APG Pertemuan 1-2 (1)
•
0 likes•963 views
Aspect Multivariate, Matriks Algebra and Random Vector
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to APG Pertemuan 1-2 (1)
Similar to APG Pertemuan 1-2 (1) (20)
APG Pertemuan 1-2 (1)
- 2. Pengertian APG dan alasan penggunaan APG 3 2OUTLINE Kegunaan APG Klasifikasi APG
- 3. Analisis peubah ganda (multivariate) adalah analisis statistik dari sekumpulan data pada lebih dari satu variabel. • Menggambarkan suatu objek tidak cukup menggunakan satu peubah saja • Kasus pengamatanpeubah ganda dijumpaidi seluruh bidang terapan • Perlu analisis lebih canggih jika antar peubah tidak saling bebas & 3 3 Pengertian APG Alasan Penggunaannya
- 4. 3 4 • Reduksi data. Mereduksi variabelyang banyak menjadi sedikit tanpa merubahinformasi yang dibutuhkan. • Pengelompokan/klasifikasi,mengelompokkanatau mengklasifikasikanobjek dalam kelompok–kelompok. • Menyelidikihubungan/keterkaitanantar variabel • Prediksi • Membentuk dan menguji hipotesis
- 5. 3 5 Klasifikasi ini dibuat berdasarkantiga karakteristik data yang diamati: Apakah variabel dapat dibagi ke dalam kelompok variabel tak bebas dan variabel bebas [menurut teori]? • Teknik Interdepensi • Teknik Dependensi Jika ya, berapa banyak variabel yang digunakan sebagai var. tak bebas? • Satu • Lebih dari satu Bagaimana variabel - variabel tsb diukur? • Metric • Non Metric
- 6. 3 6 • Teknik dependensidapat didefinisikansebagai variabelmana saja yang merupakan penjelas dan yang mana yang dijelaskan • Sedangkan teknik interdependensi tidak ada satu variabelatau sekelompok variabelyang didefniskansbg variabelbebas atau tak bebas (hnaya var X atau Y saja),variabeldi dalam gugus data dilibatkan secara simultan
- 8. 3 8 Ilustrasi pengukurankarakteristik atau variabel(biasadisebut data)dapat ditampilkan dalam berbagai cara: • Tabel • Matirks • Grafik, plot data • Verbal
- 9. 3 9 Suatu kumpulan data dapat disusun menjadi sebuah matriks. X = 𝑥11 ⋯ 𝑥1𝑝 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥 𝑛1 ⋯ 𝑥 𝑛𝑝 , dimana n = banyaknya observasi p = banyaknyavariabel Contoh : Diketahui : Variabel 1 (penjualan (dollar)) : 42 52 48 58 Variabel 2 (jumlah buku) : 4 5 4 3 Maka data array tersebut dapat disusun menjadi matriks berikut. X = 42 52 48 4 5 4 58 3
- 10. 3 10 Statistik deskriptifmeliputipenghitungan: • Sample Mean: 𝑥 𝑘 = 1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑥𝑗𝑘 • Sample Variance: 𝑠 𝑘 2 = 𝑠 𝑘𝑘 = 1 𝑛 𝑗=1 𝑛 (𝑥𝑗𝑘 − 𝑥 𝑘)2 • Sample Covariance: 𝑠𝑖𝑘 = 1 𝑛 𝑗=1 𝑛 (𝑥𝑗𝑖 − 𝑥𝑖)(𝑥𝑗𝑘 − 𝑥 𝑘) • Sample Variance-CovariansMatrix: 𝐒 𝑛 = 𝑠11 𝑠12 𝑠21 𝑠22 ⋯ 𝑠1𝑝 ⋯ 𝑠2𝑝 ⋮ ⋮ 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑠 𝑝𝑝 • Sample Correlation: 𝑟𝑖𝑘 = 𝑠 𝑖𝑘 𝑠 𝑖𝑖 𝑠 𝑘𝑘 = 𝑗=1 𝑛 (𝑥 𝑗𝑖− 𝑥𝑖)(𝑥 𝑗𝑘− 𝑥 𝑘) 𝑗=1 𝑛 (𝑥 𝑗𝑘− 𝑥 𝑘)2 𝑗=1 𝑛 (𝑥 𝑗𝑘− 𝑥 𝑘)2 • Sample CorrelationMatrix: 𝐑 = 1 𝑟12 𝑟21 1 ⋯ 𝑟1𝑝 ⋯ 𝑟2𝑝 ⋮ ⋮ 𝑟𝑝1 𝑟𝑝2 ⋱ ⋮ ⋯ 1
- 11. 3 11 Scatter Plot Box Plot Stem and Leaf
- 12. 3 Stars Plot Chernoff Faces 12
- 13. 3 Ukuran jarak harus memenuhisyarat berikut: d(P,Q) = d(Q, P) d(P,Q) > 0 if P ≠ Q d(P,Q) = 0 if P = Q d(P,Q) ≤ d(P,O) + d(O,Q) (ketidaksamaansegitiga) P OQ 𝑥2 𝑥1 𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 13 Klik disiniMau latihan soal bab ini?
- 16. 3 • Vektor adalah suatu susunan bilanganriil 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛, dan dituliskan dalam bentuk berikut: 𝐱 = 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 • Nama vector dituliskan dengan huruf kecil tebal. • Vektor dapat dikalikan dengan bilangansaklar 𝑐𝐱 = 𝑐𝑥1 𝑐𝑥2 ⋮ 𝑐𝑥 𝑛 • Dua vektor dapat dijumlahkan. Penjumlahan 𝐱 dan 𝐲 didefinisikan: 𝐱 + 𝐲 = 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 + 𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦 𝑛 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑥2 + 𝑦2 ⋮ 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 16
- 17. 3 • Vektor memiliki panjang dan arah. Panjang vektor berdimensi n didefinisikan sebagai: 𝐿 𝐱 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 2 • Perkalian dengan bilangan skalar c akan mengubah panjang vektor 𝐱 𝐿 𝐱 = 𝑐2 𝑥1 2 + 𝑐2 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑐2 𝑥 𝑛 2 = 𝑐 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 2 = 𝑐 𝐿 𝐱 • Vektor x akan diperpanjangjika 𝑐 > 1 dan diperpendek jika 0 < 𝑐 < 1, akan berubah arah jika nilai c negatif. • Jika 𝒆 = 𝒙 𝐿 𝒙 Maka, 𝒆 disebut sebagai vector normal dari x, dan panjang vector 𝒆 selalu bernilai 1. • Dua buah vector x dan y dikatakan ortogonal satu sama lain jika x’y = 0 17
- 18. 3 Misalkan terdapat dua vektor pada bidang datar dan 𝜃 adalah sudut di antara kedua vektor tersebut. Maka sudut 𝜃 di antara vektor 𝐱′= 𝑥1, 𝑥2 dan 𝐲′ = 𝑦1, 𝑦2 ialah cos 𝜃 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 𝐿 𝐱 𝐿 𝒚 Untuk 𝑛 = 2 dimensi, perkalian 𝐱 dan 𝐲: 𝐱′ 𝐲 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 Maka: 𝐿 𝐱 = 𝐱′ 𝐱 cos 𝜃 = 𝐱′ 𝐲 𝐿 𝐱 𝐿 𝒚 = 𝐱′ 𝐲 𝐱′ 𝐱 𝐲′ 𝐲 x y 18
- 19. 3 • Vektor y = a1x1 + a2x2 + ... + akxk merupakan kombinasi linier darivektor-vektor x1, x2, ..., xk . • Himpunan kombinasi linier dari x1, x2, ..., xk, disebut dengan rentanglinier. • Himpunan vektor 𝐱1, 𝐱2, … , 𝐱 𝑘 dikatakan tidakbebaslinier(linearlydependent) jika terdapat bilanganskalar 𝑎1, 𝑎2, … 𝑐 𝑘 yang tidak semuanya bernilai nol 𝑎1 𝐱1 + 𝑎2 𝐱2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝐱 𝑘 = 𝟎 Jika tidak, maka vektor dikatakan bebas linier(linearlyindependent). 19
- 20. 3 Proyeksi vektor 𝐱 pada 𝐲 adalah: 𝐱′ 𝐲 𝐲′ 𝐲 𝐲 = (𝐱′ 𝐲) 𝐿 𝒚 1 𝐿 𝒚 𝐲 Panjang proyeksi vektor 𝐱 pada 𝐲: 𝐱′ 𝐲 𝐿 𝒚 = 𝐿 𝒙 𝐱′ 𝐲 𝐿 𝒙 𝐿 𝒚 = 𝐿 𝒙 cos(𝜃) dengan 𝜃 adalahsudut antara 𝐱 dan 𝐲 x y 𝐱′ 𝐲 𝐲′ 𝐲 𝐲 20
- 21. 3 • Matriks adalah susunanbilanganyang dinyatakandalam baris dan kolom. Bentuk matriks berukuran n × p adalah sebagai berikut 𝐀(𝑛×𝑝) = 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑝 𝑎21 𝑎22 ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ 𝑎2𝑝 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑎 𝑛𝑝 • Nama matriks dituliskan dengan huruf kapital tebal. • Operasi transpos pada matriks mengubah kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom • Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika memiliki dimensi yang sama. • Matriks dapat dikali dengan bilangan skalar c 𝑐𝐀(𝑛×𝑝) = 𝑐𝑎11 𝑐𝑎12 ⋯ 𝑐𝑎1𝑝 𝑐𝑎21 𝑐𝑎22 ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ 𝑐𝑎2𝑝 ⋮ 𝑐𝑎 𝑛1 𝑐𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑐𝑎 𝑛𝑝 • Dua matriks A (n × k) dan B (k × p) dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A sama dengan jumlah kolom matriks B sehingga terbentuk matriks AB (n × p) • Matriks persegi dikatakan simetris jika 𝐀 = 𝐀′ atau 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 untuk semua i dan j • Jika matriks I (k × k) adalah matriks identitas, yaitu matriks yang diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0, maka 𝐈𝐀 = 𝐀𝐈 = 𝐈 untuk setiap matriks A (k × k) • Matriks B (k × k) dikatakan invers dari matriks A (k × k) jika: 𝐁𝐀 = 𝐀𝐁 = 𝐈 21
- 22. 3 Untuk semua matriks A, B, dan C (dengan dimensi yang sama) dan skalar c dan d, berikut merupakan sifat-sifat matriks: • (A + B) + C = A + (B + C) • A + B = B + A • c(A + B) = cA + cB • (c + d)A = cA + dA • (A + B)’ = A’ + B’ • (cd)A = c(dA) • (cA)’ = c A’ • c(AB) = (cA)B • A(BC) = (AB)C • A (B+C) = AB+AC • (B+C)A = BA+CA • (AB)’ = B’ A’ • AB ≠ BA 𝑗=1 𝑛 𝐀𝐱𝒋 = 𝐀 𝑗=1 𝑛 𝐱𝒋 𝑗=1 𝑛 (𝐀𝐱𝒋)(𝐀𝐱𝒋)′ = 𝐀 𝒋=𝟏 𝒏 𝐱𝒋 𝐱 𝒋 ′ 𝐀′ Determinan dari matriks A k x k = {aij}, dilambangkan dengan |A|, merupakan skalar. Jika matriks k x k adalah matriks identitas (I), maka |I| = 1. 22
- 23. 3 • Matriks A memiliki invers jika kolom 𝐚1, 𝐚2, … , 𝐚 𝑘 bebas linier.Sehingga 𝐀−1 sama dengan: 𝑐1 𝐚1 + 𝑐2 𝐚2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝐚 𝑘 = 0 hanya jika 𝑐1 = ⋯ = 𝑐 𝑘 = 0 • Matriks orthogonalditunjukkan dengan: 𝐐𝐐′ = 𝐐′ 𝐐 = 𝐈 atau 𝐐′ = 𝐐−𝟏 • Matriks persegi 𝐀 dikatakan memiliki nilai eigen 𝜆, dengan vektor eigen 𝐱 ≠ 0 yang bersesuaian,jika: 𝐀𝐱 = λ𝐱 • Umumnya, vektor eigen x dinormalisasisehingga1 = 𝐱′ 𝐱. Vektor eigen yang dinormalisasi dinotasikandengan 𝒆. 23
- 24. 3 • Matriks simetris 𝐀 berukurank × k dikatakan definit positif jika: 0 < 𝐱′ 𝐀𝐱 untuk semua vektor 𝐱 ≠ 𝟎 • Ekspansi dari matriks simetris disebut dekomposisi spektral. Dekomposisi spektral dari 𝐀: 𝐀 = 𝜆1 𝐞1 𝐞′1 + 𝝀2 𝐞2 𝐞′2 + ⋯ + 𝜆 𝑘 𝐞 𝑘 𝐞′ 𝑘 Menggunakan dekomposisi spektral, dapat ditunjukkan bahwa matriks simetris 𝐀 berukuran k × k merupakan matriks definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen 𝐀 positif. 24 Klik disiniMau tahu lebih banyak tentang matiks definit positif?
- 25. 3 • Dekomposisispectral dimanfaatkan untuk menghitunginvers matriks persegi 𝐀 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝜆𝒊 𝐞𝒊 𝐞′𝒊 = 𝐏𝚲𝐏′ dengan 𝐏𝐏′ = 𝐏′ 𝐏 = 𝐈 dan 𝚲 adalahmatriks diagonal 𝚲(𝑘×𝑘) = 𝜆1 0 ⋯ 0 0 𝜆2 ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ 0 ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆 𝑘 Sehingga: 𝐀−1 = 𝐏𝚲−1 𝐏′ = 𝒊=𝟏 𝒌 𝟏 𝝀𝒊 𝐞𝒊 𝐞′𝒊 • Selanjutnya, 𝚲−𝟏 menunjukkanmatriks diagonaldengan 𝜆𝑖 sebagai elemen diagonalke-i. Matriks 𝑖=1 𝑘 𝜆𝑖 𝐞𝑖 𝐞′𝑖 = 𝐏𝚲1/2 𝐏′ disebut akar kuadrat dari 𝐀 dan dilambangkandengan 𝐀1/2. 25
- 26. 3 Matriks akar kuadrat dari matriks definit positif 𝐀, 𝐀1/2 = 𝑖=1 𝑘 𝜆𝑖 𝐞𝑖 𝐞′𝑖 = 𝐏𝚲1/2 𝐏′ memiliki sifat: 1. 𝐀1/2 ′ = 𝐀1/2 (sehingga 𝐀1/2 simetris) 2. 𝐀1/2 𝐀1/2 = 𝐀 3. 𝐀1/2 −1 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝟏 𝝀 𝒊 𝐞𝒊 𝐞′𝒊 = 𝐏𝚲−1/2 𝐏′ , dimana 𝚲−1/2 adalah diagonalmatriks dengan 1/ 𝜆𝑖 sebagai elemen diagonal ke-i 4. 𝐀1/2 𝐀−1/2 = 𝐀−1/2 𝐀1/2 = 𝐈 dan 𝐀−1/2 𝐀−1/2 = 𝐀−1, dimana 𝐀−1/2 = 𝐀−1/2 −1 26
- 27. 3 • Randomvector adalahvektor yang elemennya berupa random variable, sedangkanrandom matrix adalah matriks yang elemennya berupa random variabel. • Misalkan X dan Y merupakan random matriks yang mempunyai dimensisama, kemudian A dan B merupakan konstanta matriks maka : E(X+Y)= E(X) + E(Y) E(AXB)=A E(X) B 27
- 28. 3 • X’ = [X1 , X2 ,..., XP] merupakan random vector ukuran p×1, dimana masing-masing elemen dari X merupakan variabelacak. • Rata-rata dan kovariansdari vektor acak X ukuran p×1 dapat dinyatakan dalam matriks sebagai berikut. E(X) = 𝐸(𝑋1) 𝐸(𝑋2) ⋮ 𝐸(𝑋 𝑝) = 𝜇1 𝜇2 ⋮ 𝜇 𝑝 = µ = E (X-µ)(X-µ)’ = Cov (X) = 𝜎11 𝜎21 ⋮ 𝜎 𝑝1 𝜎12 𝜎22 ⋮ 𝜎 𝑝2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜎1𝑝 𝜎2𝑝 ⋮ 𝜎 𝑝𝑝 28
- 29. 3 Koefisien korelasi populasi (𝜌𝑖𝑘) digunakan untuk menghitunghubungan atau asosiasilinier diantara variabelacak 𝑋𝑖 dan 𝑋 𝑘 𝜌𝑖𝑘 = 𝜎𝑖𝑘 𝜎 𝑖𝑖 𝜎 𝑘𝑘 𝜌 = 𝜎11 𝜎11 𝜎11 𝜎12 𝜎11 𝜎22 ⋮ 𝜎1𝑝 𝜎11 𝜎 𝑝𝑝 𝜎12 𝜎11 𝜎22 𝜎22 𝜎22 𝜎22 ⋮ 𝜎2𝑝 𝜎22 𝜎 𝑝𝑝 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜎1𝑝 𝜎11 𝜎 𝑝𝑝 𝜎2𝑝 𝜎22 𝜎 𝑝𝑝 ⋮ 𝜎 𝑝𝑝 𝜎 𝑝𝑝 𝜎 𝑝𝑝 = 1 𝜌12 ⋮ 𝜌1𝑝 𝜌12 1 ⋮ 𝜌2𝑝 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜌1𝑝 𝜌2𝑝 ⋮ 1 Sedangkan standar deviasi dari matriks p×p sebagai berikut. 𝑽1/2 = 𝜎11 0 ⋮ 0 0 𝜎22 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 ⋮ 𝜎 𝑝𝑝 = 𝑽1/2 𝜌 𝑽1/2 𝜌 = (𝑽 1 2)−1 (𝑽 1 2)−1 29
- 30. 3 X = 𝑋1 ⋮ 𝑋 𝑞 ⋯ 𝑋 𝑞+1 ⋮ 𝑋 𝑝 = 𝐗(1) ⋯ 𝐗(2) , dan µ = E(X) = µ1 ⋮ µ 𝑞 ⋯ µ 𝑞+1 ⋮ µ 𝑝 = µ(𝟏) ⋯ µ(𝟐) 12 = E(𝐗(1) − µ 𝟏 )(𝐗 2 − µ 𝟐 )′ = 𝜎1,𝑞+1 𝜎2,𝑞+1 ⋮ 𝜎 𝑞,𝑞+1 𝜎1,𝑞+2 𝜎2,𝑞+2 ⋮ 𝜎 𝑞,𝑞+2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜎1𝑝 𝜎2𝑝 ⋮ 𝜎 𝑞𝑝 (𝑝×𝑝) = 𝚺 𝟏𝟏 𝚺 𝟏𝟐 𝚺 𝟐𝟏 𝚺 𝟐𝟐 Catatan : 𝚺 𝟏𝟐 =𝚺′ 𝟐𝟏 Kovarians dari 𝐗(1) = 𝚺 𝟏𝟏 , kovarians 𝐗(2)= 𝚺 𝟐𝟐 , sedangkan kovarians untuk 𝐗(1) dan 𝐗(2) adalah 𝚺 𝟏𝟐 (atau 𝚺 𝟐𝟏) 30
- 31. 3 E (𝑎𝑿 𝟏+𝑏𝑿2) = 𝑎 𝐸(𝑿1) + 𝑏 𝐸(𝑿2) = 𝑎𝜇1+𝑏𝜇2 Var (𝑎𝑿 𝟏+𝑏𝑿2) = 𝑎2 𝜎11+ 𝑏2 𝜎22+2𝑎𝑏𝜎12 Apabila c’ = 𝑎, 𝑏 , µ=E(X) dan = 𝐶𝑜𝑣 𝑿 , maka E (c’X) = c’µ Var (𝑎𝑿 𝟏+𝑏𝑿2) = Var (c’X) = c’ 𝒄 Umumnya, terdapat q kombinasi linier dari p variabel acak X1, ..., Xp Z = 𝑍1 𝑍2 ⋮ 𝑍 𝑝 = 𝑐11 𝑐21 ⋮ 𝑐 𝑞1 𝑐12 𝑐22 ⋮ 𝑐 𝑞2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝑐1𝑝 𝑐2𝑝 ⋮ 𝑐 𝑞𝑝 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋 𝑝 = CX 𝜇 𝑍 = E (Z) = E(CX) = C𝝁 𝑿 𝒁 = Cov (Z) = Cov (Cx) = C 𝑿 𝑪′ 31
- 32. 3 Apabila 𝐱′ = 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒑 merupakan vektor sampel rata-rata dari n-observasi dari p-variabel X1, ..., Xp maka: 𝐱 = 𝒙1 ⋮ 𝒙 𝑞 ⋯ 𝒙 𝑞+1 ⋮ 𝒙 𝑝 = 𝐱(1) ⋯ 𝐱(2) S21 = 𝑆 𝑞+1,1 ⋯ 𝑆 𝑞+1,𝑞 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑆 𝑝,1 ⋯ 𝑆 𝑝,𝑞 𝑆(𝑝×𝑝) = 𝐒 𝟏𝟏 𝐒 𝟏𝟐 𝐒 𝟐𝟏 𝐒 𝟐𝟐 Sampel kovarians dari 𝐱 (1) = 𝐒 𝟏𝟏 , kovarians 𝐱 (2) = 𝐒 𝟐𝟐 , sedangkan kovarians untuk 𝐱 (1) dan 𝐱 (2) adalah 𝐒 𝟏𝟐 (atau 𝐒 𝟐𝟏). 32
- 33. 3 Apabila 𝐱′ = 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒑 merupakan vektor sampel rata-rata dari n-observasi dari p-variabel X1, ..., Xp maka: 𝐱 = 𝒙1 ⋮ 𝒙 𝑞 ⋯ 𝒙 𝑞+1 ⋮ 𝒙 𝑝 = 𝐱(1) ⋯ 𝐱(2) S21 = 𝑆 𝑞+1,1 ⋯ 𝑆 𝑞+1,𝑞 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑆 𝑝,1 ⋯ 𝑆 𝑝,𝑞 𝑆(𝑝×𝑝) = 𝐒 𝟏𝟏 𝐒 𝟏𝟐 𝐒 𝟐𝟏 𝐒 𝟐𝟐 Sampel kovarians dari 𝐱 (1) = 𝐒 𝟏𝟏 , kovarians 𝐱 (2) = 𝐒 𝟐𝟐 , sedangkan kovarians untuk 𝐱 (1) dan 𝐱 (2) adalah 𝐒 𝟏𝟐 (atau 𝐒 𝟐𝟏). 33 Klik disiniMau tahu lebih banyak tentang Vektor Rata-rata dan Matriks Kovarians?
- 34. 3 A. Cauchy-Schwarz Inequality Misalkan b dan d merupakan dua vektor yang berukuran p×1, maka : (b’d)2 ≤ (b’b) (d’d) Jika dan hanya jika b = cd ( atau d = cb) untuk c konstan. B. Entended Cauchy-Schwarz Inequality Misalkan b dan d merupakandua vektor yang berukuran p×1, dan B(p×p) merupakan matriks definit positif maka : (b’d)2 ≤ (b’B b) (d’ B-1 d) Jika dan hanya jika b = c B-1 d ( atau d = c B b) untuk c konstan. 34
- 35. 3 C. MaximizationLemma Misal B adalah definit positif, d merupakan vektor berukuran p×1, dan x merupakan sembarangvektor bukan nol, maka : max 𝑥≠0 (𝐱′ 𝐝)2 𝐱′𝐁𝐱 = d’ B-1 d Dengan mencapai maksimum ketika x = c B-1 d untuk konstan c ≠0 D. Maximizationof Quadratic Forms for Points on the Unit Sphere Misal B adalah definit positif dengan nilai eigen 𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ... ≥ 𝜆 𝑝 ≥ 0 dan berasosiasi denganvektor eigen e1, e2, ..., ep , maka : max 𝑥≠0 𝐱′𝐁𝐱 𝐱′𝐱 = 𝜆1 (dicapai ketika x = e1 ) max 𝑥≠0 𝐱′𝐁𝐱 𝐱′𝐱 = 𝜆 𝑝 (dicapai ketika x = ep ) max x ⊥𝐞 𝟏 ,𝐞 𝟐 ,...,𝐞 𝐩 𝐱′𝐁𝐱 𝐱′𝐱 = 𝜆 𝑘+1 (dicapai ketika x = ek+1 , k = 1,2,...,p-1 ) 35 Klik disini Mau tahu lebih banyak tentang pertidaksamaan matriks dan maksimisasi?
- 36. 3 36CONTOH SOAL Cari nilai dan vektor eigen dari matriks A = 2,2 0,4 0,4 2,8 Penyelesaian: 𝐀 − 𝜆𝐈= 2,2 0,4 0,4 2,8 − 𝜆 1 0 0 1 = 2,2 − 𝜆 0,4 0,4 2,8 − 𝜆 𝜆𝐈 − 𝐀 = 𝜆 𝟐 − 5𝜆 + 6 Didapat 𝜆 = 3 dan 𝜆 = 2 NILAI DAN VEKTOR EIGEN
- 37. 3 37CONTOH SOAL Untuk 𝜆 = 3, maka 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱 2,2 0,4 0,4 2,8 𝑥1 𝑥2 = 3 𝑥1 𝑥2 setelah ini dapat dijabarkan seperti persamaan linier biasa, didapat bahwa 𝑥2 = 2𝑥1 misalkan 𝑥1 = 𝑡 maka 𝑥2 = 2𝑡 sehingga vektor yang bersesuaian adalah 𝑡 1 2 , jadi vektor eigen dari 𝜆 = 3 adalah 1 2 Untuk 𝜆 = 2, maka 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱 2,2 0,4 0,4 2,8 𝑥1 𝑥2 = 2 𝑥1 𝑥2 setelah ini dapat dijabarkan seperti persamaan linier biasa, didapat bahwa 2𝑥2 = −𝑥1 misalkan 𝑥1 = 2𝑡 maka 𝑥2 = −𝑡 sehingga vektor yang bersesuaian adalah 𝑡 2 −1 , jadi vektor eigen dari 𝜆 = 2 adalah 2 −1 NILAI DAN VEKTOR EIGEN Klik disiniMau latihan soal lebih banyak?
- 38. 3