Distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial ditemukan oleh James Bernoulli. Distribusi binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor.
Secara lengkap kunjungi:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/05/distribusi-binomial.html
Distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial ditemukan oleh James Bernoulli. Distribusi binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor.
Secara lengkap kunjungi:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/05/distribusi-binomial.html
Ukuran Pemusatan data
Ukuran Pemusatan data yaitu “suatu nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data dan menunjukkan karakteristik dari data tersebut.”
Ukuran penyebaran data
Ukuran Penyebaran adalah “suatu ukuran untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran data dari nilai rata-ratanya.”
Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial.
Perbedaan yang utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.
Dari penjelasan di atas, bisa disimpulkan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok objek atau populasi yang dipilih tanpa pengembalian.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Ada model matematis yang menggabungkan konsep probabilitas dan matriks untuk menganalisa proses stokastik, yang mengandung barisan percobaan yang memenuhi kondisi tertentu.
Pengenalan Rantai Markov.
Contoh Soal Rantai Markov.
Diagram transisi, matriks transisi, diagram pohon untuk mendeskripsikan suatu rantai markov.
Ukuran Pemusatan data
Ukuran Pemusatan data yaitu “suatu nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data dan menunjukkan karakteristik dari data tersebut.”
Ukuran penyebaran data
Ukuran Penyebaran adalah “suatu ukuran untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran data dari nilai rata-ratanya.”
Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial.
Perbedaan yang utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.
Dari penjelasan di atas, bisa disimpulkan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok objek atau populasi yang dipilih tanpa pengembalian.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Ada model matematis yang menggabungkan konsep probabilitas dan matriks untuk menganalisa proses stokastik, yang mengandung barisan percobaan yang memenuhi kondisi tertentu.
Pengenalan Rantai Markov.
Contoh Soal Rantai Markov.
Diagram transisi, matriks transisi, diagram pohon untuk mendeskripsikan suatu rantai markov.
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen serta Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen.
Baca lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/06/persamaan-fungsi-pertidaksamaan-eksponen.html
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Berikut ini merupakan tugas mata kuliah teori bilangan saat masih di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Nusa Cendana..
Semoga Bermanfaat..
SOAL GEOGRAFI-SMA NEGERI 1 YOGYAKARTA BAB 7_ ULANGAN HARIAN DINAMIKA HIDROSFE...
Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial
1. TUGAS
STATISTIKA MATEMATIKA 2
Distribusi Peluang Diskrit Khusus
(Distribusi Seragam, Bernoulli,
dan Binomial
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2. 2
2014
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT KHUSUS
A. Distribusi Seragam (Uniform)
Prinsip Dasar
Distribusi uniform adalah disribusi diskrit yang paling sederhana yang variabel
randomnya mempunyai nilai peluang sama dalam suatu percobaan.
Ciri-ciri
Setiap nilai variabel acak mempunyai probabilitas terjadi yang sama.
Definisi
Teorema
Bukti :
Untuk rataan
𝜇 = 𝐸( 𝑥) = ∑ 𝑥 𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑓( 𝑥 𝑖; 𝑘) = ∑
𝑥 𝑖
𝑘
𝑘
𝑖=1
=
∑ 𝑥 𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑘
Untuk variansi
𝜎2
= 𝐸(𝑥 𝑖 − 𝜇)2
= ∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇)2
𝑓( 𝑥 𝑖; 𝑘) = ∑
(𝑥 𝑖 − 𝜇)2
𝑘
=
∑ (𝑥 𝑖 − 𝜇)2𝑘
𝑖=1
𝑘
𝑘
𝑖=1
𝑘
𝑖=1
Definisi 1.
Suatu peubah acak X mempunyai distribusi uniform diskrit, dan dapat
dinyatakan peubah acak uniform diskrit, jika dan hanya jika disrtibusi
peluangnya diberikan dengan
𝑓( 𝑥; 𝑘) =
1
𝑘
𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …, 𝑥𝑘 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 ≠ 𝑗
Teorema 1.
Rataan dan variansi distribusi uniform diskrit 𝑓( 𝑥; 𝑘) adalah
𝜇 =
∑ 𝑥 𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑘
𝑑𝑎𝑛 𝜎2
=
∑ (𝑥 𝑖 − 𝜇)2𝑘
𝑖=1
𝑘
3. 3
Jadi teorema 1. terbukti.
Contoh
1. Seorang dipilih secara acak dari 5 mahasiswa untuk mengerjakan suatu tugas.
Berapa peluang setiap mahasiswa yang terpilih?
Jawab:
Tiap mahasiswa berpeluang sama untuk terpilih yaitu 1/5. Maka distribusinya
adalah dstribusi uniform. Sehingga peluang setiap mahasiswa yang terpilih
adalah
𝑓( 𝑥; 5) =
1
5
, 𝑥 = 1,2,3,4, 𝑑𝑎𝑛 5
2. Bila sebuah dadu dilantunkan, tiap unsur ruang terok T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Berapa peluang setiap mahasiswa yang terpilih?
Jawab:
Tiap unsur muncul dengan peluang sama yaitu 1/6. Jadi distribusinya adalah
distribusi uniform, maka
𝑓( 𝑥;6) =
1
6
, 𝑥 = 1,2, 3,4, 5,6.
3. Dari contoh 1. tentukan rata-rata dan variansinya.
Jawab:
Berdasarkan teorema 1. maka diperoleh
𝜇 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5
5
=
15
5
= 3
𝜎2 =
(1 − 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)2
5
=
10
5
= 2
4. Dari contoh 2. tentukan rata-rata dan variansinya.
Jawab:
Berdasarkan teorema 1. maka diperoleh
𝜇 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6
=
21
6
= 3,5
4. 4
𝜎2 =
(1 − 3,5)2 + (2 − 3,5)2 + (3 − 3,5)2 + ⋯+ (5 − 3,5)2
5
=
35
12
= 2,92
B. Distribusi Bernoulli
Prinsip Dasar
Peubah acak bernoulli hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1 dalam satu kali
percobaan. nilai 0 dan 1 ini biasanya dikaitkan dengan “gagal” dan“sukses”.
Peluang sukses dinyatakan dengan p dan gagal dengan 1 – p.
Ciri-ciri
1. Percobaan terdiri atas 𝑛 usaha yang berulang.
2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan sukses atau gagal.
3. Peluang sukses, dinyatakan dengan 𝑝, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang
berikutnya.
4. Tiap usaha,bebas dengan usaha yang lainnya.
Definisi
Teorema
Bukti:
Untuk rataan
𝜇 = 𝐸( 𝑥) = ∑ 𝑥𝑓( 𝑥; 𝑝) = ∑ 𝑥𝑝 𝑥
1
𝑥=0
1
𝑥=0
𝑞1−𝑥 = 0. 𝑝0 𝑞1−0 + 1𝑝1 𝑞1−1 = 𝑝
Untuk variansi
Diketahui bahwa 𝜎2 = 𝐸(𝑥𝑖 − 𝜇)2 = 𝐸(𝑥)2 − [𝐸( 𝑥)]2
Definisi 1.
Suatu peubah acak X mempunyai distribusi bernoulli (X dikatakan peubah
acak bernoulli) jika dan hanya jika distribusi peluangnya diberikan dengan
𝑓( 𝑥; 𝑝) = 𝑝 𝑥(1− 𝑝)1−𝑥 = 𝑝 𝑥( 𝑞)1−𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑥 = 0, 1.
Teorema 1.
Distribusi bernoulli 𝑓( 𝑥; 𝑝) mempunyai rata-rata dan variansi
𝜇 = 𝑝 dan 𝜎2 = 𝑝𝑞
5. 5
Dan 𝜇 = 𝐸( 𝑥) = 𝑝, sekarang akan dicari 𝐸(𝑥2) sebagaiberikut
𝜇 = 𝐸( 𝑥2) = ∑ 𝑥2
1
𝑥=0
𝑓( 𝑥; 𝑝) = ∑ 𝑥2
1
𝑥=0
𝑝 𝑥 𝑞1−𝑥 = 02. 𝑝0 𝑞1−0 + 12 𝑝1 𝑞1−1 = 𝑝
Jadi 𝜎2 = 𝐸( 𝑥 𝑖 − 𝜇)2 = 𝐸( 𝑥)2 − [ 𝐸( 𝑥)]2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝𝑞.
Jadi teorema 1. terbukti.
Contoh
1. Sebuah mata uang dilempar satu kali, dicatat bahwa hasilnya yang muncul
muka “M” dan belakang “B”. Berapa peluang yang muncul muka?
Jawab:
Ruang sampel dari masalah di atas adalah S = {M, B} dan dimisalkan kejadian
muncul muka adalah A = {M}, dan dibelakang adalah C={B}. Sehingga peluang
muncul muka adalah
𝑃( 𝑀) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑠)
=
1
2
dalam hal ini sesuai dengan distribusi bernoulli yaitu
𝑓( 𝑥; 𝑝) = 𝑝 𝑥(1− 𝑝)1−𝑥 = 𝑝 𝑥( 𝑞)1−𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑥 = 0, 1.
Karena p = 0,5 sehingga 𝑓( 𝑥; 𝑝) = (0,5) 𝑥(0,5)1−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0, 1. Setelah
dilakukan pelemparan ternyata mata uang yang muncul adalah muka ,berarti
𝑥 = 1 atau berhasil.
Jadi 𝑓( 𝑥; 𝑝) = (0,5)1(0,5)1−1 = 0,5.
2. Dari contoh 1. tentukanlah rata- rata dan variansinya
Jawab:
Berdasarkan teorema 1. diperoleh
𝜇 = 𝑝 = 0,5
𝜎2 = 0,5 × 0,5 = 0,25
6. 6
Distribusi Binomial
Sebuah acak binomial dapat dipandang sebagai jumlah 𝑛 peubah acak Bernoulli,
yakni banyaknya yang berhasil dalam 𝑛 usaha Bernoulli.
Ciri-ciri
1. Percobaan terdiri atas 𝑛 usaha yang berulang.
2. Tiap usaha mempunyai kemungkinan hasil sukses atau gagal.
3. Antar percobaan saling bebas.
4. Peluang sukses antar percobaan sama.
Definisi
Teorema
Bukti:
Untuk rataan
Berdasarkan definisi 2. diatas maka diperoleh,
𝜇 = 𝐸( 𝑥) = ∑ 𝑥 𝑏( 𝑥; 𝑛, 𝑝)
𝑛
𝑥=0
Teorema 1.
Rataan dan variabel dari distribusi Binomial adalah :
𝜇 = 𝑛𝜃 dan 𝜎2 = 𝑛𝜃(1 − 𝜃)
Definisi 1.
Banyaknya suksesacak 𝑋 dalam 𝑛 usaha suatu percobaan Binomial disebut
suatu peubah acak Binomial.
Definisi 2.
Suatu peubah acak 𝑋 mempunyai distribusi Binomial ( 𝑋 dikatakan variabel
random Binomial ) jika dan hanya jika distribusi peluangnya diberikan
dengan
𝑏( 𝑥; 𝑛, 𝑝) = (
𝑛
𝑥
) 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥, untuk 𝑥 = 0, 1,2, …, 𝑛