Pengantar teori peluang

1. Peubah Acak,
Nilai Harapan
dan Ragam
(Pertemuan 6)
Pengantar Teori Peluang
Destria Dwina Putri Syahbet
(F1F021001)

2. PERTEMUAN 6
PEUBAH ACAK

3. Definisi
Peubah acak biasanya
dilambangkan dengan huruf
kapital, sedangkan nilai dari
peubah acak biasanya
dilambangkan dengan huruf kecil.
PERTEMUAN
6 1
• Suatu peubah acak X adalah suatu
fungsi yang terdefinisi pada suatu
ruang contoh S, yang dihubungkan
dengan suatu bilangan rill dengan
tiap kemungkinan keluaran dalam S.
• Atau dapat juga didefinisikan dengan
peubah acak (X) adalah suatu fungsi
yang memetakkan nilai-nilai yang
ada di ruang sampel (S).

4. Teladan:
Sebuah dadu emat muka (tetrahedral) memiliki nomor yang
berbeda, yaitu 1,2,3, atau 4. misalkan bahwa dadu tetrahedral
tersebut seimbang, artinya setiap muka dadu memiliki kesempatan
yang sama untuk muncul. Untuk kasus ini yang dimaksud dengan
muncul adalah yang menghadap kebawah. Suatu permainan
dengan dadu ini dilakukan dengan cara melempar dadu dua kali
berurutan dan tentukan peubah acak dengan kondisi apabila skor
yang diambil maksimum dari angka yang muncul dari tiap dadu.
PERTEMUAN
6 2

5. Penyelesaian:
Ruang contoh
𝑆
= 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 ,
PERTEMUAN
6 3

6. Peubah acak ini dibagi menjadi 2 jenis yaitu :
• Peubah acak bersifat diskrit, karena
mengambil nilai-nilai tertentu. Apabila data
tersebut didapatkan dengan cara
menghitung, maka peubah acaknya bersifat
diskrit
• Peubah acak bersifat kontinu, yang
mengambil nilai dalam bentuk selang atau
interval. Apabila datanya didapatkan dengan
cara mengukur, maka peubah acaknya
bersifat kontinu
PERTEMUAN
6 4

7. Definisi:
Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari peubah acak
X merupakan himpunan terhitung dan terhingga 𝑥1, 𝑥2,…,
𝑥𝑛 atau tak terhingga 𝑥1, 𝑥1,…, maka X disebut dengan
Peubah Acak Diskrit.
PERTEMUAN
6 5
Peubah Acak Diskrit

8. PERTEMUAN
6 6
Peubah Acak Diskrit
Fungsi kepekatan peluang diskrit
Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥) untuk 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … , untuk menyatakan nilai
peluang untuk setiap kemungkinan nilai x disebut dengan fungsi
kepekatan peluang.
Suatu fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi kepekatan peluang diskrit jika
dan hanya jika memenuhi sifat berikut:
1. 𝑃 𝑋 = 𝑥 > 0, untuk semua x dimana 𝑃(𝑋 = 𝑥) terdefinisi.
2. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑥=𝑎
𝑏
𝑃(𝑋 = 𝑥)
3. 𝑥 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 1 yaitu jumlah peluang semua kemungkinan x
adalah 1.

9. PERTEMUAN
6 7
Peubah Acak Diskrit
Fungsi sebaran kumulatif diskrit
Fungsi sebaran kumulatif dari suatu peubah acak X didefinisikan
untuk sembarang bilangan rill X dengan 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥).
Suatu fungsi F(𝑥) merupakan fungsi sebaran kumulatif dari peubah
acak X, jika dan hanya jika persyaratan berikut terpenuhi:
1. lim
𝑥→−∞
𝐹(𝑥) = 0
2. lim
𝑥→∞
𝐹(𝑥) = 1
3. lim
ℎ→0+
𝐹(𝑥 + ℎ) = 𝐹(𝑥)
4. Jika 𝑎 < 𝑏 maka 𝐹(𝑎) ≤ 𝐹(𝑏)

10. Teladan:
Dari teladan sebelumnya, peubah acak X mempunyai kepekatan
peluang sebagai berikut
𝑋 = 1,2,3,4,2,2,3,4,3,3,3,4,4,4,4,4 = 1,2,3,4}
Maka fungsi sebaran kumulatifnya dapat dibuat seperti berikut ini:
PERTEMUAN
6 8
X 1 2 3 4
𝑓(𝑥) 1/16 3/16 5/16 7/16
𝐹(𝑥) 1/16 4/16 9/16 16/16
Peubah Acak Diskrit

11. PERTEMUAN
6 9
Peubah Acak Diskrit
Berikut ini adalah tabel dari beberapa peubah acak diskrit yang memiliki nama:

12. Definisi:
Peubah acak X dikatakan sebagai peubah acak kontinu jika
memiliki fungsi 𝑓(𝑥) atau fungsi kepekatan peluang dari X,
sehingga fungsi sebaran kumulatifnya dapat ditulis sebagai
𝐹 𝑥 =
−∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
PERTEMUAN
6 10
Peubah Acak Kontinu

13. PERTEMUAN
6 11
Peubah Acak Kontinu
Fungsi kepekatan peluang kontinu
Suatu fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi kepekatan peluang untuk
beberapa peubah acak kontinu jika dan hanya jika memenuhi sifat
berikut:
1. 𝑃 𝑋 = 𝑥 ≥ 0, untuk semua bilangan rill x.
2. −∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

14. PERTEMUAN
6 12
Peubah Acak Kontinu
Berikut ini adalah tabel dari beberapa peubah acak kontinu:

15. PERTEMUAN 6
NILAI HARAPAN

16. PERTEMUAN
6 13
Nilai harapan atau nilai ekspektasi dari sebuah fungsi peubah acak 𝑋, 𝑓(𝑥)
dilambangkan dengan 𝐸[𝑓(𝑥)] dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝐸 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑥𝑓(𝑥) , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑝𝑒𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡
−∞
∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑝𝑒𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
asalkan nilai-nilai tersebut ada. Ada disini berarti bahwa integralnya
ada atau terhingga atau terdefinisi.
Definisi

17. • Contoh Nilai Harapan dari Sebaran Peubah Acak Diskrit:
Misalkan 𝑋~Bin(1, p) dengan 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥
(1 − 𝑝)1−𝑥
= 𝑝𝑥
𝑞1−𝑥
untuk
𝑥 = 0,1. maka nilai harapan dari sebaran bernauli tersebut adalah
sebagai berikut:
𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑥𝑓(𝑥)
= 0 𝑓 0 + 1 𝑓 1
= 0 1 − 𝑝 + 1 𝑝
= 𝑝
PERTEMUAN
6 14

18. • Contoh Nilai Harapan dari Sebaran Peubah Acak Kontinu:
Misalkan 𝑋~SK(a, b) dengan 𝑓 𝑥 =
1
𝑏−𝑎
untuk 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏. maka
nilai harapan dari sebaran seragam kontinu tersebut adalah
sebagai berikut:
𝐸 𝑋 = 𝑎
𝑏
𝑥
1
𝑏−𝑎
𝑑𝑥 =
1
𝑏−𝑎 𝑎
𝑏
𝑥 𝑑𝑥
=
1
𝑏−𝑎
𝑥2
2
𝑏
𝑎
=
1
𝑏−𝑎
𝑏2−𝑎2
2
=
𝑏2−𝑎2
2(𝑏−𝑎)
=
(𝑏−𝑎)(𝑏+𝑎)
2(𝑏−𝑎)
=
𝑎+𝑏
2
PERTEMUAN
6 15

19. PERTEMUAN 6
RAGAM / VARIANS

20. PERTEMUAN
6 16
• Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, varians dari X
didefinisikan sebagai:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 2
• Varians dari peubah acak sering dinotasikan dengan 𝜎𝑥
2
.
• Akar pangkat dua yang positif dari varians disebut simpangan baku dari
peubah acak X dan dinotasikan 𝜎𝑥 .
Definisi

21. Definisi:
Jika X adlaah peubah acak diskrit dan 𝑓 𝑥 adalah nilai
fungsi kepekatan peluang dari X, didefinisikan sebagai:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
𝑥
𝑥 − 𝜇 2
𝑓(𝑥)
Atau
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸 𝑋 2
]
PERTEMUAN
6 17
Varians Diskrit

22. • Contoh Varians dari Sebaran Peubah Acak Diskrit:
Misalkan 𝑋~Bin(1, p) dengan 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥(1 − 𝑝)1−𝑥= 𝑝𝑥𝑞1−𝑥 untuk
𝑥 = 0,1 . maka varians dari sebaran bernauli tersebut adalah
sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸[(𝑋 − 𝐸 𝑋 2
] = 𝑥 𝑥 − 𝜇 2
𝑓(𝑥)
= 0 − 𝑝 2
𝑓 0 + 1 − 𝑝 2
(𝑓 1 )
= 𝑝2
1 − 𝑝 + 𝑝 1 − 𝑝 2
= 𝑝(1 − 𝑝)(𝑝 + 1 − 𝑝)
= 𝑝(1 − 𝑝)
= 𝑝𝑞
PERTEMUAN
6 18

23. Definisi:
Jika X adalah peubah acak kontinu dan 𝑓 𝑥 adalah nilai
fungsi kepekatan peluang dari X di x, maka varian dari X
didefinisikan sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
−∞
∞
𝑥 − 𝜇 2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Atau
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2
− 𝐸(𝑋) 2
PERTEMUAN
6 19
Varians Kontinu

24. • Contoh Varians dari Sebaran Peubah Acak Kontinu:
Misalkan 𝑋~SK(a, b) dengan 𝑓 𝑥 =
1
𝑏−𝑎
untuk 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 dan
E(𝑋) =
𝑎+𝑏
2
. maka varians dari sebaran seragam kontinu tersebut
adalah sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2
− 𝐸(𝑋) 2
• Cari 𝐸 𝑋2
𝐸 𝑋2
= 𝑎
𝑏
𝑥2 1
𝑏−𝑎
𝑑𝑥 =
𝑏3−𝑎3
3(𝑏−𝑎)
=
(𝑏2+𝑎𝑏+𝑎2)(𝑏−𝑎)
3(𝑏−𝑎)
=
𝑏2+𝑎𝑏+𝑎2
3
Maka, diperoleh:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2
− 𝐸 𝑋 2
=
𝑏2+𝑎𝑏+𝑎2
3
−
𝑎+𝑏
2
2
=
𝑏−𝑎 2
12
PERTEMUAN
6 20

25. PERTEMUAN
6 21
Sifat-Sifat Varians

26. PERTEMUAN
6 22
Sifat-Sifat Varians

27. THANK YOU