Ένα ακόμη εξαιρετικό διαγώνισμα από τον συνάδελφο Γιώργο Μιχαηλίδη, διατυπωμένο και μορφοποιημένο ακριβώς στην μορφή των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων. Περιλαμβάνονται απαντήσεις και υποδείξεις.
Ένα ακόμη εξαιρετικό διαγώνισμα από τον συνάδελφο Γιώργο Μιχαηλίδη, διατυπωμένο και μορφοποιημένο ακριβώς στην μορφή των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων. Περιλαμβάνονται απαντήσεις και υποδείξεις.
The document contains questions and answers related to mathematics for senior high school. It includes questions from past national exams from 2000-2020, as well as sample questions in both the old and new testing systems. The questions cover topics like functions, limits, derivatives, and graphing. The document is authored by a mathematics teacher and intended as a review guide for students.
This document appears to be part of a Greek mathematics textbook. It contains definitions of common mathematical terms like function, graphical representation of a function, equality of functions, operations on functions, and composition of functions. It also defines what it means for a function to be increasing or decreasing over an interval of its domain. The document is divided into numbered sections and contains examples to illustrate each definition.
This document is a chapter from a Greek first year high school mathematics textbook. It covers the topics of positive and negative real numbers, absolute value, opposites, and comparing real numbers. Some key points covered include: defining positive and negative numbers, their placement on the number line; absolute value as the distance from zero; opposites having the same absolute value but different signs; and the absolute value of positive numbers being themselves and negatives being their opposites. Examples are provided to illustrate these concepts along with exercises for students to practice.
lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
1. lisari teaμ…αντικές ικανότητες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών
Οικονομίας και Πληροφορικής
Μοιραζόμαστε μαζί σας 23 εμπνεύσεις
της τελευταίας στιγμής!
Επιμέλεια προτάσεων: lisari team
Συντονιστής: Παύλος Τρύφων
Σχολικό έτος: 2015-2016
2. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 1η: Εύρεση συνόλου τιμών από συναρτησιακή σχέση, με χρήση του ορισμού του συνόλου
τιμών.
Παράδειγμα 1
Αν f f x 4x 3, για κάθε x 1 R τότε f R R
Υπόδειξη
Πράγματι, εύκολα δείχνουμε ότι η f είναι 1 1 . Αρκεί να αποδείξουμε ότι fR R , δηλαδή για
0y R, αναζητούμε 0x Rτέτοιο, ώστε:
(εναλλακτικά: αν 0y R τότε για 0
0
y 3
x f
4
έχουμε
0 0 0
0 0
y 3 y 3 y 3
f x f f f f 4 3 y f
4 4 4
R R )
ΙΔΕΑ 2η: Από μία σχέση της μορφής 2
f x dx 0
με να προκύπτει ότι f x 0 στο
, . Εναλλακτικά: Αν f ορισμένη και συνεχής στο , , με f x dx 0
και f x 0
χωρίς η f να είναι παντού μηδέν στο , τότε
Παράδειγμα 1
Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση f : 0,1 R με την ιδιότητα
1
x 2
0
1
4 e f x f x dx 1
e
Υπόδειξη
1 1 1
21x 2 x 2 x x x
0
0 0 0
1
4 e f x f x dx 1 4 e f x f x dx e ... e 2e f x 1 dx 0
e
Αν η συνάρτηση
2x x
x e 2e f x 1
δεν ήταν παντού μηδέν στο 0,1 τότε
1
2x x
0
e 2e f x 1 dx 0,
άτοπο.
f 1 1
0
0 0 0 0 0 0 0
3 f y
f x y f f x f y 4x 3 f y x
4
3. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Άρα x 0 στο 0,1 οπότε x
1
f x ,x 0,1
2e
.
Παράδειγμα 2
Αν για , 1 ισχύει
2 2
2 x 1dx
2
, αποδείξτε ότι
Υπόδειξη
2 2
2 x 1dx 2 x 1dx xdx x 2 x 1 dx 0 1
2
Όμως
x 2 x 1 0, για κάθε x 1 (με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 2 )
Άρα αν
, . . x 2 x 1 dx 0,
άτοπο από τη σχέση 1
ΙΔΕΑ 3η
: Διαφορική εξίσωση με ορισμένο ολοκλήρωμα
Παράδειγμα 1
1
0
f x f x xf x dx 1 f 0 1
Υπόδειξη
Θέτουμε:
1
0
A xf x dx 1 άρα η δεδομένη σχέση γίνεται:
x
e
x
f x f x A ... f x A A 1 e
Όμως
1 1
x x
0 0
A xf x dx 1 A x A A 1 e dx 1 ... A 0 f x e
ΙΔΕΑ 4η
: Εμβαδόν μεταξύ συνάρτησης, εφαπτομένης σε σημείο καμπής της και κατακόρυφων
ευθειών εκατέρωθεν του σημείου καμπής.
4. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
(H κυρτότητα της συνάρτησης θα καθορίσει τη σχετική της θέση ως προς την εφαπτομένη…)
ΙΔΕΑ 5η
: Ορισμένο ολοκλήρωμα που περιέχει τη ζητούμενη συνάρτηση και είναι σταθερό ως
προς τη μεταβλητή παραγώγισης.
Παράδειγμα 1
1
0
f x 1 1 3xt f t dt
Υπόδειξη
Θέτουμε:
1 1
0 0
A f t dt tf t dt οπότε
1 1 1
0 0 0
f x 1 1 3xt f t dt 1 f t dt 3x tf t dt 1 A 3 x
Είναι
1 1 1
0 0 0
2 5 8
A f t dt 1 A 3 t dt ... B tf t dt ... A f x 2x
3 3 3
ΙΔΕΑ 6η
: Επίλυση (ή πλήθος ριζών) εξίσωσης f x g x , όπου η f παρουσιάζει ελάχιστο στο
0x το k και η g παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το k .
Παράδειγμα 1
5. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 7η
: Διαφορική…με το σύμβολο
Παράδειγμα 1
Αν συνάρτηση f :[0,1] R παραγωγίσιμη στο 0,1 με
x 1 x 1 x 1
x e 1 f x e 0,1 x f , 1e x x
Να αποδείξετε ότι ή f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0,1
Υπόδειξη
Για x 0 και x 1 βρίσκουμε f 0 0 και f 1 0 . Είναι:
x 1 x 1 x 1
e 1 xe f x 1 0x e f x
και αν υποθέσουμε ότι 0, ά x 0,1f x τότε ισοδύναμα:
x 1 x 1 x 1
2
e 1 xe f x x
0
f x
e 1 f x
x 1
x e 1
f x
0
Από το θεώρημα Rolle για την
x 1
x e 1
g x
f x
στο 0,1 , υπάρχει 0,1 τέτοιο ώστε:
g 0 το οποίο είναι άτοπο. Άρα η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0,1
ΙΔΕΑ 8η
: Συνδυασμός θεωρήματος μέγιστης και ελάχιστης τιμής με θεώρημα Fermat
6. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Παράδειγμα 1
Αν f : α,β R συνεχής στο α,β , παραγωγίσιμη στο α,β με
f α,β 1,2 και f α 0,f β 1.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν 1 2x ,x α,β τέτοια, ώστε
1 2f x f x 0
Υπόδειξη
Η f παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο α,β , ως συνεχής σε αυτό.
Όμως
f , 1,2 , f 0,f 1
Άρα υπάρχουν 1 2 1 2x ,x α,β :f x 1 και f x 2
Από το θεώρημα Fermat, 1 2f x f x 0
ΙΔΕΑ 9η
: Εύρεση του τύπου μιας συνάρτησης με συμπλήρωση τετράγωνου και διαφορική
ταυτόχρονα.
Παράδειγμα 1
Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f : R R με
f 0 2 , f 0 0 και
2 4 2
f x 2f x x 2x , για κάθε x R
Υπόδειξη
2 24 2 4 2
22 2 2
g x
f x 2f x x 2x f x 2f x 1 x 2x 1
f x 1 x 1 f x 1 x 1,x
R
Η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R (γιατί;) και g 0 1 0 . Άρα
7. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
3 3f 0 0
2 2 x x
f x 1 x 1 f x x 2 f x 2x c f x 2x
3 3
,
η οποία επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες
ΙΔΕΑ 10η
: Όριο μηδενικής επί φραγμένης, που να χρειάζεται όμως να βρούμε σύνολο τιμών της.
Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνάρτηση
ln x
f x , x e
x
. Να αποδείξετε ότι:
α) 1
f e, 0,
e
β)
x
3
x
2
x x x
f e e 0
x 2016 ln x
lim
Υπόδειξη
α) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο e, , άρα
x
1
f e, f x ,f e ... 0,
e
lim
β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε για x e
2
x
03 3x 2016
x x
2 2
x x 1 x x x 1 x
0 f e e 0 f e e
ln x e x 2016 ln x e x 2016
και το συμπέρασμα έπεται από το κριτήριο παρεμβολής…
ΙΔΕΑ 11η
: Όριο μηδενικής επί φραγμένης , με φραγμένη κάποια συνάρτηση της οποίας όμως το
σύνολο τιμών θα προκύπτει από το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
2
f x x 1 x
α) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της
β) Αποδείξτε ότι
8. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
x 0
2016 1
x f x 0lim
Υπόδειξη
α) Βρίσκουμε
fD 0,1 και 2
1 x
f x 0
2 x 1 x
στο 0,1
β) Σύνολο τιμών της f είναι το
ή ,
f 0,1 f 0 ,f 1 1,1
, δηλαδή το πεδίο ορισμού της 1
f
είναι το 1,1 ,
οπότε έχει νόημα η εύρεση του x 0
2016 1
x f xlim
Για κάθε x 1,1 είναι
1 2016 1 2016
0 f x 1 0 x f x x
και το ζητούμενο προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής.
ΙΔΕΑ 12η
: Διερεύνηση πλήθους ριζών εξίσωσης (παραμετρική)
Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνάρτηση 2
f x x 1 x,x R . Για τις διάφορες τιμές του R να βρεθεί το πλήθος
των ριζών της εξίσωσης
2
3
2
3x 1
f x 1 1
2 1
Υπόδειξη
Δείχνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R , άρα 1-1. Αν
2
3 3x
g x x 1
2
τότε
1 f g x f λ g x λ
Βρίσκουμε τελικά
1 1
g , 1 , , g 1,0 1, , g 0, 1,
2 2
1
λ 1 ή λ
2
1
1 λ
2
1
λ ή λ 1
2
μοναδική ρίζα τρεις ρίζες δύο ρίζες
9. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 13η
: Η ιδιότητα o ox x x x
2
f x 0 f x 0lim lim
.
Παράδειγμα 1
Δίνεται συνάρτηση f : r r για την οποία ισχύει
2
x
lim f x 4f x 1 3
Να βρείτε το x
lim f x
Υπόδειξη
Έχουμε
22
x x
lim f x 4f x 4 0 lim f x 2 0
Επίσης ισχύει
2
x x
lim f x 2 lim f x 2 0 0
και
f x 2 f x 2 f x 2
Οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε
x x
lim f x 2 0 lim f x 2
ΙΔΕΑ 14η
: Δίνεται η γραφική παράσταση της f και ζητούνται μονοτονία / ακρότατα /
κυρτότητα / σημεία καμπής της f ή σημεία της fC όπου η εφαπτομένη την «διαπερνά» (όλα να
προκύπτουν από το διάγραμμα).
Δεν πάμε μακριά…άσκηση 4 σελ. 277 σχολικού βιβλίου αποτελεί ένα καλό παράδειγμα!
10. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 15η
: Ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος που να προκύπτει από διακρίνουσα
τριωνύμου.
Παράδειγμα 1
Να αποδείξετε ότι για κάθε x R ισχύει
1 1 1
0
2 2
0
2
0
x dt ttdt dt2x t t 1 1 0
και στη συνέχεια να δείξετε ότι:
1
0
2
dt
2
t t 1
3
Υπόδειξη
1 1 1 1
0
2
2 2 2
0
2
0 0
x dt t dttdt 2x x dt t 1 t1 t t 1
που ισχύει για κάθε xR
Η δοσμένη σχέση είναι τριώνυμο ως προς x και για να ισχύει για κάθε xR πρέπει και αρκεί Δ 0 .
Οπότε:
1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0
1
2 32 2
2 2
1
0 0
2
2
2 2
t t 1 tdt 1 0 t t
t t
4 dt 4 t 1 0
2
dt dt t
2 3
2
dt dt t 1 t0 t t 1
33
ΙΔΕΑ 16η
: Ακρότατα δίκλαδης συνάρτησης – ειδική περίπτωση ακροτάτου σε κλειστό άκρο του
πεδίου ορισμού δίκλαδης συνάρτησης.
11. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
x
xe x 0
f x
0 , x 0
Υπόδειξη
Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 και ολικό μέγιστο στο 1!
ΙΔΕΑ 17η
: Εύρεση συνάρτησης οι τιμές της οποίας εμπεριέχονται σε όριο (ιδέα αποκλειστικά από
το βιβλίο της lisari team).
Παράδειγμα 1
Για μία συνάρτηση f : 1, R ισχύει
x
2 22 2016 2014
2015
2f 2 ln 1 x x 1
0,
x
lim
για κάθε 1
Αποδείξτε ότι
2
2x x
f x x 1 ln x 1 , x 1
2
Υπόδειξη
Υποθέτουμε ότι υπάρχει α 1 για το οποίο
2 22
2f 2 ln 1 0
τότε
x x
2 22 2016 2014
2 22
2015
2 22
2 22
2f 2 ln 1 x x 1
2f 2 ln 1 x
x
, 2f 2 ln 1 0
,
, 2f 2 ln 1 0
lim lim
που σε κάθε περίπτωση είναι άτοπο. Άρα
2
2x x
f x x 1 ln x 1 , x 1
2
.
ΙΔΕΑ 18η
: Ορισμένο ολοκλήρωμα και ύπαρξη κρίσιμου σημείου συνάρτησης.
12. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Παράδειγμα 1 (εμπνευσμένο από την άσκηση 11 σελ. 340 σχ. βιβλίου)
Έστω μια συνάρτηση f με fσυνεχής και
0
f x f x xdx 2f 1
Αποδείξτε ότι η f έχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο.
Υπόδειξη
Κάνοντας δύο φορές κατά παράγοντες ολοκλήρωση στο
0
f x xdx
και χρησιμοποιώντας τη
σχέση 1 βρίσκουμε f 0 f και το συμπέρασμα προκύπτει από το θεώρημα Rolle!
ΙΔΕΑ 19η
: Δίνεται η 1
f
και ζητείται όριο που περιέχει την f ή κάποια τιμή 0f x (ιδέα
αποκλειστικά από το βιβλίο της lisari team).
Παράδειγμα 1
Έστω f μία συνεχής και 1 1 συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, η οποία έχει αντίστροφη τη
συνάρτηση 1 3
f x x 2x 3 , x
R. Να δείξετε ότι
3 2
x 0
f x x 3x 1
lim 12
f x 1
L
1
f 0
5
Υπόδειξη
Στη σχέση 1 3
f x x 2x 3 , x
R, αντικαθιστούμε όπου x το f x , οπότε:
3
f x 2f x 3 x , για κάθε x R
Άρα το ζητούμενο όριο γράφεται:
x 0
u 1
23 3 3
u f x
x 0
u 1
23 3 3
f x f x 2f x 3 3 f x 2f x 3 1
f x 1
u u 2u 3 3 u 2u 3 1
... 12
u 1
lim
lim
1
f 1 0 f 0 1
.
Αφού 1
f f x x , x
R θα είναι
13. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
1x 0 x 0
f x f 0 f x 1
lim l
f
im
x 0 xf
Θέτουμε u f x , άρα x 0 x 0
limu limf x f 0 1
, f είναι συνεχής στο 0. Έτσι προκύπτει:
1 1 1 11x 0 u 1 u 1 u 1 1
f x 1 u 1 1 1 1 1
lim lim lim lim
5f fu u u 1f x f ff f 1
u 1 u 1
ΙΔΕΑ 20η
: Μονοτονία συνάρτησης και επίλυση συναρτησιακής εξίσωσης (ιδέα αποκλειστικά
από το βιβλίο της lisari team).
Παράδειγμα 1
Δίνεται συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο [0,1] . Να λύσετε την εξίσωση
3 2015 2 4 2016
f x f x ... f x f x f x .. f x , x [0,1] (1)
Υπόδειξη
Η εξίσωση (1) έχει δύο προφανείς λύσεις τις 1 2x 0,x 1 .
Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] (χωρίς βλάβη της γενικότητας) και ότι υπάρχει μια ρίζα
0,1 , τότε:
2 2
3 4 3 4
5 6 5 6 3 2015 2 4 2016
2015 2016 2015 2016
f f
f f
f f f f ... f f f .. f ,ά !
............................................
f f
Άρα δεν υπάρχει καμία ρίζα στο διάστημα 0,1 οπότε οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης (1) είναι το 0
και το 1.
ΙΔΕΑ 21η
: Υπολογισμός ολοκληρώματος με τη βοήθεια άρτιας – περιττής συνάρτησης.
Παράδειγμα 1
Να υπολογίσετε τα ολοκλήρωμα
14. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
1 1 1
1 1 0
3 x 3 x2 x x
x x x
x 1 e x 3ex (1 e
dx , dx dx
e 1 e 1
1)
1 e
e
Υπόδειξη
2 x x
x x
1 1
1 1
x (1 e e
Α dx dx I J
e 1 1e
)
με
2 x
x
1
1
x (1 e
Ι dx 0
e
)
1
,
διότι η συνάρτηση
2 x
x
x (1
1
e
f x
)
e
είναι περιττή και
x
x 1
x
11
1 1
e
J dx ln e ln e 1 ln e1
1e
1
Η συνάρτηση
3 x
x
x 1 e
g x
1 e
είναι άρτια οπότε
3 x 3 x
x x
1 1
1 0
x 1 e x 1 e 1
dx 2 dx B ...
1 e 1 e 4
ΙΔΕΑ 22η
: Υπολογισμός ολοκληρώματος με χρήση γραμμικής εξάρτησης
(εμπνευσμένο από την άσκηση 7 σελ. 353 σχ. βιβλίου)
Παράδειγμα 1
Δίνονται τα ολοκληρώματα
4 4
0 0
x x
dx , dx
x x x x
α) Υπολογίστε τα ,
Β) Υπολογίστε τα ,B
Υπόδειξη
α) Βρίσκουμε
4
0
x x
dx
x x 4
και
4 4 4
00 0
x xx x 1
dx dx ln x x ln 2
x x x x 2
15. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
β) Είναι
2ln 2 2ln 24
A , B
1 8 8
ln 2
2
ΙΔΕΑ 23η
: Επίλυση διαφορικής εξίσωσης σε ένωση διαστημάτων.
Παράδειγμα 1
Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R με 2
f 1 e και 2
xf x 1 2x f x για
κάθε x R . Να δείξετε ότι:
2
x 1
f x xe ,x
R .
Υπόδειξη
Για κάθε x 0 έχουμε:
2
2
1 1
xf x 1 2x f x f x 2x f x f x 2x f x 0
x x
f x ln x x f x 0
Και καταλήγουμε σε μια κλασική γραμμική διαφορική εξίσωση 1ης τάξης. Πολ/με όλους τους όρους
με το
2
ln x x
e
και καταλήγουμε:
2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x
1 1 1e f x 0 e f x c f x c e f x c x e
όμως 2
f 1 e άρα 1c e οπότε
2
1 x
f x xe , x 0
.
Για x 0 εύκολα βρίσκουμε f 0 0 .
Για κάθε x 0 έχουμε ανάλογα:
2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x
2 2 2e f x 0 e f x c f x c e f x c x e
όμως η f είναι παραγώγισιμη R άρα και στο 0x 0 οπότε:
1 2
x 0 x 0
f x f 0 f x f 0
lim lim c c
x 0 x 0
οπότε
2
1 x
f x xe , x 0
.
Επομένως
2
1 x
f x xe
για κάθε x R .
16. __________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
Μια ακόμα…έμπνευση!
Να προταθούν στις Πανελλαδικές εξετάσεις θέματα παρόμοια (ή και ίδια όπου είναι
εφικτό) με αυτά του σχολικού βιβλίου! Ήρθε η ώρα να στηριχθεί έμπρακτα το σχολικό
εγχειρίδιο.
Προτείνουμε τα παρακάτω θέματα ως ασκήσεις κλειδιά από το σχολικό βιβλίο…
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ
Άσκηση 6 σελ. 148
Άσκηση 4 σελ. 157
Άσκηση 3 - 4 σελ. 176
Άσκηση 3 σελ.182
Άσκηση B1 – 2 – 3 σελ. 187
Άσκηση 3 σελ. 199
Άσκηση 5 – 7 σελ. 200
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Άσκηση 6 σελ. 245
Άσκηση 4 σελ. 250
Άσκηση 7 σελ. 250
Άσκηση 1 σελ. 257
Άσκηση 8 σελ. 270
Άσκηση 4 σελ. 277
Άσκηση 1 σελ. 278
Άσκηση 2 σελ. 278
Άσκηση 6 σελ. 292
Άσκηση 9 σελ. 292
Άσκηση 12 σελ. 294
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Άσκηση Β2 σελ. 349
Άσκηση 1 σελ. 352
Άσκηση 4 σελ. 352
Άσκηση 8 σελ. 353
Άσκηση 10 σελ. 353