lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

lisari teaμ…αντικές ικανότητες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών
Οικονομίας και Πληροφορικής
Μοιραζόμαστε μαζί σας 23 εμπνεύσεις
της τελευταίας στιγμής!
Επιμέλεια προτάσεων: lisari team
Συντονιστής: Παύλος Τρύφων
Σχολικό έτος: 2015-2016

__________________________________________________________________________________
lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr
ΙΔΕΑ 1η: Εύρεση συνόλου τιμών από συναρτησιακή σχέση, με χρήση του ορισμού του συνόλου
τιμών.
Παράδειγμα 1
Αν   f f x 4x 3,  για κάθε  x 1 R τότε  f R R
Υπόδειξη
Πράγματι, εύκολα δείχνουμε ότι η f είναι 1 1 . Αρκεί να αποδείξουμε ότι  fR R , δηλαδή για
0y R, αναζητούμε 0x Rτέτοιο, ώστε:
(εναλλακτικά: αν 0y R τότε για 0
0
y 3
x f
4
 
  
 
έχουμε
     0 0 0
0 0
y 3 y 3 y 3
f x f f f f 4 3 y f
4 4 4
       
          
    
R R )
ΙΔΕΑ 2η: Από μία σχέση της μορφής  2
f x dx 0


 με    να προκύπτει ότι  f x 0 στο
 ,  . Εναλλακτικά: Αν f ορισμένη και συνεχής στο , ,   με  f x dx 0


 και  f x 0
χωρίς η f να είναι παντού μηδέν στο , τότε   
Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση  f : 0,1  R με την ιδιότητα
    
1
x 2
0
1
4 e f x f x dx 1
e
  
Υπόδειξη
            
1 1 1
21x 2 x 2 x x x
0
0 0 0
1
4 e f x f x dx 1 4 e f x f x dx e ... e 2e f x 1 dx 0
e
 
             
Αν η συνάρτηση     
2x x
x e 2e f x 1
   δεν ήταν παντού μηδέν στο  0,1 τότε
  
1
2x x
0
e 2e f x 1 dx 0,
  άτοπο.
        
 f 1 1
0
0 0 0 0 0 0 0
3 f y
f x y f f x f y 4x 3 f y x
4
 
       

__________________________________________________________________________________
Άρα  x 0  στο  0,1 οπότε    x
1
f x ,x 0,1
2e
  .
Αν για , 1   ισχύει
2 2
2 x 1dx
2


 
  , αποδείξτε ότι   
Υπόδειξη
   
2 2
2 x 1dx 2 x 1dx xdx x 2 x 1 dx 0 1
2
   
   
 
           
Όμως
x 2 x 1 0,   για κάθε x 1 (με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 2 )
Άρα αν
   , . . x 2 x 1 dx 0,


           άτοπο από τη σχέση  1
ΙΔΕΑ 3η
: Διαφορική εξίσωση με ορισμένο ολοκλήρωμα
        
1
0
f x f x xf x dx 1 f 0 1     
Υπόδειξη
Θέτουμε:  
1
0
A xf x dx 1  άρα η δεδομένη σχέση γίνεται:
       
x
e
x
f x f x A ... f x A A 1 e


        
Όμως
     
1 1
x x
0 0
A xf x dx 1 A x A A 1 e dx 1 ... A 0 f x e               
ΙΔΕΑ 4η
: Εμβαδόν μεταξύ συνάρτησης, εφαπτομένης σε σημείο καμπής της και κατακόρυφων
ευθειών εκατέρωθεν του σημείου καμπής.

__________________________________________________________________________________
(H κυρτότητα της συνάρτησης θα καθορίσει τη σχετική της θέση ως προς την εφαπτομένη…)
ΙΔΕΑ 5η
: Ορισμένο ολοκλήρωμα που περιέχει τη ζητούμενη συνάρτηση και είναι σταθερό ως
προς τη μεταβλητή παραγώγισης.
     
1
0
f x 1 1 3xt f t dt  
Υπόδειξη
Θέτουμε:    
1 1
0 0
A f t dt tf t dt     οπότε
         
1 1 1
0 0 0
f x 1 1 3xt f t dt 1 f t dt 3x tf t dt 1 A 3 x           
Είναι
       
1 1 1
0 0 0
2 5 8
A f t dt 1 A 3 t dt ... B tf t dt ... A f x 2x
3 3 3
                  
ΙΔΕΑ 6η
: Επίλυση (ή πλήθος ριζών) εξίσωσης    f x g x , όπου η f παρουσιάζει ελάχιστο στο
0x το k και η g παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το k .

__________________________________________________________________________________
ΙΔΕΑ 7η
: Διαφορική…με το σύμβολο 
Αν συνάρτηση f :[0,1]  R παραγωγίσιμη στο  0,1 με
         x 1 x 1 x 1
x e 1 f x e 0,1 x f , 1e x x  
  
Να αποδείξετε ότι ή f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο  0,1
Υπόδειξη
Για x 0 και x 1 βρίσκουμε  f 0 0 και  f 1 0 . Είναι:
       x 1 x 1 x 1
e 1 xe f x 1 0x e f x  
   
και αν υποθέσουμε ότι    0, ά x 0,1f x      τότε ισοδύναμα:
       
 
x 1 x 1 x 1
2
e 1 xe f x x
0
f x
e 1 f x  
  



 
 
x 1
x e 1
f x
0
  
 
 



Από το θεώρημα Rolle για την  
 
 
x 1
x e 1
g x
f x


 στο  0,1 , υπάρχει  0,1 τέτοιο ώστε:
 g 0   το οποίο είναι άτοπο. Άρα η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο  0,1
ΙΔΕΑ 8η
: Συνδυασμός θεωρήματος μέγιστης και ελάχιστης τιμής με θεώρημα Fermat

__________________________________________________________________________________
Αν  f : α,β  R συνεχής στο  α,β , παραγωγίσιμη στο  α,β με
    f α,β 1,2  και    f α 0,f β 1. 
Αποδείξτε ότι υπάρχουν  1 2x ,x α,β τέτοια, ώστε
   1 2f x f x 0  
Υπόδειξη
Η f παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο  α,β , ως συνεχής σε αυτό.
Όμως
        f , 1,2 , f 0,f 1       
Άρα υπάρχουν      1 2 1 2x ,x α,β :f x 1 και f x 2   
Από το θεώρημα Fermat,    1 2f x f x 0  
ΙΔΕΑ 9η
: Εύρεση του τύπου μιας συνάρτησης με συμπλήρωση τετράγωνου και διαφορική
ταυτόχρονα.
Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f : R R με
   f 0 2 , f 0 0   και     
2 4 2
f x 2f x x 2x ,    για κάθε x  R
Υπόδειξη
         
      
 
2 24 2 4 2
22 2 2
g x
f x 2f x x 2x f x 2f x 1 x 2x 1
f x 1 x 1 f x 1 x 1,x
            
         R
Η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R (γιατί;) και  g 0 1 0  . Άρα

__________________________________________________________________________________
     
 
 
3 3f 0 0
2 2 x x
f x 1 x 1 f x x 2 f x 2x c f x 2x
3 3

              ,
η οποία επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες
ΙΔΕΑ 10η
: Όριο μηδενικής επί φραγμένης, που να χρειάζεται όμως να βρούμε σύνολο τιμών της.
Δίνεται η συνάρτηση  
ln x
f x , x e
x
  . Να αποδείξετε ότι:
α)    1
f e, 0,
e
 
    
β)
x
3
x
2
x x x
f e e 0
x 2016 ln x
lim


  
     
   
Υπόδειξη
α) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο  e, , άρα
      x
1
f e, f x ,f e ... 0,
e
lim

        
β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε για x e
2
x
03 3x 2016
x x
2 2
x x 1 x x x 1 x
0 f e e 0 f e e
ln x e x 2016 ln x e x 2016
 

     
             
    
και το συμπέρασμα έπεται από το κριτήριο παρεμβολής…
ΙΔΕΑ 11η
: Όριο μηδενικής επί φραγμένης , με φραγμένη κάποια συνάρτηση της οποίας όμως το
σύνολο τιμών θα προκύπτει από το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
  2
f x x 1 x  
α) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της
β) Αποδείξτε ότι

__________________________________________________________________________________
  x 0
2016 1
x f x 0lim


 
Υπόδειξη
α) Βρίσκουμε
 fD 0,1 και   2
1 x
f x 0
2 x 1 x
   

στο  0,1
β) Σύνολο τιμών της f είναι το
        
ή ,
f 0,1 f 0 ,f 1 1,1
 
     , δηλαδή το πεδίο ορισμού της 1
f 
είναι το  1,1 ,
οπότε έχει νόημα η εύρεση του   x 0
2016 1
x f xlim



Για κάθε  x 1,1  είναι
   1 2016 1 2016
0 f x 1 0 x f x x 
     
και το ζητούμενο προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής.
ΙΔΕΑ 12η
: Διερεύνηση πλήθους ριζών εξίσωσης (παραμετρική)
Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x 1 x,x    R . Για τις διάφορες τιμές του R να βρεθεί το πλήθος
των ριζών της εξίσωσης
 
2
3
2
3x 1
f x 1 1
2 1
 
   
    
Υπόδειξη
Δείχνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R , άρα 1-1. Αν  
2
3 3x
g x x 1
2
   τότε
        1 f g x f λ g x λ   
Βρίσκουμε τελικά
          
1 1
g , 1 , , g 1,0 1, , g 0, 1,
2 2
   
                 
1
λ 1 ή λ
2
   
1
1 λ
2
   
1
λ ή λ 1
2
   
μοναδική ρίζα τρεις ρίζες δύο ρίζες

__________________________________________________________________________________
ΙΔΕΑ 13η
: Η ιδιότητα    o ox x x x
2
f x 0 f x 0lim lim
 
   .
Δίνεται συνάρτηση f : r r για την οποία ισχύει
   2
x
lim f x 4f x 1 3

     
Να βρείτε το  x
lim f x

Υπόδειξη
Έχουμε
      
22
x x
lim f x 4f x 4 0 lim f x 2 0
 
       
Επίσης ισχύει
    
2
x x
lim f x 2 lim f x 2 0 0
 
    
και
     f x 2 f x 2 f x 2     
Οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε
    x x
lim f x 2 0 lim f x 2
 
   
ΙΔΕΑ 14η
: Δίνεται η γραφική παράσταση της f και ζητούνται μονοτονία / ακρότατα /
κυρτότητα / σημεία καμπής της f ή σημεία της fC όπου η εφαπτομένη την «διαπερνά» (όλα να
προκύπτουν από το διάγραμμα).
Δεν πάμε μακριά…άσκηση 4 σελ. 277 σχολικού βιβλίου αποτελεί ένα καλό παράδειγμα!

__________________________________________________________________________________
ΙΔΕΑ 15η
: Ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος που να προκύπτει από διακρίνουσα
τριωνύμου.
Να αποδείξετε ότι για κάθε x  R ισχύει
 
1 1 1
0
2 2
0
2
0
x dt ttdt dt2x t t 1 1 0     
και στη συνέχεια να δείξετε ότι:
 1
0
2
dt
2
t t 1
3
 
Υπόδειξη
   1 1 1 1
0
2
2 2 2
0
2
0 0
x dt t dttdt 2x x dt t 1 t1 t t 1        
που ισχύει για κάθε xR
Η δοσμένη σχέση είναι τριώνυμο ως προς x και για να ισχύει για κάθε xR πρέπει και αρκεί Δ 0 .
Οπότε:
     
   
1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0
1
2 32 2
2 2
1
0 0
2
2
2 2
t t 1 tdt 1 0 t t
t t
4 dt 4 t 1 0
2
dt dt t
2 3
2
dt dt t 1 t0 t t 1
33
   
        
 
   
   
   
   
 
ΙΔΕΑ 16η
: Ακρότατα δίκλαδης συνάρτησης – ειδική περίπτωση ακροτάτου σε κλειστό άκρο του
πεδίου ορισμού δίκλαδης συνάρτησης.

__________________________________________________________________________________
Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης
 
x
xe x 0
f x
0 , x 0

  
 
 
Υπόδειξη
Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 και ολικό μέγιστο στο 1!
ΙΔΕΑ 17η
: Εύρεση συνάρτησης οι τιμές της οποίας εμπεριέχονται σε όριο (ιδέα αποκλειστικά από
το βιβλίο της lisari team).
Για μία συνάρτηση  f : 1,   R ισχύει
   
x
2 22 2016 2014
2015
2f 2 ln 1 x x 1
0,
x
lim


           
   για κάθε 1  
Αποδείξτε ότι      
2
2x x
f x x 1 ln x 1 , x 1
2

     
Υπόδειξη
Υποθέτουμε ότι υπάρχει α 1  για το οποίο
   
2 22
2f 2 ln 1 0

        
τότε
   
   
   
   
x x
2 22 2016 2014
2 22
2015
2 22
2 22
2f 2 ln 1 x x 1
2f 2 ln 1 x
x
, 2f 2 ln 1 0
,
, 2f 2 ln 1 0
lim lim
 




           
            
 
          
 
          
που σε κάθε περίπτωση είναι άτοπο. Άρα      
2
2x x
f x x 1 ln x 1 , x 1
2

      .
ΙΔΕΑ 18η
: Ορισμένο ολοκλήρωμα και ύπαρξη κρίσιμου σημείου συνάρτησης.

__________________________________________________________________________________
Παράδειγμα 1 (εμπνευσμένο από την άσκηση 11 σελ. 340 σχ. βιβλίου)
Έστω μια συνάρτηση f με fσυνεχής και         
0
f x f x xdx 2f 1

   
Αποδείξτε ότι η f έχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο.
Υπόδειξη
Κάνοντας δύο φορές κατά παράγοντες ολοκλήρωση στο  
0
f x xdx

  και χρησιμοποιώντας τη
σχέση  1 βρίσκουμε    f 0 f  και το συμπέρασμα προκύπτει από το θεώρημα Rolle!
ΙΔΕΑ 19η
: Δίνεται η 1
f 
και ζητείται όριο που περιέχει την f ή κάποια τιμή  0f x (ιδέα
αποκλειστικά από το βιβλίο της lisari team).
Έστω f μία συνεχής και 1 1 συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, η οποία έχει αντίστροφη τη
συνάρτηση  1 3
f x x 2x 3 , x
    R. Να δείξετε ότι

 
 
3 2
x 0
f x x 3x 1
lim 12
f x 1
L

  
 


    
1
f 0
5
 
Υπόδειξη
Στη σχέση  1 3
f x x 2x 3 , x
    R, αντικαθιστούμε όπου x το  f x , οπότε:
   3
f x 2f x 3 x   , για κάθε x  R
Άρα το ζητούμενο όριο γράφεται:
           
 
 
   
x 0
u 1
23 3 3
u f x
x 0
u 1
23 3 3
f x f x 2f x 3 3 f x 2f x 3 1
f x 1
u u 2u 3 3 u 2u 3 1
... 12
u 1
lim
lim





      


      
  

   1
f 1 0 f 0 1
   .
Αφού   1
f f x x , x
  R θα είναι

__________________________________________________________________________________
     
  1x 0 x 0
f x f 0 f x 1
lim l
f
im
x 0 xf  
 


Θέτουμε  u f x , άρα    x 0 x 0
limu limf x f 0 1
 
   , f είναι συνεχής στο 0. Έτσι προκύπτει:
 
              
1 1 1 11x 0 u 1 u 1 u 1 1
f x 1 u 1 1 1 1 1
lim lim lim lim
5f fu u u 1f x f ff f 1
u 1 u 1
       
 
    
 
 
ΙΔΕΑ 20η
: Μονοτονία συνάρτησης και επίλυση συναρτησιακής εξίσωσης (ιδέα αποκλειστικά
από το βιβλίο της lisari team).
Δίνεται συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο [0,1] . Να λύσετε την εξίσωση
           3 2015 2 4 2016
f x f x ... f x f x f x .. f x       , x [0,1] (1)
Υπόδειξη
Η εξίσωση (1) έχει δύο προφανείς λύσεις τις 1 2x 0,x 1  .
Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] (χωρίς βλάβη της γενικότητας) και ότι υπάρχει μια ρίζα
 0,1 , τότε:
   
   
   
   
 
           
2 2
3 4 3 4
5 6 5 6 3 2015 2 4 2016
2015 2016 2015 2016
f f
f f
f f f f ... f f f .. f ,ά !
............................................
f f

      

      


                     


      

Άρα δεν υπάρχει καμία ρίζα στο διάστημα  0,1 οπότε οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης (1) είναι το 0
και το 1.
ΙΔΕΑ 21η
: Υπολογισμός ολοκληρώματος με τη βοήθεια άρτιας – περιττής συνάρτησης.
Να υπολογίσετε τα ολοκλήρωμα

__________________________________________________________________________________
   1 1 1
1 1 0
3 x 3 x2 x x
x x x
x 1 e x 3ex (1 e
dx , dx dx
e 1 e 1
1)
1 e
e
 

   
 




  
Υπόδειξη
2 x x
x x
1 1
1 1
x (1 e e
Α dx dx I J
e 1 1e
)
  

     με
2 x
x
1
1
x (1 e
Ι dx 0
e
)
1 

  ,
διότι η συνάρτηση  
2 x
x
x (1
1
e
f x
)
e


 είναι περιττή και
     
x
x 1
x
11
1 1
e
J dx ln e ln e 1 ln e1
1e
1
 
        

Η συνάρτηση  
 3 x
x
x 1 e
g x
1 e



είναι άρτια οπότε
   3 x 3 x
x x
1 1
1 0
x 1 e x 1 e 1
dx 2 dx B ...
1 e 1 e 4
 
   
  
ΙΔΕΑ 22η
: Υπολογισμός ολοκληρώματος με χρήση γραμμικής εξάρτησης
(εμπνευσμένο από την άσκηση 7 σελ. 353 σχ. βιβλίου)
Δίνονται τα ολοκληρώματα
4 4
0 0
x x
dx , dx
x x x x
 
 
   
      
α) Υπολογίστε τα ,     
Β) Υπολογίστε τα ,B
Υπόδειξη
α) Βρίσκουμε
4
0
x x
dx
x x 4

   
    
  
και
 
 4 4 4
00 0
x xx x 1
dx dx ln x x ln 2
x x x x 2
     
                   

__________________________________________________________________________________
β) Είναι
2ln 2 2ln 24
A , B
1 8 8
ln 2
2
 
        
  
    

ΙΔΕΑ 23η
: Επίλυση διαφορικής εξίσωσης σε ένωση διαστημάτων.
Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R με   2
f 1 e και      2
xf x 1 2x f x   για
κάθε x  R . Να δείξετε ότι:  
2
x 1
f x xe ,x
  R .
Υπόδειξη
 Για κάθε x 0 έχουμε:
             
     
2
2
1 1
xf x 1 2x f x f x 2x f x f x 2x f x 0
x x
f x ln x x f x 0
                
   
   
Και καταλήγουμε σε μια κλασική γραμμική διαφορική εξίσωση 1ης τάξης. Πολ/με όλους τους όρους
με το
 2
ln x x
e
 
και καταλήγουμε:
 
   
     
2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x
1 1 1e f x 0 e f x c f x c e f x c x e
    
         
 
όμως   2
f 1 e άρα 1c e οπότε  
2
1 x
f x xe , x 0
  .
 Για x 0 εύκολα βρίσκουμε  f 0 0 .
 Για κάθε x 0 έχουμε ανάλογα:
 
   
     
2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x
2 2 2e f x 0 e f x c f x c e f x c x e
    
         
 
όμως η f είναι παραγώγισιμη R άρα και στο 0x 0 οπότε:
       
1 2
x 0 x 0
f x f 0 f x f 0
lim lim c c
x 0 x 0 
 
 
   
 
οπότε  
2
1 x
f x xe , x 0
  .
Επομένως  
2
1 x
f x xe 
 για κάθε x  R .

__________________________________________________________________________________
Μια ακόμα…έμπνευση!
Να προταθούν στις Πανελλαδικές εξετάσεις θέματα παρόμοια (ή και ίδια όπου είναι
εφικτό) με αυτά του σχολικού βιβλίου! Ήρθε η ώρα να στηριχθεί έμπρακτα το σχολικό
εγχειρίδιο.
Προτείνουμε τα παρακάτω θέματα ως ασκήσεις κλειδιά από το σχολικό βιβλίο…
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ
Άσκηση 6 σελ. 148
Άσκηση 3 - 4 σελ. 176
Άσκηση 3 σελ.182
Άσκηση B1 – 2 – 3 σελ. 187
Άσκηση 5 – 7 σελ. 200
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Άσκηση Β2 σελ. 349

lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

More Related Content

What's hot

Similar to lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

More from Μάκης Χατζόπουλος

Recently uploaded

lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου