semesta
pembicaraannya) maka:
x  A, p(x) dibaca untuk semua x elemen A
berlakulah p(x)
x, p(x) atau x p(x) dibaca untuk semua x

5. Contoh:
1. p(x) = x tidak kekal
p(manusia) = Manusia tidak kekal
maka x, p(x) = x  {manusia}, p(x) = semua
manusia tidak kekal (Benar)
Perhatikan bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka
(tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi x p(x)
merupakan pernyataan (mempunyai nilai benar
atau salah tetapi tidak kedua-duanya).
11.p(x) = Semua mahasiswa IKIP Gunungsitoli pandai
(Benar)
berarti: semua (tanpa terkecuali) mahasiswa IKIP

6. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)
Simbol  dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau
“untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus.
Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan
tertentu yaitu A (himpunan A adalah semesta
pembicaraan) maka:
x  A, p(x) dibaca ada x elemen A, sedemikian
hingga p(x)
x! p(x) atau x, p(x) atau x p(x) dibaca untuk

7. Contoh:
1. p(x) = x adalah wanita
p(perwira ABRI) = Perwira ABRI adalah wanita
x p(x) = x! p(x) = x  {perwira ABRI}, p(x) =
ada perwira ABRI adalah wanita (Benar)
11.Misalkan:
A= Himpunan Semua Mahasiswa IKIP
Gunungsitoli
B= Beberapa Mahasiswa IKIP Gunungsitoli pandai
berarti: ada Mahasiswa IKIP Gunungsitoli yang
pandai atau sekurang-kurangya ada seorang
Mahasiswa IKIP Gunungsitoli yang pandai.

8. Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor
Negasi dari:
Semua manusia tidak kekal =
Atau:
Semua manusia tidak kekal =
Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka
“Semua manusia adalah tidak kekal” atau x, p(x) bernilai benar,
dan “Beberapa manusia kekal” atau x, ~p(x) bernilai salah.
Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol:
~ [x p(x)]  x ~p(x)
Tidak benar bahwa semua manusia
tidak kekal
Beberapa manusia kekal

9. Jadi negasi dari suatu pernyataan yang mengandung kuantor
universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang mengandung
kuantor eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan) dan
sebaliknya :
~[x p(x)]  x ~p(x)
Contoh:
p :
~p :
q :
~q :
r :
~r :
~r :
Semua mahasiswa rajin belajar
Ada mahasiswa yang tidak rajin belajar
Ada mahasiswa yang rumahnya di Lahewa
Semua mahasiswa rumahnya bukan di Lahewa
Jika semua mahasiswa rajin belajar maka
lulus ujianSemua mahasiswa rajin belajar dan tidak
lulus ujianSemua mahasiswa rajin belajar tetapi tidak lulus
ujian

11. Premis dan Argumen
Premis adalah pernyataan-pernyataan yang digunakan
untuk menarik suatu kesimpulan.
Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau
pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.
Sedangkan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri
atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti
(evidence) dan suatu (satu) konklusi.
Secara sederhana dapat dikatakan bahwa suatu argumen
dikatakan sah/valid jika premis-premisnya benar, maka
konklusinya juga benar.

12. Validitas Pembuktian atau Penarikan
Kesimpulan
Dalam penarikan kesimpulan biasanya
menggunakan prinsip logika dimana pernyataan
disebut premis serta penarikan kesimpulan
disebut argumentasi. Prinsip logika bila premis-
premisnya benar maka konklusinya sah atau
valid. Sebaliknya jika premis-premisnya salah
maka konklusinya tidak sah atau tidak valid.

13. Berikut adalah Validitas
pembuktianyang
sah

14. Modus Ponen
Dalam bentuk implikasi pernyataan penarikan kesimpulan dengan modus ponen ditulis:
{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q
dibaca “implikasi dikonjungsikan dengan p berimplikasi (menghasilkan) kesimpulan
atau konklusi q. Uraian modus ponen dapat ditulis:
Premis 1 :
Premis 2 :
Konklusi :
Uraian di atas dapat juga dibaca: Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar,
disimpulkan q benar. (Notasi: Ada yang menggunakan tanda  untuk menyatakan
konklusi, seperti p ⇒ q, pq)
p ⇒ q
p
q

15. Tabel Kebenarannya adalah:
p q p ⇒ q (p ⇒ q) ∧ p {(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Ingat!!!
Proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar disebut
proposisi-proposisi yang nilainya selalu salah disebut

16. Contoh:
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari
bentuk argumen modus ponen.
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Saya belajar (benar)
Saya lulus ujian (benar)
Jika x = 7, maka x² = 49
x = 7
x² = 49

17. ModusTolens
Penarikan kesimpulan dengan modus tolens dilakukan dengan simbol matematika:
{(p ⇒ q) ∧ ~q} ⇒ ~p
dibaca “implikasi dikonjungsikan terhadap negasi q berimplikasi (menghasilkan)
kesimpulan atau konklusi negasi p. Uraian modus tolens dapat ditulis:
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
p ⇒ q
~q
~p

18. Tabel Kebenarannya adalah:
p q ~p ~q p ⇒ q (p ⇒ q) ∧ ~q {(p ⇒ q) ∧ ~q} ⇒ ~p
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B

19. Tabel Kebenarannya adalah:
p q ~p ~q p ⇒ q (p ⇒ q) ∧ ~p {(p ⇒ q) ∧ ~p} ⇒ ~q
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B B S
S S B B B B B

20. Contoh:
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p
tidak terjadi.
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar)
Saya tidak memakai jas hujan (benar)
Hari tidak hujan (benar)
Jika ada gula maka ada semut
Tidak ada semut
Tidak ada gula

21. Silogisme
Penarikan kesimpulan dengan silogisme dilakukan berdasarkan implikasi-implikasi
berturut-turut. Secara simbolik logika penarikan kesimpulan dengan silogisme
dituliskan dengan lambang:
{(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r)
Uraian silogisme dapat ditulis:
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
p ⇒ q
q ⇒ r
p ⇒ r

22. Tabel Kebenarannya adalah:
p q r p ⇒ q q ⇒ r p ⇒ r (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) {(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r)
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B

23. Contoh:
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Jika kamu benar maka saya bersalah (benar)
Jika saya bersalah maka saya minta maaf (benar)
Jika kamu benar maka saya minta maaf (benar)
Jika hari ini hujan maka jalanan basah (benar)
Jika jalanan basah maka saya tidak berangkat kuliah(benar)
Jika hari ini hujan maka saya tidak berangkat kuliah (benar)

24. Silogisme Disjungtif
Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar,
maka argumen di bawah ini tidak valid.
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar
(disjungsi eksklusif), maka silogisme disjungtif di atas adalah valid.
p ∨ q
~p
q
p ∨ q
q
~p
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Atau
p ∨ q
~q
p

25. Tabel Kebenarannya Silogisme Disjungtif:
p q ~p ~q p ∨ q (p ∨ q) ∧ ~p (p ∨ q) ∧ ~q {(p ∨ q) ∧ ~p} ⇒ q {(p ∨ q) ∧ ~q} ⇒ p
B B S S B S S B B
B S S B B S B B B
S B B S B B S B B
S S B B S S S B B

26. Contoh:
1. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
2. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
3. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B)
Pengalaman ini tidak berbahaya (B)
Pengalaman ini membosankan (B)
Air ini panas atau dingin (B)
Air ini panas (B)
Air ini tidak dingin (B)
Obyeknya berwarna merah atau sepatu
Obyek ini berwarna merah
Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)

27. Konjungsi
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Artinya: p benar, q benar. Maka p ∧ q benar.
Tambahan (Addition)
Premis 1 :
 :
Artinya: p benar, maka p ∨ q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki
q).
p
q
p ∧ q
p ∨ q
p

28. Duabentuk argumenvalid
yang lainadalah dilema konstruktif
dandilema destruktif

29. Dilema Konstruktif
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa
argumen modus ponen).
Contoh:
Premis 1 :
Premis 2:
 :
Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja
Hari ini hujan atau pacar datang
Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja
(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)
p ∨ r
q ∨ s

30. Dilema Destruktif
Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan
argumen modus tolens).
Contoh:
Premis 1 :
Premis 2:
 :
Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut,
aku akan ditembak mati
Aku tidak akan digantung atau ditembak mati
Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut
(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)
~q ∨ ~s
~p ∨ ~r

31. Contoh lain penarikan
kesimpulan logika

32. Contoh:
1. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
2. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
3. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Jika semua pejabat tidak korupsi maka rakyat hidup sejahtera
Rakyat hidup sengsara
Semua pejabat korupsi (ModusTolens)
Tidak ada politikus yang suka berbohong
Orang yang tidak suka berbohong adalah orang bijak
Semua politikus adalah orang bijak (Silogisme)
Setiap rumah memiliki lampu
Setiap rumah memiliki televisi
Setiap rumah memiliki lampu dan televisi (konjungsi)

33. Contoh:
4. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
5. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
6. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Berbelanja tanpa perencanaan mengakibatkan pemborosan
Resti selalu berbelanja tanpa perencanaan
Resti selalu melakukan pemborosan (Modus Ponen)
Jika Ayah di kantor dan Andri di sekolah, maka Ibu di rumah
Ibu tidak dirumah
Ayah tidak di kantor atau Andri tidak di sekolah (ModusTolens)
Jika Fadli Kuliah atau menikah makaAyah menghadiahkannya uang
Ayah tidak menghadiahkannya uang
Fadli tidak kuliah dan tidak menikah (ModusTolens)

34. Contoh:
7. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
8. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
9. Premis 1 :
Premis 2 :
 :
Jika saya ganteng maka pacar saya banyak
Jika pacar saya banyak maka saya adalah playboy
Jika saya ganteng maka saya adalah playboy (Silogisme)
Jika pacar saya cantik maka saya mencintainya
Jika saya mencintai pacar saya maka saya menikahinya
Jika pacar saya cantik maka saya menikahinya (Silogisme)
Jika istri saya cantik atau menawan maka anak saya ganteng
Anak saya tidak ganteng
Istri saya tidak cantik dan tidak menawan (ModusTolens)