ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

1. 2Ο ΓΕΛ ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΎ ΤΜΉΜΑ: Α1

2. Ιδιότητα πράξεων Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα
Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ)=(αβ)γ
Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = α
Αντίθετος/Αντίστροφος
αριθμού
α + (-α) = 0 α ∙ = 1, α ≠ 0
Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγ
Αφαίρεση
α-β = α+ (-β)
Διαίρεση
(β≠0)

1





1
: 

3. 1. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ
2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ
3. α = β α + γ = β + γ
4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ
5. α ∙ β = 0 α = 0 ή β = 0
6. α ∙ β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0







4. Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει
ότι:
αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και
ν παράγοντες
α1 = α, για ν = 1
Αν α ≠ 0, τότε:
α0 = 1 και α-ν = 

1

5. 1. ακ ∙ αλ = ακ+λ
2. = ακ-λ (α≠0)
3. ακ ∙ βκ = (αβ)κ
4. (β≠0)
5. (ακ)λ = ακλ





















6. (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
(α - β)2 = α2 - 2αβ + β2
α2 - β2 = (α + β) ∙ (α - β)
(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3
(α - β)3 = α3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3
α3 + β3 = (α + β) ∙ (α2 – αβ + β2)
α3 - β3 = (α - β) ∙ (α2 + αβ + β2)
(α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα

7. α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ
(α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ
αν – βν = (α - β) ∙ (αν-1 + αν-2β + … + αβν-2 + βν-1)
α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2+β2+γ2-αβ-βγ-γα)
α3+β3+γ3 –3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2+(β-γ)2+(γ-α)2]
Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ
Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ
α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β)
2
1

10. Διάστημα Ανισότητα Συμβολισμός
x´ α β x
x´ α β x
x´ α β x
x´ α x
x´ α x
x´ α x
x´ α x

11. Ορισμός
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α
συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο
α, αν α≥0
-α, αν α<0
Συνέπειες
και
ή x = -θ (θ > 0)
ή x = -α
α
0αα 
αα  αα 
22
αα 
θxθx 
αxαx 
α

12. 1.
2. = (β ≠ 0)
3.
Απόσταση
 d (α , β) =
β
α
β
α Ανισότητες με απόλυτα

 ή x > ρ
βαβα 
βαβα 
βα 
ρxρρ)ρ,(xρx 
ρxρx 

13. Ορισμός
Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται
με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί
στο τετράγωνο, δίνει τον α.
• Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης
x2 = α.
Ιδιότητες
•Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε:
1.
2.
α
α
αα 2

βαβα 
β
α
β
α

3. (β ≠ 0 )

14. Ορισμός
Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός
αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.
 Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της
εξίσωσης xν = α.
ν
α
ν
α

15. Ιδιότητες
• Αν α,β ≥ 0, τότε:
1.
2. (β ≠ 0)
3.
4.
5.
6.
ννν
βαβα 
ν
ν
ν
β
α
β
α

νμμ ν
αα


ν μρν ρμ
αα 
 
 κ
νv κ
αα 
νν ν
βαβα 
• Αν α ≥ 0, τότε:
• Αν α ≤ 0 & ν άρτιος,
τότε:
  αα
ν
ν
 & ααν ν

ααν ν


16. Ορισμός
• Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε
ορίζουμε
• Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει
ότι:
ν μν
μ
αα 
νν
βαβα 

17. • Η εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό
φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:
• Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό
αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και
• Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό
φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:
• Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό
αριθμό, είναι αδύνατη
ν
α
ν
α
ν
α
ν α

18. • Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται
εξίσωση δευτέρου βαθμού.
Είδος ριζών
Δ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0
Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη
Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ
2α
Δβ-
x 1,2


2α
β
-x 

19. •
•
Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 ,
x2 :
x2 – Sx + P = 0
α
β
xxS 21 
α
γ
xxP 21 

20. • Αν α > 0 , τότε:
• Αν α < 0 , τότε:
• Αν α = 0 , τότε: , η οποία
 αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0
 ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0
α
β-
x 
α
β-
x 
-β0x 


21. Μορφές τριωνύμου
Η παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού.
Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 μετασχηματίζεται ως εξής:
Δ > 0 , τότε:
Δ = 0 , τότε:
Δ < 0 ,τότε:
  21
2
xxxxαγβxαx 
2
2
2α
β
xαγβxαx 























2
2
2
4α
Δ
2α
β
xαγβxαx

22. Δ > 0
-∞ x1 x2 +∞
Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο
του α του α του α
Δ = 0
-∞ x1 +∞
Ομόσημο Ομόσημο
του α του α
Δ < 0
-∞ +∞
Ομόσημο του α x ℝ