Dokumen ini membahas tentang momen dan fungsi pembangkit momen dari peubah acak. Terdapat definisi momen, contoh perhitungan momen, serta teorema terkait fungsi pembangkit momen. Juga dijelaskan cara menggunakan fungsi pembangkit untuk menentukan momen dari variabel random dan distribusi peluang.

1. MOMENT DAN FUNGSI
PEMBANGKIT MOMEN
KELOMPOK 7
1.ARNIATI
2.FERAWATI DESRA
3.OKTAMIRA

2. Definisi Momen
Definisi 1 :
Momen ke r dari peubah acak x di sekitar 0
dinotasikan dengan µ’r dan didefenisikan sebagai
berikut :
 ∑ x r f (x )
 x

'
r
µr = E ( X ) =  ∞
r
 ∫ x f ( x ) dx
- ∞

dimana r = 0, 1, 2, …
jika X adalah diskrit
jika X adalah kontinu

3. Definisi 2 :
Momen ke r dari peubah acak x di sekitar µ
dinotasikan dengan : (r = 0, 1, 2, …)
[
µr = E ( x − µ )
r
]
 ∑ (x − µ)r f (x )
 x

= ∞
r
 ∫ ( x − µ ) f ( x ) dx
- ∞

jika X adalah diskrit
jika X adalah kontinu

4. CONTOH 1
Bila x menyatakan nilai mata dadu dari
pelambungan dadu yang setimbang tentukanlah :
a. 3 momen pertama
b. 3 momen
c. variansi x

5. CONTOH 2
Hitunglah rataan dan variansi peubah acak x
yang mempunyai fungsi padat x
x


f ( x ) =2
0

, 0 <x <2
, selainnya

6. Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 3 :
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X
diperoleh dari E(etX) dan dinyatakan dengan MX(t).
Sehingga
 ∑ e tx f ( x )
jika X adalah diskrit
M X (t ) = E (e
tX
)
 x
∞
=
tx
 ∫ e f ( x ) dx
- ∞

jika X adalah kontinu

7. Fungsi Pembangkit – Momen hanya akan ada
bila jumlah atau Integral pada definisi 3
konvergen. Bila fungsi pembangkit – momen
suatu peubah acak memang ada, fungsi itu
dapat dipakai untuk membangkitkan atau
menemukan seluruh momen peubah acak
tersebut. Yang caranya diuraikan dalam
teorema 1

8. Teorema Pembangkit
Momen
Teorema 1 :
Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi
pembangkit momen MX(t). Maka
d r M X (t )
= µr'
dt r t = 0

9. Contoh 1 :
Cari fungsi pembangkit momen untuk variabel
random binomial X dan gunakanlah untuk
memverifikasi bahwa µ = np dan σ2 = npq!

10. Contoh 2 :

Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit –
momen peubah acak X yang berdistribusi
normal dengan rataan µ dan bervariansi σ2
adalah
Mx(t) = e
µt + σ2 t2/2

11. Teorema-teorema
1. (Teorema ketunggalan) Misalkan X dan Y dua
peubah acak masing-masing dengan fungsi
pembangkit-momen MX(t) dan MY(t), Jika
MX
(t) = MY (t) untuk semua nilai t, maka X dan Y
memiliki distribusi peluang yang sama.
2. MX+a(t) = eatMX(t)
3. MaX(t) = MX(at)

12. 4. Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acak bebas dengan
fungsi pembangkit momen, masing-masing
M X1 (t ), M X 2 (t ),..., M X n (t ) dan Y = X1 + X2 + …+Xn
maka
MY(t) =
M X1 (t )M X 2 (t )...M X n (t )