Downloaded 19 times
![Ταυτότητες 2
9. α2
+ β2
= (α + β)2
- 2αβ
10. (α + β - γ)2
= α2
+ β2
+ γ2
+ 2αβ - 2βγ - 2αγ
11. αν
– βν
= (α - β) ∙ (αν-1
+ αν-2
β + … + αβν-2
+ βν-1
)
12. α3
+ β3
+γ3
– 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2
+β2
+γ2
-αβ-βγ-γα)
13. α3
+β3
+γ3
–3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2
+(β-γ)2
+(γ-α)2
]
14. Αν α + β + γ = 0 τότε α3
+ β3
+ γ3
= 3αβγ
15. Αν α = β = γ τότε α3
+ β3
+ γ3
= 3αβγ
16. α3
+ β3
= (α + β)3
- 3αβ (α + β)
2
1](https://image.slidesharecdn.com/1-160325201623/85/1-7-320.jpg)
More Related Content
άλγεβρα 1ης λυκείου
- 1. Επιμέλεια: Καρσιώτη Ευαγγελία Μαστροπέτρου Ειρήνη ΜούλιουΙωάννα Ντελλή Σοφία Σταμάτη Αρετή Καθηγητής: Φιλίππου Ιωάννης 2ο ΓΕΛ Κορυδαλλού Τμήμα: Α1
- 2. Ιδιότητες πράξεων Ιδιότητα πράξεωνΠρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ)=(αβ)γ Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = α Αντίθετος/Αντίστροφος αριθμού α + (-α) = 0 α ∙ = 1, α ≠ 0 Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγ Αφαίρεση α-β = α+ (-β) Διαίρεση (β≠0) α 1 β α β α βα 1 : ⋅==
- 3. Ιδιότητες πράξεων 2 1.(α = β και γ = δ) α + γ = β + δ 2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ 3. α = β α + γ = β + γ 4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ 5. α ∙ β = 0 α = 0 ή β = 0 6. α ∙ β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0 ⇒ ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
- 4. Δυνάμεις Αν α πραγματικόςαριθμός και ν φυσικός, ισχύει ότι: αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και ν παράγοντες α1 = α, για ν = 1 Αν α ≠ 0, τότε: α0 = 1 και α-ν = ν α 1
- 5. Ιδιότητες δυνάμεων 1. ακ ∙αλ = ακ+λ 2. = ακ-λ 3. ακ ∙ βκ = (αβ)κ 4. 5. (ακ )λ = ακλ λ κ α α κ κ κ β α β α = (β ≠ 0 )
- 6. Ταυτότητες 1. (α +β)2 = α2 + 2αβ + β2 2. (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2 3. α2 - β2 = (α + β) ∙ (α - β) 4. (α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3 5. (α - β)3 = α3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3 6. α3 + β3 = (α + β) ∙ (α2 – αβ + β2 ) 7. α3 - β3 = (α - β) ∙ (α2 + αβ + β2 ) 8. (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα
- 7. Ταυτότητες 2 9. α2 +β2 = (α + β)2 - 2αβ 10. (α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ 11. αν – βν = (α - β) ∙ (αν-1 + αν-2 β + … + αβν-2 + βν-1 ) 12. α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2 +β2 +γ2 -αβ-βγ-γα) 13. α3 +β3 +γ3 –3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2 +(β-γ)2 +(γ-α)2 ] 14. Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ 15. Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ 16. α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β) 2 1
- 8. Ιδιότητες αναλογιών 1. (εφ’όσον βδ ≠ 0) 2. (εφ’ όσον βγδ ≠ 0) 3. (εφ’ όσον βδ ≠ 0) 4. (εφ’ όσον βδ(β+δ) ≠ 0) βγαδ δ γ β α =⇔= δ β γ α δ γ β α =⇔= δ δγ β βα δ γ β α ± = ± ⇔= δβ γα δ γ β α δ γ β α + + ==⇔=
- 9. Διάταξη πραγματικών αριθμών Ορισμός Έναςαριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και γράφεται α > β, όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός Ιδιότητες 1. (α > 0 και β > 0) α + β > 0 (α < 0 και β < 0) α + β < 0 2. α, β ομόσημοι α ∙ β > 0 α, β ετερόσημοι α ∙ β < 0 0 β α > 0 β α <⇔ ⇔ ⇒ ⇒ ⇔ ⇔
- 10. Διάταξη πραγματικών αριθμών Ιδιότητες 3.α2 ≥ 0, για κάθε α ℝ , (Η ισότητα ισχύει μόνο όταν α=0) Από αυτό προκύπτουν οι ισοδυναμίες: α2 + β2 = 0 α = 0 και β = 0 α2 + β2 > 0 α ≠ 0 ή β ≠ 0⇔ ∈ ⇔
- 11. Διάταξη πραγματικών αριθμών Ιδιότητεςτων ανισοτήτων 1. (α > β και β > γ) α > γ 2.i. α > β α + γ > β + γ ii. Αν γ > 0, τότε: α > β α ∙ γ > β ∙ γ iii. Αν γ < 0, τότε: α > β α ∙ γ < β ∙ γ 3. i.(α > β και γ > δ) α + γ > β + δ ii. Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: (α > β και γ > δ) α ∙ γ > β ∙ δ Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β αν > βν ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ ⇔
- 12.
- 13. Ορισμός Η απόλυτη τιμήενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο α, αν α≥0 -α, αν α<0 Συνέπειες και Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού • ή x = -θ (θ > 0) • ή x = -α =α 0αα ≥−= αα ≥ αα −≥ 22 αα = θxθx =⇔= αxαx =⇔= α
- 14. Ιδιότητες 1. 2. = (β≠ 0) 3. Απόσταση d (α , β) = β α β α Ανισότητες με απόλυτα ή x > ρ βαβα ⋅=⋅ βαβα +=+ βα − ρxρρ)ρ,(xρx <<−⇔−∈⇔< ρxρx −<⇔>
- 15. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορισμός Ητετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α. Ιδιότητες • Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε: 1. 2. α α αα 2 = βαβα ⋅=⋅ β α β α =3. (β ≠ 0 )
- 16. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορισμός Ην-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α. Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α. ν α ν α
- 17. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ιδιότητες Ανα,β ≥ 0, τότε: 1. 2. (β ≠ 0) 3. 4. 5. 6. ννν βαβα ⋅=⋅ ν ν ν β α β α = νμμ ν αα ⋅ = ν μρν ρμ αα = ⋅ ⋅ ( )κ νv κ αα = νν ν βαβα ⋅= Αν α ≥ 0, τότε: Αν α ≤ 0 & ν άρτιος, τότε: ( ) αα ν ν = & ααν ν = ααν ν =
- 18. Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορισμός Ανα > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε ορίζουμε Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι: ν μν μ αα = νν βαβα <⇔<
- 19. Η εξίσωση xν =α Η εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη ν α ν α ν α− ν α−
- 20. Η εξίσωση αx2 +βx+γ=0,α≠0 • Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού. Είδος ριζών Δ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ 2α Δβ- x 1,2 ± = 2α β -x =
- 21. Άθροισμα και γινόμενοριζών Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 , x2 : x2 – Sx + P = 0 α β xxS 21 −=+= α γ xxP 21 =⋅=
- 22. Ανισώσεις 1ου βαθμού αx+ β > 0 Αν α > 0 , τότε: Αν α < 0 , τότε: Αν α = 0 , τότε: , η οποία αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0 ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0 α β- x > α β- x < -β0x > ∈
- 23. Ανισώσεις 2ου βαθμού Μορφέςτριωνύμου Η παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 μετασχηματίζεται ως εξής: Δ > 0 , τότε: Δ = 0 , τότε: Δ < 0 ,τότε: 2 2 2α β xαγβxαx +=++ ( ) ( )21 2 xxxxαγβxαx −−=++ + +=++ 2 2 2 4α Δ 2α β xαγβxαx
- 24. Πρόσημο τριωνύμου αx2 + βx+ γ = 0 , α ≠ 0 Δ > 0 -∞ x1 x2 +∞ Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο του α του α του α Δ = 0 -∞ x1 +∞ Ομόσημο Ομόσημο του α του α Δ < 0 -∞ +∞ Ομόσημο του α x ℝ∈∀