Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

1. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
OLEH : EMANUELI MENDROFA, S.PD

2. Dalam matematika khususnya
aljabar dikenal beberapa
istilah kesamaan,
,
dan
pertidaksamaan

4. Kesamaan berasal dari kata “Sama” yang berarti serupa (halnya, keadaannya
dan sebagainya), tidak berbeda, tidak berlainan. Dalam KBBI, kesamaan
mempunyai arti perihal sama.
Sedangkan kesamaan dalam merupakan kalimat pernyataan yang memiliki
tanda hubung sama dengan (=)
9 × 8 = 70 + 2
28 : 4 = 12 – 5
12 + 13 = 45 – 20

5. Persamaan mempunyai arti perihal mempersamakan (tingginya, tingkatnya, dan
sebagainya) atau keadaan yang sama atau yang serupa dengan yang lain.
Sedangkan dalam matematika persamaan memiliki makna yaitu kalimat
terbuka yang memiliki tanda hubung sama dengan (=).
2a = 6
n + 9 = 12
2x – y = -5
Perbedaannya: persamaan terdapat variabel, kesamaan tidak terdapat variabel

6. Ketidaksamaan adalah kalimat pernyataan yang menyatakan hubungan tidak
sama.
Tanda hubung tidak sama:
2 kurang dari 6 ditulis 2 < 6
5 lebih dari 3 ditulis 5 > 3
6 < 8 dan 10 > 8 ditulis 6 < 8 < 10
< dibaca “kurang dari”
> dibaca “lebih dari”
 dibaca “kurang dari atau sama dengan”
 dibaca “lebih dari atau sama dengan”
 dibaca “tidak sama dengan”

7. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan
ketidaksamaan atau kalimat/pernyatan matematika yang menunjukkan
perbandingan ukuran dua objek atau lebih.
x < 4
p + 10 > 12
x + y > 25
Perbedaannya: pertidaksamaan terdapat variabel, ketidaksamaan tidak terdapat
variabel

8. Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua pengganti dari
variabel-variabel pada kalimat terbuka yang membuat kalimat
tersebut menjadi benar. Himpunan penyelesaian sering disingkat
sebagai HP.
Contoh:
a + 8 = 12
Pengganti a yang benar adalah 4. penyelesaiannya adalah
a = 4 dan himpunan penyelesaiannya adalah {4}.

9. Secara umum, persamaan linear adalah persamaan
dengan derajat satu. Ini artinya semua suku pada
persamaan tersebut memuat variabel pangkat tertinggi
yaitu satu.
Contoh:
a + 3 = 2
x + 5y = 7x – 1
p - 2q + 3r = 0

10. Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang
terdiri atas satu variabel dan pangkat dari variabel
tersebut adalah satu.
Contoh:
6t + 9 = 31
6 + 2y = 3y – 1

11. Persamaan yang ekuivalen adalah suatu persamaan
yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama,
apabila pada persamaan itu dikenakan suatu operasi
tertentu. Notasi ekuivalen adalah “”
Contoh:
x + 6 = 18, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}
x – 2 = 10, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}
3x – 6 = 30, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}

12. Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan
linear dengan satu variabel, kita dapat menggunakan
sifat penambahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian.

13. Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini
dengan variabel x merupakan anggota himpunan bilangan
asli.
4x – 8 = 6x – 12
Jawab:
4x – 8 = 6x – 12 (persamaan awal)
 4x – 8 + 12 = 6x – 12 + 12 (kedua ruas ditambah 12)
 4x + 4 = 6x + 0

14.  4x + 4 = 6x
 4x + 4 – 4x = 6x – 4x (kedua ruas dikurang 4x)
 0 + 4 = 2x
 4 = 2x
 2x = 4
 2x : 2 = 4 : 2 (kedua ruas dibagi 2)
 x = 2
Jadi, HP = {2}

15. Contoh 2:
Tentukan 4 bilangan cacah berurutan yang jumlahnya 122.
Jawab:
Misalkan bilangan cacah pertama = x
bilangan cacah kedua = x + 1
bilangan cacah ketiga = x + 2
bilangan cacah keempat = x + 3
Jadi bilangan itu bisa diurutkan menjadi:
x , x + 1, x + 2, x + 3

16. Sehingga:
x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 122
 4x + 6 = 122
 4x + 6 – 6 = 122 – 6
 4x = 116
 4x : 4 = 116 : 4
 x = 29
Jadi, bilangan itu adalah 29, 30, 31 dan 32

17. Selesaikanlah
Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 126.
apabila bilangan genap yang pertama 2n, nyatakan bilangan
kedua dan ketiga dalam n, serta tentukan ketiga bilangan itu.
Jawab:
bilangan genap pertama = 2n
bilangan genap kedua = 2n + 2
bilangan genap ketiga = 2n + 4

18. Sehingga:
2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 126
 6n + 6 = 126
 6n + 6 – 6 = 126 – 6
 6n = 120
 6n : 6 = 120 : 6
 n = 20
Jadi, bilangan itu adalah 40, 42 dan 44

19. Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang
terdiri atas variabel dan pangkat dari variabel tersebut
satu.
Contoh:
t + 2 < 13, disebut pertidaksamaan linear dengan satu variabel t
k - l  10, disebut pertidaksamaan linear dengan dua variabel k dan l

20. Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi
dengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaannya
tidak berubah.
Secara matematis ditulis:
Jika a < b maka a ± c < b ± c
Jika a > b maka a ± c > b ± c
Jika a  b maka a ± c  b ± c
Jika a  b maka a ± c  b ± c

21. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan
bilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaannya
tidak berubah.
Secara matematis ditulis:
Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc dan
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc dan
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
Jika a  b dan c > 0 maka ac  bc dan
𝑎
𝑐
≤
𝑏
𝑐
Jika a  b dan c > 0 maka ac  bc dan
𝑎
𝑐
≥
𝑏
𝑐

22. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan
bilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaannya
berubah.
Secara matematis ditulis:
Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc dan
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc dan
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
Jika a  b dan c < 0 maka ac  bc dan
𝑎
𝑐
≥
𝑏
𝑐
Jika a  b dan c < 0 maka ac  bc dan
𝑎
𝑐
≤
𝑏
𝑐

23. Tanda < atau > pada garis bilangan digambar
x < a x
a
x  a x
a
Tanda atau  pada garis bilangan digambar 

24. x < a atau x > b
a  x < b x
a b
x
b
x
a
x  a atau x  b x
b
x
a

25. Contoh1:
Apabila x adalah variabel pada {1, 2, 3, 4, 5}, tentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.
a. x – 2 < 3
b. x + 1  3
Jawab:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini dapat dilakukan
dengan substitusi.

26. a. x – 2 < 3
Jadi, HP = {1, 2, 3, 4}
b. x + 1  3
Jadi, HP = {2, 3, 4, 5}
Variabel (x) 1 2 3 4 5
x – 2 -1 0 1 2 3
< 3? ya ya ya ya tidak
Variabel (x) 1 2 3 4 5
x + 1 2 3 4 5 6
 3? tidak ya ya ya ya

27. Contoh2:
Tentukan Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
15 – 8x > 40 – 13x dengan x  B.
Jawab:
Tanda variabel x positif
15 – 8x > 40 – 13x
 15 – 8x + 13x > 40 – 13x + 13x (kedua ruas ditambah 13x)
 15 + 5x > 40
 15 + 5x – 15 > 40 – 15 (kedua ruas dikurangi 15)

28.  5x > 25
 5x : 5 > 25 : 5 (kedua ruas dibagi 5)
 x > 5
Tanda variabel x negatif
15 – 8x > 40 – 13x
 15 – 8x + 8x > 40 – 13x + 8x (kedua ruas ditambah 8x)
 15 > 40 – 5x
 15 – 40 > 40 – 5x – 40 (kedua ruas dikurangi 40)
 –25 > –5x

29.  –25 : (–5) > –5x : (–5) (kedua ruas dibagi –5)
 5 < x (tanda ketidaksamaan berubah)
 x > 5 (penyelesaian)
HP = {6, 7, 8, 9, . . .}
Atau dapat ditulis sebagai HP = {x  x > 5, x  B}
Garis Bilangan:
x
5

30. Contoh3:
Selesaikan pertidaksamaan 6 < 2 – 4t < 10 dengan t  B.
Jawab:
6 < 2 – 4t < 10
 6 – 2 < 2 – 4t – 2 < 10 – 2
 4 < – 4t < 8
 4 : (–4) > – 4t : (–4) > 8 : (–4)
 –1 > t > –2
 –2 < t < –1
HP = {t  –2 < t < –1, t  B} atau HP { }

31. Contoh4:
Model kerangka balok terbuat dari kawat tembaga dengan
ukuran panjang rusuk-rusuknya x cm, (x + 2) cm, dan (x + 5)
cm. Panjang kawat yang diperlukan seluruhnya tidak
melebihi 100 cm. Jika panjang kawat seluruhnya dinyatakan
dengan s cm maka:
a. Nyatakan s dalam x
b. Tulislah pertidaksamaan dalam x yang paling sederhana.

32. Jawab:
a. s = 4x + 4(x + 2) + 4(x + 5)
 s = 4(x + x + 2 + x + 5)
 s = 4(3x + 7)
 s = 12x + 28
b. Karena s tidak melebihi 100 cm berarti s  100, diperoleh:
12x + 28  100
 12x + 28 – 28  100 – 28
 12x  72
 x  6 (bentuk paling sederhana)

33. Selesaikanlah:
Sebuah mobil barang melalui jembatan timbang. Berat mobil
barang itu 2,5 ton, sedangkan muatannya t ton. Berat
maksimum yang diperkenankan untuk melewati jembatan
tersebut adalah 6,5 ton. Tentukan nilai 2t.
Jawab:
2,5 + t  6,5
2,5 + t – 2,5  6,5 – 2,5
t  4
2t  8