nick_chatzimanolis_notes

1. 0
Χατζημανώλης Νίκος
Μαθηματικα Γ΄ Λυκειου
Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια
Θεσσαλονίκη 2016

2. 1
Χατζημανώλης Νίκος
Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου
Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

3. 2
Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου
Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια
Χατζημανώλης Νικόλαος
Θεσσαλονίκη
nikoschatzimanolis@gmail.com
ISBN: 978-960-93-8306-6
© Χατζημανώλης Νικόλαος αυτοέκδοση, Ιούλιος 2016
Το βιβλίο αυτό διανέμεται ελεύθερα μέσω του διαδικτύου, ωστόσο προστατεύεται από τους νόμους
περί πνευματικών δικαιωμάτων.

4. 3
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές/τριες της Γ΄ Λυκείου και στους
καθηγητές/τριες μαθηματικών. Μέλημά μου ήταν να παρουσιάσω τις βασικές
μαθηματικές έννοιες που αναφέρονται στην ύλη της τελευταίας τάξης του Λυκείου
και παράλληλα να δώσω μία πληθώρα λυμένων ασκήσεων, ώστε ο μαθητής/τρια να
κατανοήσει αφενός μεν τα μαθηματικά νοήματα, αφετέρου δε μέσω της επίλυσης
ασκήσεων να αποκτήσει τις κατάλληλες δεξιότητες.
Σε αυτό το βιβλίο ο απαιτητικός αναγνώστης/τρια θα βρει και αποδείξεις προτάσεων
που δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο ενώ σε διάφορα σημεία αναφέρονται και πολλά
λάθη που συνήθως κάνουν οι μαθητές/τριες και θα πρέπει να αποφεύγονται. Μία
διαφορά επίσης σε σχέση με τη ροή της σχολικής ύλης είναι ότι παρουσιάζεται πρώτα
η έννοια της συνεχούς συνάρτησης και μετά η έννοια του ορίου της μορφής 0/0.
Κατά την άποψή μου, αυτη η σειρά βοηθάει τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα
και σε βάθος το τι είναι το όριο της μορφής 0/0 και πώς σχετίζεται η συνεχής
συνάρτηση με το όριο της μορφής 0/0 και όχι μόνο μόνο απλά να μάθει να εφαρμόζει
τις συνήθεις αλγοριθμικές τεχνικές. Επιπλέον, συμπεριέλαβα μία ενότητα (με αριθμό
6) η οποία αναφέρεται στον ορισμό του ορίου. Ωστόσο, αυτή η ενότητα είναι
δύσκολη και αφετέρου δεν είναι μέσα στο πλαίσιο της σχολική ύλης. Ο αναγνώστης
μπορεί, αν θέλει, να την αγνοήσει και να προχωρήσει παρακάτω χωρίς κανένα
πρόβλημα στην κατανόηση των επομένων ενοτήτων. Τέλος, θεώρησα σημαντικό να
συμπεριλάβω μία ενότητα που αναφέρεται στη σχέση των συνεχών συναρτήσεων με
τις γραφικές παραστάσεις τους. Η εμπειρία μού έχει δείξει ότι οι μαθητές,
τελειώνοντας το σχολείο έχουν συγχεχυμένες και ανεπαρκείς γνώσεις πάνω σε αυτό
το θέμα.
Ελπίζω αυτό το πόνημα να στηρίξει το μαθητή/τρια και να τον/την βοηθήσει στο
δρόμο προς τις εξετάσεις. Εύχομαι επίσης στον/στην συνάδελφο μαθηματικό το
βιβλίο αυτό να παρέχει ένα καλό υλικό, ώστε να τον βοηθήσει στη διδασκαλία.
Ιούλιος 2016

5. 4
Στη σύζυγό μου Μαρία.

6. 5
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ......................................................................σελ. 7
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ............................................................ σελ. 20
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ........................................................... σελ. 43
ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ........................................................σελ. 56
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ................................ σελ. 66
ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ......................................................σελ. 82
ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ..............................................................................................σελ. 91
ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Ι..............................................................................................σελ. 98
ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..........................................σελ. 106
ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0..........................................................................................................σελ. 112
ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ................................................. ....σελ. 121
ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ.......................................................................................... σελ. 127
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ............. σελ. 134
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xo................................................................. σελ. 146
ΕΝΟΤΗΤΑ 15-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xo ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ.......... σελ. 160
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ............................................................................................ σελ. 162
ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.......................... σελ. 177
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)........................................................................ σελ. 181
ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ...................................................................................................... σελ. 192
ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO............................................................................... σελ. 202
ΕΝΟΤΗΤΑ 21-ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ........................................................ σελ. 213
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ..............................................σελ. 221
ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ..........................................................................................σελ. 233
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ................................................................................σελ 237
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ............................................................................................................................σελ 261

7. 6

8. ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7
ΕΝΟΤΗΤΑ 1η
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η έννοια της συνάρτησης
Η συνάρτηση είναι ένα είδος αντιστοιχίας μεταξύ των στοιχείων δύο
συνόλων:
Όπως βλέπουμε κάθε στοιχείο του
συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο
του Β.
Τις συναρτήσεις συνήθως τις συμβολίζουμε με μικρά ή κεφαλαία
γράμματα του λατινικού και ελληνικού αλφαβήτου. Σύμφωνα με τον
παραπάνω ορισμό, η αντιστοιχία στο σχήμα 2 είναι επίσης μία
συνάρτηση, ενώ οι αντιστοιχίες στα
σχήματα 3 και 4 δεν είναι:
Σε μία συνάρτηση μπορούν δύο
διαφορετικά στοιχεία του συνόλου
Α να αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο
του Β.
Ορισμός 1: Συνάρτηση είναι μία αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων
δύο συνόλων Α και Β, ώστε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να
αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.


9. 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει
συνάρτηση, διότι υπάρχει ένα
τουλάχιστον στοιχείο του Α που δεν
αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του
συνόλου Β.
Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει
συνάρτηση, διότι υπάρχει ένα
τουλάχιστον στοιχείο του Α που
αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα
στοιχεία του συνόλου Β.
Ορισμοί-Συμβολισμοί:
Έστω η συνάρτηση f που περιγράφεται στο σχήμα 5:

10. ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9
 Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Αν ΑR,
τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματικής μεταβλητής.
 Το σύνολο Β ονομάζεται σύνολο αφίξεως της συνάρτησης f. Αν
ΒR, τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματική. Στο σχήμα 5 η
f είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Από εδώ
και στο εξής αν δεν αναφέρουμε τίποτα για το σύνολο αφίξεως, τότε
θα θεωρούμε ότι αυτό είναι το σύνολο R.
 Επειδή στο παράδειγμά μας η συνάρτηση ονομάζεται f και επειδή
έχουμε για παράδειγμα την αντιστοιχία 1100, τότε θα γράφουμε ότι
f(1)=100. Όμοια ισχύει f(2)=200 και f(3)=300.
 Η αντιστοιχία σε μία συνάρτηση μπορεί να είναι τυχαία, όπως στο
σχήμα 1, ή να υπάρχει κάποιος μηχανισμός (κανόνας). Στο
παράδειγμα του σχήματος 5 αν x είναι κάποιος από τους αριθμούς 1,2
ή 3, τότε αυτός θα αντιστοιχεί στο εκατονταπλάσιό του δηλαδή
έχουμε την αντιστοιχία x100x. Άρα, όπως και στην προηγούμενη
παρατήρηση ισχύει ότι f(x)=100x. Πολλές φορές αντί για f(x) θα
γράφουμε y. Δηλαδή y=f(x) ή y=100x. Η παράσταση f(x)=100x
ονομάζεται τύπος της συνάρτησης f. Το x ονομάζεται ανεξάρτητη
μεταβλητή, ενώ το y ονομάζεται εξαρτημένη. Στη θέση του x ή του y
μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα π.χ. S=5t.
 Από τα στοιχεία του Β στο παραπάνω παράδειγμα βλέπουμε ότι μόνο
οι αριθμοί 100, 200 και 300 αντιστοιχούν σε στοιχεία του πεδίου
ορισμού. Το σύνολο {100, 200, 300} ονομάζεται σύνολο τιμών και
συμβολίζεται με f(A). Δηλαδή f(A)={100, 200, 300}. Αν μία
συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α και σύνολο αφίξεων το Β, τότε
το σύνολο τιμών είναι το σύνολο:
f(A)={yB/ υπάρχει (τουλάχιστον) ένα xA, ώστε f(x)=y}.
 To πεδίο ορισμού δείχνει ποιες τιμές παίρνει η ανεξάρτητη
μεταβλητή x, ενώ το σύνολο τιμών δείχνει ποιες τιμές παίρνει η
εξαρτημένη μεταβλητή y.
 Όταν θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι «ορισμένη σε ένα σύνολο Γ», θα
εννοούμε ότι το Γ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της
συνάρτησης.


11. 10 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Συντομογραφία Συνάρτησης
Έστω μία συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα Α=(1,3), σύνολο
αφίξεως το R και τύπο g(x)=5x. Τότε γράφουμε όλα τα στοιχεία της
συνάρτησης ως εξής:
g:(1,3) R
x  5x
Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε g(x)=5x, x(1,3).
Παρατήρηση: Μία πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής
(από εδώ και στο εξής θα λέμε απλώς «συνάρτηση») καθορίζεται από το
πεδίο ορισμού Α και από τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων του
συνόλου Α στο σύνολο αφίξεως Β=R, το οποίο συνήθως εκφράζεται με
έναν τύπο:
Σύμβαση: Αν έχουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης, τότε ως πεδίο
ορισμού θα θεωρούμε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για
το οποίο έχει νόημα ο τύπος f(x). Χρήσιμος είναι ο παρακάτω πίνακας
που δείχνει ποιους περιορισμούς πρέπει να παίρνουμε, ώστε να
βρίσκουμε το πεδίο ορισμού:
Παράσταση
(Α, Β πραγματικοί αριθμοί)
Περιορισμός
(Πρέπει…)
B
A
Β≠0
ν
Α , νn*
Α≥0
logA ή lnA A>0
εφΑ
2
π
κπA  , για κάθε κZ
(ισοδύναμα )1κ2(
2
π
Α  )
σφΑ Α≠κπ, για κάθε κZ
Συνάρτηση
Πεδίο Ορισμού
+
Τρόπος αντιστοιχίας (τύπος)

12. ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 11
Παραδείγματα:
Λύση:
(α) Πρέπει x≠0 και x2
5x+6≥0 (x≠0) και (x≤2 ή x≥3)
x(,0)(0,2][3,+). Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο
Df=(,0)(0,2][3,+).
(β) Πρέπει x>0 και lnx2≥0. Όμως lnx2≥0 lnx≥2 lnx≥2lne
lnx≥lne2
x≥e2
. Άρα Dg=[e2
,+).
(γ) Πρέπει  1x1x1x01x 222
x>1 ή x<1.
Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Dg=(,1)(1,+).
(δ) Πρέπει (x>0 και xR) ή (x=0 και x>0) ή (x<0 και xZ). Η πρώτη
περίπτωση δίνει x>0, η δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατη, ενώ η τρίτη
περίπτωση παριστάνει όλους τους αρνητικούς ακέραιους. Άρα το πεδίο
ορισμού είναι το σύνολο Dp=(0,+){1, 2, 3,…}.
(ε) Πρέπει ημx>0. Όμως το ημίτονο παίρνει θετικές τιμές μόνο για τις
γωνίες που έχουν τελική πλευρά στο πρώτο ή στο δεύτερο τεταρτημόριο.
Τέτοιες γωνίες είναι π.χ. αυτές που ανήκουν στο διάστημα (0,π) ή αυτές
που ανήκουν στο (2π,3π) ή αυτές που ανήκουν στο (2π, π) κ.τ.λ.
Παράσταση
(Α, Β πραγματικοί αριθμοί)
Περιορισμός
(Πρέπει…)
ΑΒ
(Α>0 και ΒR) ή
(Α=0 και Β>0) ή
(Α<0 και ΒZ)
Παράδειγμα 1.1: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο:
(α)
x
6x5x
)x(f
2

 (β) 2xln)x(g 
(γ) h(x)=ln(x2
1) (δ) P(x)=xx
(ε) Q(x)=ln(ημx)

13. 12 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Το πεδίο ορισμού μπορεί να γραφτεί με τους εξής τρόπους:
DQ=…(2π, π)(0,π)(2π,3π)… ή να γράψουμε

Z

κ
Q )πκπ2,κπ2(D ή μπορούμε ακόμη να γράψουμε
DQ={xR/ για κάποιο κZ ισχύει x(2κπ, 2κπ+π) }.
Λύση: Όταν θέλουμε να βρούμε το σύνολο τιμών μιας
συνάρτησης, τότε ψάχνουμε όλες τις δυνατές τιμές του y
για τις οποίες έχει λύση η εξίσωση f(x)=y ως προς x με
xΑ, όπου Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Ουσιαστικά προσπαθούμε με ισοδυναμίες να αναχθούμε
από την παράσταση f(x)=y σε μια παράσταση της
μορφής x=g(y) με xΑ και αποτυπώνουμε για ποιες
τιμές του y είναι έγκυρη αυτή η ισοδυναμία. Η
συνάρτηση ορίζεται για x≠1, άρα
Α=(,1)(1,+). Θέτουμε f(x)=y:
y5x)2y(5x2yyx
1x
5x2
y 


 (1)
 Αν y=2, τότε η (1) δίνει 0y= 7 αδύνατο. Άρα 2f(A).
 Για y≠2, τότε
2y
y5
x


 (2).
 Πρέπει να δούμε αν η (2) επαληθεύεται για κάποια τιμή y, όταν
x= 1, οπότε αυτή την τιμή ίσως πρέπει επίσης να την εξαιρέσουμε
από το σύνολο τιμών: 52y52y
2y
y5
1 



αδύνατο.
Άρα f(A)=(,2)(2,+).
Για να βρούμε το σύνολο τιμών
μίας συνάρτησης f ακολουθούμε
τα παρακάτω βήματα:
 Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού
A της συνάρτησης f.
 Λύνουμε την εξίσωση y=f(x)
ως προς x. Δηλαδή
προσπαθούμε να αναχθούμε
σε μία ή περισσότερες
σχέσεις της μορφής x=g(y)
με xA.
 Λύνουμε τον κάθε
περιορισμό g(y)A ως προς
y.
 Συναληθεύουμε όλες τις
περιπτώσεις που ισχύουν για
τις τιμές του y.
Παράδειγμα 1.2: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο
1x
5x2
)x(f


 .

14. ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 13
Λύση:
(α) Θέτουμε y=f(x). Τότε  x32y2x3y)x(fy
3
2y
x

 . Λύνοντας την εξίσωση y=f(x) ως προς x δεν προέκυψε
κάποιος περιορισμός.
Όμως x1. Αν 5y32y1
3
2y


.
Αντίστροφα, λύνουμε την εξίσωση f(x)=5, xDf.
Αν η εξίσωση έχει λύση, τότε 5f(Df),
διαφορετικά 5f(Df). Πράγματι
1x52x35)x(f  , απορρίπτεται. Άρα
5f(Df). Επομένως f(Df)=R{5}=(,5)(5,+).
(β) Θέτουμε y=g(x). Τότε 22
x32y2x3y)x(gy  . Από
την τελευταία σχέση έπεται ότι y2≥0y≥2. Τότε προκύπτει ότι
3
2y
xή
3
2y
x
3
2y
x2 




 .
Όμως x1. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Παράδειγμα 1.3: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο:
(α) f(x)=3x+2 με Df =R{1}.
(β) g(x)=3x2
+2 με Dg =R{1}.

15. 14 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(i) Αν ισχύει 1
3
2y


 . Η περίπτωση αυτή είναι αδύνατη.
(ii) Αν ισχύει 1
3
2y


.
Τότε 5y...1
3
2y
1
3
2y 2




. Λύνουμε την εξίσωση
g(x)=5, xDg. Αν η εξίσωση έχει λύση, τότε 5g(Dg), διαφορετικά
5g(Dg).
Έχουμε ότι 1xή1x1x52x35)x(g 23
 .
Η τελευταία λύση απορρίπτεται λόγω
περιορισμών. Τελικά ισχύει ότι
.1x5)x(g  Επομένως 5g(Dg).
Ο μόνος περιορισμός που προέκυψε είναι ο y≥2.
Επομένως το σύνολο τιμών είναι το
g(Dg)=[2,+).
Λύση:
 Για x<1:
Τότε θέτουμε y=f(x) y=x2
+1 x2
=y1. Επειδή για κάθε x<1, ισχύει
x2
≥0, έπεται ότι y1≥0y≥1. Ειδικότερα, αν:
(i) 0≤x<1, τότε 1yx  . Άρα  22
11y011y0
2y1  . Δηλαδή f([0,1))=[1,2).
(ii) x<0, τότε 1yx  .
Τότε 1y01y01y01y  . Δηλαδή
ισχύει ότι f((,0))=(1,+).
Παράδειγμα 1.4: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο






1x,1x
1x,1x
)x(f
2
.

16. ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 15
Επομένως f((,1))= f([0,1)) f((,0))= [1,2) (1,+)=[1,+).
 Για x≥1:
Τότε θέτουμε y=f(x)y=x1x=y+1. Επίσης για κάθε x≥1, έπεται
ότι y+1≥1y≥0. Άρα f([1,+))=[0,+).
Τελικά το σύνολο τιμών είναι το
f(R)=f((,1))f([1,+))=[1,+)[0,+)=[0,+).
Λύση:
(i) Για x=y=0 η συναρτησιακή σχέση δίνει f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0) f(0)=0.
(ii) Για ν=0, έχουμε f(0·x)=0·f(x) f(0)=0, ισχύει.
Έστω ν≥1. Τότε έχουμε:
 














x)1ν(f)x(f)xν(f
...
)x2(f)x(f)x3(f
)x(f)x(f)x2(f
)x(f)x(f
     x)1ν(f...)x3(f)x2(f)x(f...)x(f)xν(fx)1ν(f...)x3(f)x2(f)x(f
ροιό1ν


  
Άρα f(ν·x)=(v+1)·f(x)f(x) f(ν·x)=v·f(x).
(iii) (Για την υπενθύμιση του ορισμού της περιττής συνάρτησης, βλέπε και
στην επόμενη ενότητα).
Παράδειγμα 1.5: Δίνεται συνάρτηση f:RR, για την οποία ισχύει ότι
f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,yR. Να δείξετε ότι:
(i) f(0)=0.
(ii) f(ν·x)=v·f(x) για κάθε φυσικό αριθμό ν.
(iii) Η f είναι περιττή.

17. 16 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
 Για κάθε xR, προφανώς ισχύει και ότι xR.
 Για y= x, η συναρτησιακή σχέση δίνει ότι f(xx)=f(x)+f(x)
f(0)= f(x)+f(x) 0=f(x)+f(x) f(x)= f(x).
Επομένως η συνάρτηση f είναι περιττή.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.1) Να συγκρίνετε τον ορισμό της συνάρτησης όπως δόθηκε στην 1η
ενότητα και όπως δίνεται στα σχολικά βιβλία της κατεύθυνσης και της
γενικής παιδείας (ομοιότητες-διαφορές).
1.2) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο








10x4,1x
4x,3x2
)x(f
2
. Να
βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές
f(3), f(4) και f(10).
1.3) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων και
κατόπιν να γράψετε τον τύπο τους σε απλούστερη μορφή όπου αυτό είναι
δυνατό:
i)
3x4x
1x
)x(f 2


 ii) 5
x2x2)x(g 
iii) 23
34
xx
xx
)x(h


 iv)
9x
3x
)x(ω 2



v) xxx)x(f 2
2  vi) )1xln()x(f 2
3

vii)
2
x
εφ)x(f4  viii)
xσφ
1
)x(f5

1.4) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
i) x
)1x()x(f  ii) x2
)x1()x(g 
iii) )1xxln()x(h 2


18. ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 17
1.5) Έστω η συνάρτηση με τύπο
1xxx
3x2
)x(f 23


 . Να βρείτε το
πεδίο ορισμού της συνάρτησης και ύστερα να λύσετε την ανίσωση
f(x)<0.
1.6) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο
1x2)x(f  .
1.7) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
xσυν21
5
)x(f

 . Να βρείτε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές f(0), f(π) και )
2
π
(f .
1.8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
xημ1
x
)x(f

 . Να βρείτε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης και να λύσετε την εξίσωση f(x)=2x.
1.9) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 








x3
1x
ln)x(f . Να βρείτε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης f.
1.10) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
6e5e
1x
)x(f xx2


 . Να βρείτε το
πεδίο ορισμού της και να λύσετε την ανίσωση f(x)>0.
1.11) Έστω συνάρτηση f. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>0, όταν:
i) 3x4x)x(f 2
 ii)
x1
x1
)x(f


 iii) 1e)x(f x
 .
1.12) Να γράψετε τους τύπους των παρακάτω συναρτήσεων χωρίς
απόλυτα:
i) 2x2x)x(f  ii) 1xxx4)x(g 22

iii)
9x
3xx3x
)x(h 2
2


 iv)
x2
x2
)x(L




19. 18 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
v)
xx
1
)x(φ 2

 vi)
1516x
1
)x(ω 2


vii) ,
2
xημxημ
)x(m

 x[0,2π].
1.13) Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων:
i) f(x)=2x4 ii)
2x
1x4
)x(f


 iii)
1xx
1xx
)x(f 2
2



iv)
1x
3x2
)x(f 2
2


 v)
x
1
x)x(f  vi) 2x3)x(f 
vii) )1x2ln(23)x(f  .
1.14) Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει
3f(x)2f(1x)=5x3
6x2
+6x, για κάθε xR. Να βρείτε τον τύπο της
συνάρτησης f.
1.15) Έστω η συνάρτηση f:R*
IR, για την οποία ισχύει
x
x
1
f3)x(f 





 για κάθε xR*
. Να βρείτε τη συνάρτηση f.
1.16) Έστω η συνάρτηση f: (0,+)R για την οποία ισχύει
f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x, y >0. Να αποδείξετε ότι:
i) f(1)=0
ii) 






x
1
f)x(f για κάθε x>0
iii) )y(f)x(f
y
x
f 





για κάθε x, y >0.
iv) f(xν
)=νf(x) για κάθε νn.
v) )x(f
ν
1
)x(f ν
 για κάθε νn με ν≥2.

20. ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 19
1.17) Αν για τη συνάρτηση f:RR ισχύει f(x)≤x για κάθε xR και
επιπλέον ισχύει f(x+y)≤f(x)+f(y) για κάθε x, y R, να αποδείξετε ότι η f
είναι περιττή και έχει τύπο f(x)=x.
1.18) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το διάστημα
Α=[α,β] και σύνολο τιμών το f(A)=[α,β] που ικανοποιούν τη συνθήκη
yx)y(f)x(f  για κάθε x, y [α,β].

21. 20 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f με πεδίο
ορισμού το σύνολο Α={1,2,3} και τύπο
f(x)=100x (βλ. ενότητα 1η
) θα έχει ως
γράφημα το σύνολο Cf={(1,100),
(2,200), (3,300)}, δηλαδή η γραφική της
παράσταση αποτελείται από 3 μόνο
σημεία (βλ. διπλανό σχήμα)
Αν όμως έχουμε τη συνάρτηση g(x)=100x με
x[1,3], τότε η γραφική παράσταση θα
παριστάνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ, όπου
Α(1,100) και Γ(3,300):
Τέλος, η συνάρτηση h(x)=100x με xR θα
έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία που
ορίζουν τα σημεία Α(1,100) και Γ(3,300):
Ορισμός 1: Έστω μία συνάρτηση f :AR. Ως γραφική παράσταση
συνάρτησης ή γράφημα συνάρτησης ορίζουμε το σύνολο των σημείων
με συντεταγμένες τις μορφής (x,f(x)) για κάθε xA. Το σύνολο αυτό
συμβολίζεται με Cf. Άρα Cf={(x,f(x))/ xA}.


22. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 21
Παρατηρήσεις:
Α) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθορίζεται όχι μόνο από
τον τύπο της, αλλά και από το πεδίο ορισμού της, όπως είδαμε και
παραπάνω.
Β) Υπάρχουν καμπύλες που δεν είναι γραφικές παραστάσεις
συναρτήσεων, όπως είναι η περίπτωση του κύκλου:
Για τον ίδιο λόγο και οι κατακόρυφες ευθείες δεν αποτελούν γραφική
παράσταση συνάρτησης.
Γ) Το πεδίο ορισμού της Cf είναι
το σύνολο Α των τετμημένων των
σημείων της Cf. Για παράδειγμα,
στο διπλανό σχήμα το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης f είναι το
διάστημα [α,β].


23. 22 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Δ) Το σύνολο τιμών f(A) είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων
της Cf. Για παράδειγμα, στο
διπλανό σχήμα το πεδίο ορισμού
της συνάρτησης f είναι το
διάστημα (α,β] και το σύνολο
τιμών είναι το διάστημα
f(A)=(γ,δ]. (Παρατηρήστε ότι για
το σημείο Δ, ισχύει ότι ΔCf.)
Ε) Αν η τετμημένη ενός σημείου
της Cf είναι ίση με xo, τότε η
τεταγμένη θα είναι ίση με f(xo).
Οι συναρτήσεις f και f*1
Έστω η συνάρτηση f:AR.
(Α) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση:
f: A R
x  f(x)
Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α=[1,2] και
τύπο f(x)=x2
. Τότε η συνάρτηση f θα έχει επίσης πεδίο ορισμού το
διάστημα Α και τύπο (f)(x)= f(x) (f)(x)= x2
.
1
Οι συμβολισμοί f και ΙfI δηλώνουν ονόματα συναρτήσεων.


24. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 23
(Β) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση:
:f A R
x  )x(f
Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f(x)=x2
1, xR. Τότε η συνάρτηση
f θα έχει πεδίο ορισμού το Α=R και τύπο:








1x1,x1
1xή1x,1x
1x)x(f)x(f
2
2
2
.
Παρατηρήσεις:
(α) Η Cf είναι συμμετρική της
Cf ως προς τον άξονα x΄x:
(β) Η γραφική παράσταση της
f αποτελείται από όλα τα
σημεία της Cf που βρίσκονται
πάνω από τον άξονα x΄x και από
τα συμμετρικά σημεία, ως προς
τον άξονα x΄x, όταν αυτά
βρίσκονται κάτω από τον άξονα
αυτόν.

25. 24 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Μετατόπιση Συνάρτησης.
(α) Κατακόρυφη Μετατόπιση
Έστω η συνάρτηση f:AR και η
συνάρτηση g:AR με τύπο
g(x)=f(x)+c. Τότε η Cg
προκύπτει από τη Cf με
μετατόπιση της τελευταίας κατά
c μονάδες προς τα πάνω αν c>0 ή
κατά c μονάδες προς τα κάτω αν
c<0.
(β) Οριζόντια Μετατόπιση
Έστω f:AR και η
συνάρτηση g της οποίας το
γράφημα Cg προκύπτει από
το Cf με μετατόπιση του
τελευταίου κατά c μονάδες
προς τα δεξιά (c>0).
Όπως βλέπουμε, ισχύει η συνθήκη g(x+c)=f(x) (1). Αν στην ισότητα (1)
θέσουμε όπου x το xc, τότε προκύπτει ότι g(x)=f(xc) (2).
Συμπεράσματα:
 Αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε σχέση
με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά,
τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g(x)=f(xc).
 Όμοια, αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε
σχέση με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα
αριστερά, τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g(x)=f(x+c).


26. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 25
Έστω Β το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου το γράφημα Cg
προκύπτει από το Cf με μετατόπιση του τελευταίου κατά c μονάδες προς
τα δεξιά. Από την ισότητα (2) προκύπτει ότι xB αν και μόνο αν xcA.
Άρα το πεδίο ορισμού Β είναι το σύνολο Β={xR/xcA}.
ΆρτιεςΠεριττές συναρτήσεις.
(α) Άρτιες Συναρτήσεις:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι
άρτια αν και μόνο αν το γράφημά
της είναι συμμετρικό ως προς τον
άξονα y΄y.
Όπως φαίνεται και στο σχήμα, μία συνάρτηση f είναι άρτια αν και μόνο
αν
 Για κάθε xA, τότε xA, όπου Α είναι το πεδίο ορισμού της
συνάρτησης f.
 Ισχύει ότι f(x)=f(x) για κάθε xA.
Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση
x
1
)x(f  , με Df=R*
=(,0)(0,+).
Τότε για κάθε xA, ισχύει xA και επιπλέον )x(f
x
1
x
1
)x(f 

 .
Άρα η f είναι άρτια.

27. 26 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(β) Περιττές Συναρτήσεις:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι
περιττή αν και μόνο αν το γράφημά
της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή
Ο των αξόνων.
Όπως βλέπουμε και στο σχήμα, μία
συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα
σύνολο Α είναι περιττή αν και μόνο αν:
 Για κάθε xA, ισχύει xA.
 Ισχύει ότι f(x)= f(x) για κάθε xA.
Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση
x
1
)x(f  , με Df=R*
=(,0)(0,+).
Τότε για κάθε xA, ισχύει xA και επιπλέον
)x(f
x
1
x
1
)x(f 

 . Άρα η f είναι περιττή.
Περιοδικές Συναρτήσεις
Η έννοια της περιοδικότητας σχετίζεται με την επανάληψη. Για
παράδειγμα, η περιοδικότητα ενός φυσικού φαινομένου έγκειται στην
επανάληψή του μετά από ένα σταθερό χρονικό διάστημα. Στις
συναρτήσεις, η περιοδικότητα αναφέρεται στην επανάληψη ενός
γραφήματος μετά από Τ μονάδες στον οριζόντιο άξονα είτε προς τα δεξιά
είτε προς τα αριστερά:

28. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 27
Όπως βλέπουμε και από το παραπάνω σχήμα, μπορούμε να οδηγηθούμε
στον ακόλουθο τυπικό ορισμό:
Ορισμός: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι
είναι περιοδική όταν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ, τέτοιος ώστε
να ισχύει: (α) Για κάθε xA, τότε xTA και (β) ισχύει ότι
f(x)=f(x+T)=f(xT) για κάθε xA.
Ο αριθμός Τ λέγεται (μία) περίοδος της συνάρτησης f. Αν υπάρχει
ελάχιστος αριθμός Το με τις παραπάνω ιδιότητες, τότε ο αριθμός αυτός
λέγεται ελάχιστη ή πρωτεύουσα περίοδος της συνάρτησης f.
Παρατηρήσεις:
Μπορεί να αποδειχθεί ότι:
 Αν Τ είναι μία περίοδος της συνάρτησης f, τότε και ο αριθμός νΤ
είναι επίσης μία περίοδος της συνάρτησης f, όπου νn*
.
 Αν υπάρχει αριθμός To, ώστε να είναι η ελάχιστη περίοδος μίας
συνάρτησης f, τότε κάθε άλλη περίοδος Τ της συνάρτησης f θα
είναι αναγκαστικά φυσικό πολλαπλάσιο του αριθμού Το, δηλαδή
θα ισχύει ότι Τ=νΤο για κάποιο νn*
.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=ημx με xR έχει περιόδους τους
αριθμούς 2π, 4π, 6π κ.τ.λ., με ελάχιστη περίοδο τον αριθμό Το=2π.
Γραφικές Παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων.
A) Ευθεία f(x)=αx+β:

29. 28 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Β) Παραβολές:
Γ) Η γενική μορφή της κατακόρυφης παραβολής:
Στα παρακάτω σχήματα, φαίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής
y=αx2
+βx+γ, με α0 για τις διάφορες τιμές του συντελεστή α και της
διακρίνουσας Δ:

30. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 29
Τα σημεία τομής με τον x΄x, αν υπάρχουν, είναι οι ρίζες της παραβολής
αx2
+βx+γ οι οποίες βέβαια είναι οι αριθμοί
α2
Δβ
x 2,1

 , ενώ η
κορυφή Κ της παραβολής έχει συντεταγμένες 






α4
Δ
,
α2
β
K .
Δ) Η συνάρτηση f(x)=α·x3
, α0.

31. 30 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ε) Η συνάρτηση x)x(f  και x)x(f  .
Η συνάρτηση xy  έχει ως γραφική παράσταση μέρος παραβολής,
διότι x
2
1
2yxyxy 22
 με y≥0 και άρα είναι το θετικό
μέρος της παραβολής με εστία )0,
4
1
(E και διευθετούσα
4
1
x  .
ΣΤ) Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

32. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 31
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=σφx προέρχεται από τη
γραφική παράσταση της y=εφx με μετατόπισή της κατά
2
π
μονάδες προς
τα δεξιά και ανάκλαση ως προς τον άξονα x΄x, διότι













2
π
xεφx
2
π
εφ)x(σφ .
Ζ) Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις:

33. 32 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παραδείγματα:
Λύση: Έστω η συνάρτηση x)x(g  . Τότε f(x)=g(x1). Άρα η Cf
προκύπτει από τη Cg με μετατόπιση της τελευταίας κατά μία μονάδα
προς τα δεξιά:
Λύση: Πρώτα θα γράψουμε τον τύπο της συνάρτηση χωρίς απόλυτα:
Παράδειγμα 2.1: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης
1x)x(f  .
Παράδειγμα 2.2: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης
x2x)x(f  .

34. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 33
 x2>0x>2
 x2=0x=2
 Άρα για x(,0), τότε f(x)= (x2)x= 2x+2.
 Για x[0,2], τότε f(x)= (x2)+x= x+2+x=2.
 Για x(2,+), τότε f(x)= x2+x=2x2.
Άρα  









2x,2x2
2x0,2
0x,2x2
xf .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
φαίνεται στο διπλανό σχήμα:
Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α΄ τα οποία είναι σημεία μίας
καμπύλης Cf και τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία x=c:
Παράδειγμα 2.3:
(α) Να γενικευτεί η συνθήκη, ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να
έχει άξονα συμμετρίας μία τυχαία κατακόρυφη ευθεία x=c.
(β) Να αποδειχτεί ότι η κατακόρυφη ευθεία x=1 είναι άξονας
συμμετρίας της καμπύλης της συνάρτησης του προηγούμενου
παραδείγματος.

35. 34 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, αν x>0 και το σημείο
Α(c+x, f(c+x))Cf, τότε και το σημείο Α΄(cx, f(cx))Cf. Τα δύο
σημεία πρέπει να έχουν ίσες τεταγμένες, δηλαδή f(c+x)=f(cx).
Γενικά μία συνάρτηση f:AR έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x=c αν
και μόνο αν:
(i) Για κάθε x>0 με c+xA, τότε cxA και
(ii) f(c+x)=f(cx) για κάθε x>0 με c+xA.
(β) Έστω x>0. Τότε (i) 1xR και
(ii)   1x1xx11xx12x1x1f  .
Ακόμη   1x1xx12x1x1f  .
Άρα f(1x)=f(1+x) για κάθε x>0 με 1+xR, δηλαδή η Cf έχει άξονα
συμμετρίας την ευθεία x=1.
Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α΄ τα οποία είναι σημεία μίας
καμπύλης Cf και τα οποία έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(xo,yo).
Παράδειγμα 2.4:
(α) Να γενικευτεί η συνθήκη, ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να
έχει κέντρο συμμετρίας ένα τυχαίο σημείο Γ(xo,yo).
(β) Να αποδειχτεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο
2
1x
1
)x(f 

 έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(1,2).

36. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 35
Επειδή το σημείο Γ είναι μέσο του
ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ΄, έπεται
ότι :
(i) xx2xx
2
xx
oo 

και
(ii)


)x(fy2)xx2(f)x(fy2)x(fy
2
)x(f)x(f
oooo
oo y2)xx2(f)x(f  .
Γενικά μία συνάρτηση f:AR έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(xo,yo)
αν και μόνο αν:
 Για κάθε xA, τότε 2xoxA και
 f(x)+f(2xox)=2yo για κάθε xA.
(β) (α΄ τρόπος):
Σύμφωνα και με το προηγούμενο ερώτημα παρατηρούμε τα εξής:
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Α=R{1}. Έστω
xA. Τότε x1. Επιπλέον x2x12xx2
1x
o
o


. Επομένως έχουμε:
1x212x21x1x  . δηλαδή 2xA. Άρα:
 Για κάθε xA, τότε 2xA και
 Για κάθε xA, έχουμε ότι:
.2yπουό,y22244
1x
1
1x
1
4
x1
1
1x
1
2
1x2
1
2
1x
1
)x2(f)x(f
oo 













Επομένως η Cf έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(1,2).
(β΄ τρόπος):
Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο
x
1
)x(g  , η οποία έχει κέντρο
συμμετρίας το σημείο Ο(0,0). Επειδή f(x)=g(x1)+2, έπεται ότι η Cf

37. 36 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
προκύπτει από τη Cg με
μετατόπιση της τελευταίας
κατά μία μονάδα προς τα
δεξιά και δύο μονάδες προς
τα επάνω. Με τον ίδιο τρόπο
μετατοπίζεται και το κέντρο συμμετρίας και άρα η νέα θέση του έχει
συντεταγμένες (1,2).
Λύση: Αν Α είναι σημείο της Cf, τότε θα έχει συντεταγμένες της μορφής
Α( 2
oo x,x ). Θέτουμε επίσης y=x3 xy3=0. Η ελάχιστη απόσταση
ΑΒ αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση του σημείου Α από την ευθεία
ε: xy3=0, όπως φαίνεται και από το σχήμα παρακάτω:
Έχουμε
  2
3xx
2
3xx
11
3xx
)ε,A(dAB o
2
o
0Δo
2
o
22
2
oo 







. Δηλαδή
2
3xx
d o
2
o 
 . Η ελάχιστη τιμή της d αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιμή
Παράδειγμα 2.5: Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2
και η συνάρτηση
g(x)=x3. Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της Cf και Β μεταβλητό
σημείο της Cg, να υπολογιστεί η ελάχιστη απόσταση ΑΒ.

38. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 37
του αριθμητή, η οποία υπολογίζεται από τον τύπο
α4
Δ
 . Άρα
8
211
24
11
2
4
11
2
α4
Δ
dmin








 .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
2.1) Η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το
σύνολο Α φαίνεται στο διπλανό σχήμα:
i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και το
σύνολο τιμών f(A).
ii) Να γράψετε τις τιμές των f(3), f(0),
f(3), f(4) και f(5).
iii) Να γράψετε τον τύπο της
συνάρτησης, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η
καμπύλη της f για x(3,5) είναι μέρος (κατακόρυφης) παραβολής.
iv) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x)=1 και f(x)=3.
v) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x)≤0, f(x)≥3.
2.2) Έστω η συνάρτηση με τύπο f(x)=αln(x1)+β της οποίας η γραφική
παράσταση τέμνει τον x΄x στον αριθμό e+1 και επιπλέον διέρχεται από
το σημείο Α(2,3).
(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
(β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
(γ) Να βρείτε το σημείο της Cf με τεταγμένη 15.
2.3) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
(α) y=x2
2x+3 (β) y= x2
+4x (γ) y= x2
+5x4
(δ) y=(x+1)2
2 (ε) y=ex-1
+2 (στ) 1xy 3


39. 38 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(ζ)
2x
1
y


2.4) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i) x)x(f  , g(x)= f(x), h(x)=f(x),  xf)x(m  .
ii) x)x(f  , g(x)= f(x+1), h(x)=f(x)2.
iii) f(x)=lnx,
x
1
ln)x(g  , xln)x(h  , k(x)=ln(x),  xln)x(m  .
2.5) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων
και ύστερα να προσδιορίσετε από αυτή το σύνολο τιμών:
(α)








0x,xημ
0x,3e
)x(f
x
(β)








0x,x
0x,x
)x(g
2
(γ)
1x
2x
)x(h


 (δ) 2
x1)x(f  (ε) 2
x9
3
2
)x(g  (ζ)
2
x1)x(h 
2.6) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης που έχει την παρακάτω
γραφική παράσταση:

40. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 39
2.7) Έστω η συνάρτηση







περιττόςxαν,1
άρτιοςxαν,1
)x(f . Να αποδείξετε
ότι η f είναι περιοδική συνάρτηση και να χαράξετε τη γραφική της
παράσταση.
2.8) Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, σημεία τομής των αξόνων με τις
γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
(α)
x
4
x)x(f  (β)
3x
2x5x2
)x(f
2


 (γ)
3x
9x
)x(f
2



(δ)
x
2
x)x(f  (ε) xσυν22)x(f  (στ) f(x)=1ημx.
(ζ) 4xx)x(f 2
 (η) f(x)=9x
3x
12
2.9) Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των
συναρτήσεων:
(α) f(x)=(x1)2
και
x
2
)x(g  (β) f(x)=x2
και g(x)=4x2
(γ) f(x)=x3
και g(x)=x. (δ) 1x)x(f  και g(x)=3x
(ε) f(x)=lnx και g(x)=1x. Να λύσετε την ανίσωση lnx≤1x.
2.10) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη
βοήθεια της να βρείτε το σύνολο τιμών:
(α) 3xx)x(f  (β)










1x,x2
1x,
x
2
)x(f
2
(γ)
2
1x1x
ln)x(f



41. 40 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
2.11) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x, η Cf
βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x:
(α)
x1
x2
)x(f


 (β)
2xln
e1
)x(f 2
x


 (γ)
1x
6x17x11x2
)x(f
23



2.12) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x, η Cf
βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x:
(α) f(x)=(3x)(x2
x+1)(x3
4x+3) (β) f(x)=ln(x+1)1.
2.13) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων των οποίων η γραφική
παράσταση φαίνεται στα σχήματα παρακάτω:
(A) (B)
(Γ) (Δ)
2.14) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:
(α)
4x
xημx
)x(f 2
3


 (β) 2
4
x16
xx
)x(f




42. ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 41
(γ)








0x,xημx
0x,xημxx
)x(f
4
4
(δ)








1x,3x5x
1x,3x5x
)x(f
23
23
(ε)  2
x1xln)x(f 
2.15) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει
f(x+y)=f(x)+f(y). Να αποδείξετε ότι:
(α) f(0)=0 (β) Η f είναι περιττή.
2.16) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει ότι f(x)≠0 για
κάθε xR και επιπλέον f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y) για κάθε x, yR. Να
αποδείξετε ότι: (α) f(0)=1 και (β) η f είναι άρτια.
2.17) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει
xx
ee)x(f)x(f2 
 για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
και ύστερα να βρείτε τον τύπο της.
2.18) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει
f(x)+2f(x)=πημ(2x+π) για κάθε xR.
(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.
(γ) Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
2.19) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
fα(x)=(α1)x2
+αx2(α1), αR διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.
Ποια είναι η απόσταση αυτών των σημείων;
2.20) Δίνεται η συνάρτηση f:R*
R για την οποία ισχύει
8)x(f
x
1
x
1
f3 





για κάθε xR*
.
(α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
(β) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
(γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της από τη γραφική παράσταση.

43. 42 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
2.21) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2
και η συνάρτηση g(x)=x1. Να βρείτε
το σημείο ΜCf το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη Cg. Να
υπολογίσετε αυτή την απόσταση.
2.22) Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x και η συνάρτηση g(x)=2x+3. Να
βρείτε το σημείο ΜCf το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη
Cg. Να υπολογίσετε αυτή την απόσταση.
2.23) Έστω η συνάρτηση f(x)=x2
και ο κύκλος με εξίσωση
4
1
)1y(x 22
 . Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της Cf και Β μεταβλητό
σημείο που διατρέχει τον κύκλο, να βρείτε τις τετμημένες του σημείου Α
για τις οποίες η απόσταση ΑΒ γίνεται ελάχιστη. Να υπολογίσετε
επιπλέον την ελάχιστη απόσταση Α.

44. ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 43
ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Ισότητα Συναρτήσεων
Όπως έχουμε δει, μία πραγματική συνάρτηση καθορίζεται από δύο
παράγοντες: το πεδίο ορισμού και τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων
του πεδίου ορισμού στο σύνολο αφίξεως. Άρα οδηγούμαστε στον
παρακάτω ορισμό που μας επιτρέπει να ταυτίσουμε δύο συναρτήσεις:
Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f(x)=x2
5x+6 και
g(x)=x3
6x2
+11x6 με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α={2,3}. Εύκολα
παρατηρούμε ότι f(2)=g(2) και f(3)=g(3). Άρα ισχύει f(x)=g(x) για κάθε
xA και κατά συνέπεια ισχύει ότι f=g.
Αν Γ είναι ένα υποσύνολο των συνόλων Α και Β, κατά συνέπεια είναι
ΓΑΒ, και επιπλέον ισχύει ότι f(x)=g(x) για κάθε xΓ τότε θα λέμε ότι
οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο Γ (f=g στο Γ).
Για παράδειγμα έστω οι συναρτήσεις f(x)=x με Af=(2,2) και 2
x)x(g 
με Αg=R. Τότε για xΓ=[0,2) ισχύει ότι )x(fxxx)x(g
0x
2


. Άρα
f=g στο Γ.
Πράξεις Συναρτήσεων
Πριν μιλήσουμε για τις πράξεις δύο συναρτήσεων ας δούμε τι είναι στην
πραγματικότητα η πράξη δύο αριθμών. Η πρόσθεση, για παράδειγμα, δύο
αριθμών είναι η διαδικασία με την οποία επιλέγουμε δύο αριθμούς και
Ορισμός: Δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού Α και Β
αντίστοιχα είναι ίσες αν και μόνο αν:
 Α=Β
 και ισχύει f(x)=g(x) για κάθε xA(=B).
Τότε θα γράφουμε ότι f=g.



45. 44 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
παίρνουμε έναν τρίτο αριθμό. Πράγματι, αν επιλέξουμε τους αριθμούς 5
και 3, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8 (5+3=8). Έτσι λοιπόν και η πράξη
δύο συναρτήσεων συνιστά κατ’ αναλογία μία διαδικασία με την οποία
επιλέγουμε δύο συναρτήσεις και παίρνουμε μία τρίτη. Παρακάτω, θα
θεωρούμε δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού τα σύνολα Α και
Β αντίστοιχα με ΑΒ.
Η Πράξη της Πρόσθεσης:
Έστω η συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το σύνολο ΑΒ, ώστε να ισχύει:
h: AB  R
x  f(x)+g(x)
Τότε η h θα λέγεται πρόσθεση των f και g και θα συμβολίζεται ως f+g,
δηλαδή h=f+g.
Άλλες Πράξεις:
Όμοια ορίζονται οι συναρτήσεις-πράξεις:
(i) της αφαίρεσης :
fg: AB  R
x  f(x)g(x)
(ii) του πολλαπλασιασμού:
fg: AB  R
x  f(x)g(x)
(iii) της διαίρεσης:
g
f
: Γ  R
x 
)x(g
)x(f
όπου  0)x(g/BAxΓ  .
Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού δύνανται να
επεκταθούν και σε περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Αν για
παράδειγμα έχουμε ακόμα μία συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το Δ, τότε
ορίζεται η συνάρτηση:

46. ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 45
f+g+h: ABΔ  R
x  f(x)+g(x)+h(x)
Να τονίσουμε ότι οι συμβολισμοί f+g, fg κ.τ.λ. δηλώνουν ονόματα
συναρτήσεων.
Λύση: Η συνάρτηση
g
f
ορίζεται ως εξής:
g
f
: Γ  R
x 
)x(g
)x(f
όπου  0)x(g/BAxΓ  . Όμως ΑΒ=(2,6)(6,10) (γιατί;).
Ακόμη g(x)=0 x=2 ή x=3. Άρα Γ= ΑΒ{2,3}=(2,3)(3,6)(6,10).
Για κάθε xΓ, η συνάρτηση έχει τύπο:
 
3x
2x
)3x)(2x(
)2x)(2x(
6x5x
4x
)x(g
)x(f
x
g
f
2
2














.
Η Πράξη της Σύνθεσης Συναρτήσεων:
Ας θεωρήσουμε την
διαδοχική αντιστοιχία μεταξύ
τριών συνόλων Α, Β και Γ η
οποία επιτυγχάνεται με τη
βοήθεια δύο συναρτήσεων
f και g (βλ. διπλανό σχήμα):
Παράδειγμα 3.1: Έστω οι συναρτήσεις f(x)=x2
4 με πεδίο ορισμού
το Α=(2,10) και g(x)=x2
5x+6 με πεδίο ορισμού το Β= R {6}. Να
οριστεί η συνάρτηση
g
f
.

47. 46 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Η f έχει πεδίο ορισμού το Df=A={1,2,3,4}. Η g έχει πεδίο ορισμού το
σύνολο Dg={100,200,241, 500}.
Βλέπουμε ότι 51001
gf
 και 102002
gf
 . Άρα με τη
βοήθεια των f , g ο αριθμός 1 μπορεί να αντιστοιχηθεί στο 5 και ο
αριθμός 2 στο 10. Με αυτό τον τρόπο φτιάχνουμε μία νέα συνάρτηση
που ονομάζεται gof:
Παρατηρούμε ότι (gof)(1)=5,
αλλά και g(100)=5g(f(1))=5.
Άρα (gof)(1)= g(f(1)).
Γενικότερα ισχύει ότι (gof)(x)= g(f(x)) για κάποιες τιμές του xDf, όχι
κατ’ ανάγκη όλες. Η συνάρτηση gof διαβάζεται σύνθεση της f με τη g και
μάλιστα παίζει ρόλο η σειρά με την οποία αναφέρουμε τις συναρτήσεις.
Πρώτη αναφέρουμε εκείνη τη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού
δίνει τιμές στο x. Για παράδειγμα όταν αναφερόμαστε στη gof, ισχύει ότι
DgofDf. Όμοια ισχύει ότι DfogDg.
Στο προηγούμενο παράδειγμα, βλέπουμε ότι μόνο οι αριθμοί 1 και 2
έχουν αντιστοιχία με στοιχεία του Β (δηλαδή τους αριθμούς 100 και 200)
τα οποία με τη σειρά τους μπορούν να αντιστοιχηθούν στο Γ. Δηλαδή
από το πεδίο ορισμού της f παίρνουμε μόνο αυτά τα x για τα οποία ισχύει
ότι τα αντίστοιχα f(x) ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g.
Άρα Dgof={xDf / f(x)Dg}.
Ας δούμε τώρα την παρακάτω αντιστοιχία:

48. ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 47
Σε αυτή την αντιστοιχία βλέπουμε ότι κανένα στοιχείο του Α δεν μπορεί
να αντιστοιχηθεί με τη βοήθεια των f και g στους αριθμούς 150 και 248
του Γ, διότι το σύνολο τιμών της f δεν έχει κανένα κοινό στοιχείο με το
πεδίο ορισμού της g.
Για να ορίζεται η gof πρέπει να ισχύει ότι f(Df)Dg≠.
Στη σύνθεση gof, η f θα λέγεται εσωτερική συνάρτηση και η g
εξωτερική συνάρτηση.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Λύση:
Είναι Df= R*
και Dg=(0,+)
 Εύρεση της gof: Για το πεδίο ορισμού της gof θα πρέπει να ισχύουν
οι περιορισμοί: (xDf και f(x) Dg)  (x≠0 και 0
x
1
 )  x>0. Άρα

Παράδειγμα 3.2: Δίνονται οι συναρτήσεις
x
1
)x(f  και g(x)=lnx.
Να εξεταστεί αν ισχύει η ισότητα gof=fog.

49. 48 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Dgof=(0,+). H gof έχει τύπο
  xln
x
1
ln
x
1
g)x(fg)x)(gof( 





 .
 Εύρεση της fog: Για το πεδίο ορισμού της fog θα πρέπει να ισχύουν
οι περιορισμοί: (xDg και g(x)Df)  (x>0 και lnx≠0) 
(x>0 και x≠1). Άρα Dfog=(0,1)(1,+). Αφού Dgof≠ Dfog, τότε έπεται
ότι (fog)≠(gof). H fog έχει τύπο  
xln
1
xlnf))x(g(f)x)(fog(  .
Ως γενικό συμπέρασμα μπορούμε να πούμε ότι στην πράξη της σύνθεσης
δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Ισχύει όμως η προσεταιριστική
ιδιότητα, δηλαδή fo(goh)=(fog)oh.
Λύση: Θέτουμε u=x2
+1≥1x2
=u1. Επίσης, η u έχει σύνολο τιμών το
[1,+). Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:
(f(x2
+1)=x2
1 για κάθε xR)  (f(u)=u2 για κάθε u≥1).
Άρα μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη (1) είναι η f(x)=x2 με
x≥1.
Να τονίσουμε ωστόσο ότι η f δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα κάθε
συνάρτηση f1 της μορφής:




 

B,)x(g
),1[x,2x
)x(f1 , όπου g είναι
μία τυχαία συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο Β(,1), ικανοποιεί
επίσης τη συνθήκη (1). Πράγματι: 1x2)1x()1x(f 22
11x
2
1
2
 

.
Άρα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη (1).
Παράδειγμα 3.3: Να βρεθεί συνάρτηση f, ώστε να ισχύει
f(x2
+1)=x2
1, xR (1).


50. ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49
Λύση: Έχουμε  1x)x(f1x)x(f1x)x(f 22222
1x)x(fή1x)x(f 22
 .
(Το αποτέλεσμα της προηγούμενης γραμμής δεν πρέπει να μας οδηγεί στο
λανθασμένο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση f έχει δύο δυνατούς τύπους
μόνο.
Αυτό που δηλώνει η παράσταση
« 1x)x(fή1x)x(f 22
 »
είναι δύο δυνατές αντιστοιχίες που μπορεί
να έχει η ανεξάρτητη μεταβλητή x:
1xxή1xx 22
 . Αυτή η
διπλή δυνατότητα αντιστοιχίας μπορεί να
ενυπάρχει συγχρόνως στην ίδια συνάρτηση,
όπως φαίνεται και στο διπλανό
βελοδιάγραμμα.)
Επομένως υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f που ικανοποιούν τη συνθήκη
1x)x(f 22
  xR και οι οποίες έχουν τύπο της γενικής μορφής:







Bx,1x
Ax,1x
)x(f 2
2
, με AB= και ΑΒ=R.
(Για παράδειγμα δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη
1x)x(f 22
  xR είναι οι εξής:
Παράδειγμα 3.4: Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει
1x)x(f 22
 για κάθε xR.
(α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που
ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη.
(β) Να γραφτεί ο τύπος της συνάρτησης f αν είναι γνωστό ότι ισχύει
η ισοδυναμία f(x)>0 x1.

51. 50 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ







),2()1,(x,1x
]2,1[x,1x
)x(f 2
2
1 και
1x
Οx,1x
x,1x
)x(f 2
2
2
2 








π
, xR.)
(β) Επειδή ισχύει 01x2
  xR και 01x2
  xR, έπεται
ότι f(x)0 και από υπόθεση προκύπτει ότι για x1
1x)x(f0)x(f 2
 . Επίσης, από υπόθεση προκύπτει ότι f(1)<0,
δηλαδή ότι 211)1(f 2
 . Επομένως έχουμε ότι







1xαν,2
1xαν,1x
)x(f
2
.
Λύση: (i) Θέτουμε u=g(x) (την εσωτερική συνάρτηση). Τότε έχουμε
3ux3xu  . Επειδή (fog)(x)=f(g(x)) και επειδή η u=g(x)=x3
έχει σύνολο τιμών το R, έπεται ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της f θα
δέχεται ως τιμές οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, δηλαδή θα ισχύει ότι
Df=R.
Επίσης έχουμε:   16x11x2)x(gf16x11x2)x)(fog( 22

  1uu2)u(f...16)3u(11)3u(2uf 22
u)x(g
3ux



.
Επομένως βρήκαμε μοναδική συνάρτηση, την 1xx2)x(f 2
 , xR.
Παράδειγμα 3.5: Να βρεθεί συνάρτηση f, ώστε να ισχύει:
(i) (fog)(x)=2x2
11x+16 xR, με g(x)=x3.
(ii) (fog)(x)=x+5 x≥0 με g(x)=√ .

52. ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 51
(ii) Θέτουμε u=g(x) (την εσωτερική συνάρτηση). Τότε έχουμε
2
uxxu  , u≥0. Το σύνολο τιμών της u=g(x) είναι το σύνολο
[0,+). Τότε για u=g(x)≥0, έχουμε ότι :
  5u)u(f5x)x(gf5x)x)(fog( 2
u)x(g
ux 2
 


για κάθε u≥0.
Επειδή το σύνολο τιμών της εσωτερικής συνάρτησης u=g(x) είναι το
[0,+) και όχι το R, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αυτό σημαίνει
ότι η f μπορεί να οριστεί ελεύθερα και για τις υπόλοιπες τιμές στο
διάστημα (,0). Στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f
που ικανοποιούν τη συνθήκη της εκφώνησης και όλες αυτές έχουν τύπο
της γενικής μορφής






Bxαν,)x(h
0xαν,5x
)x(f
2
, όπου h(x) μία
οποιαδήποτε συνάρτηση που μπορεί να οριστεί σε σύνολο Β με
B(,0).
(Για παράδειγμα αν λάβουμε υπόψη τις συναρτήσεις:






0xαν,x
0xαν,5x
)x(f
2
1 ,







1x10αν,
x
1
0xαν,5x
)x(f
2
2 και













8x100,
x
1
1x2,x1
0x,5x
)x(f
2
3 ,τότε για όλες αυτές τις συναρτήσεις
ισχύει η συνθήκη της εκφώνησης.)

53. 52 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
3.1) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει f=g.
Στην περίπτωση που ισχύει f≠g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο
υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει f(x)=g(x):
i)   2
xxf  και    2
xxg  ii)
xx
1x
)x(f 2
2


 και
x
1
1)x(g 
iii)
1x
1x
)x(f


 και   1xxg 
iv)  
x2x
2
xf

 και x2x)x(g 
v)    1xlnxf  και    1xlnxg 
vi)   xxxf  και     1x1xxg
2

vii)  
4x
x2x
xf 2
2


 και  
2x
x
xg


viii) f(x)=ημ2
x και g(x)=συν(π2x)
3.2) Να βρείτε τις συναρτήσεις f+g, fg,
g
f
:
i)  
1x
1x
xf 3
2


 και  
x1
1xx
xg
2



ii)  
x3
x
xf

 και  
9x
x26
xg 2



iii)  
12x
1
xf

 και  
2x3x
1
xg 2



iv)








4x0,x21
0x,x1
)x(f και








2x,0
2x3,x2
)x(g
3.3) Να ορίσετε τις συναρτήσεις fog και gof στις παρακάτω περιπτώσεις:

54. ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 53
i)   2xxf  και   2xxg 
ii) 2x)x(f 2
 και
3x
1
)x(g


iii) f(x)=2x1 και 2
x1)x(g 
iv)
x
1
)x(f  και
1x
x
)x(g


v)  








0x,4x
0x,3x
xf και  








1x,x1
1x,x2
xg (μόνο τη gof)
3.4) Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων
συναρτήσεων:
i) f(x)=ημ(x2
2) ii) f(x)= 3συν2
(5x)+4 iii) f(x)=ln(εφ(2x+1)))
iv) f(x)= xx
με x>0 v)   1xxf 2
 vi) 1x5x2
5)x(f 

3.5) Δίνεται η συνάρτηση f:RR και οι συναρτήσεις
  ))x(f)x(f(
2
1
xg  ,   ))x(f)x(f(
2
1
xh  , xIR.
α) Να δείξετε ότι η g είναι άρτια και η h περιττή.
β) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται ως άθροισμα μίας άρτιας και μίας
περιττής συνάρτησης.
3.6) Έστω οι συναρτήσεις f:AR και g:BR, ώστε f(A)B≠.
α) Να δείξετε ότι αν η f είναι άρτια, τότε και η gof είναι άρτια.
β) Να δείξετε ότι αν η f είναι περιττή και η g άρτια, τότε η gof είναι
επίσης άρτια.
3.7) Αν για τη συνάρτηση f:RR ισχύει ότι fog=gof για κάθε σταθερή
συνάρτηση g, τότε ισχύει ότι f(x)=x για κάθε xR.

55. 54 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
3.8) Έστω η συνάρτηση f:RR και α, β δύο σταθεροί αριθμοί. Αν για
κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει (fog)(x)=α(gof)(x)+β, τότε να
αποδείξετε ότι f(x)=αx+β.
3.9) Αν x)x(f  , τότε να βρείτε τη συνάρτηση    
θοςήπλτον
f...fff .
3.10) Έστω οι συναρτήσεις f, g και φ που έχουν πεδίο ορισμού το Α=R.
Αν ισχύει ότι fog=goφ=Ι όπου Ι(x)=x για κάθε xR (ταυτοτική
συνάρτηση), τότε να δείξετε ότι f=φ.
3.11) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει (fof)(x)=4x3
και (fofof)(x)=8x+λ για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι 7λ  και να
προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης f.
3.12) Δίνεται η συνάρτηση g(x)=x2
+αx+β, xR και μία συνάρτηση
f:RR για την οποία ισχύει (i) fog=gof και (ii) ισχύει η ισοδυναμία
f(x)=x x=ξ
(α) Να δείξετε ότι (α1)2
≥4β.
(β) Αν επιπλέον ισχύει η ισοδυναμία f(x)=ξ x=ξ, τότε να δείξετε ότι
(α1)2
=4β.
3.13) Έστω συνάρτηση f:RR και αριθμός αR*
, ώστε να ισχύει
(fof)(x)=f(x)+αx για κάθε xR. Να βρείτε την τιμή f(0).
3.14) Να βρείτε συνάρτηση f ώστε να ισχύει:
(i) (fog)(x)=3x2
2x+1 για κάθε xR, με g(x)=x2.
(ii) 2
x1)x)(fog(  για κάθε xR, με g(x)= x2
.

56. ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 55
(iii) xημ)x)(gof(  για κάθε xR, με 2
x1)x(g  .
(iv) f(ex
)=3x2
2x+4 για κάθε xR.
(v) f(5+lnx)=x2
2lnx+1 για κάθε x>0.
(vi)
x2
x2
)x)(fog(


 για κάθε x>0 με x≠2 και g(x)=lnx.
Σε κάθε περίπτωση, να εξετάσετε αν η f είναι μοναδική.
3.15) (i) Έστω δύο συναρτήσεις g και h με κοινό πεδίο ορισμού Α, ώστε
η g να είναι άρτια, ενώ η h να μην είναι. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει
συνάρτηση f, τέτοια ώστε (fog)(x)=h(x).
(ii) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f, ώστε να ισχύει f(x2
+1)=x1
για κάθε xR.

57. 56 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
(ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ)
A) Μονοτονία Συνάρτησης:
Ορισμός: Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι γνησίως αύξουσα (αντ. γν.
φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, όταν για κάθε x1, x2Δ με x1<x2 να
ισχύει ότι f(x1)<f(x2) (αντ. f(x1)>f(x2)). Αν η συνάρτηση f είναι
γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε γράφουμε «f<Δ» και
αντίστοιχα αν f γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ , τότε θα
γράφουμε «f2Δ».
Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε
ένα διάστημα Δ, τότε θα λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

σχ.1

58. ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57
Επεκτάσεις του ορισμού:
 Η έννοια της γνησίως μονότονης ή γνησίως φθίνουσας συνάρτησης
δύναται να επεκταθεί και σε σύνολα που δεν είναι διαστήματα.
 Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο Α και ισχύει ότι για κάθε x1, x2Α με
x1<x2 ισχύει ότι f(x1)≤f(x2), τότε θα λέμε ότι η f είναι αύξουσα στο Α
και θα γράφουμε «f↗Α». Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και η φθίνουσα
συνάρτηση στο Α και σε αυτή την περίπτωση γράφουμε «f↘A».
Β) Ακρότατα Συνάρτησης:
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Τότε θα
λέμε ότι η f:
 παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο xoA, το f(xo), όταν f(x)≤f(xo)
xA (σχ. 3). Το xo λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(xo) λέγεται
μέγιστη τιμή.
 παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο xoA, το f(xo), όταν f(x)≥f(xo)
xA (σχ. 4). Το xo λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(xo) λέγεται
μέγιστη τιμή.


σχ.2

59. 58 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παραδείγματα:
σχ.3
σχ.4
Παράδειγμα 4.1: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση με τύπο








0x,x1
0x,e
)x(f
2
x
.

60. ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59
Λύση:
 Για  )x(f)x(fee0xx 21
xx
21
21
f<(,0).
 Για
 )x(f)x(fx1x1xxxxxx0 21
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
121
f2[0,+).
Ως προς τα ακρότατα, παρατηρούμε
πρωτίστως ότι f(0)=102
=1.
 Για x<0ex
<e0
ex
<1f(x)<f(0).
 Για
x≥0x2
≥0x2
≤01x2
≤1f(x)≤f(0).
Άρα xR, ισχύει ότι f(x)≤f(0). Ο αριθμός
xo=0 είναι θέση μεγίστου και η μέγιστη τιμή
ισούται με f(0)=1.
Λύση: Γνωρίζουμε ότι στο διάστημα [0,π] η συνάρτηση είναι γνησίως
φθίνουσα, ενώ στο [π,2π] είναι γνησίως αύξουσα. Η f όμως είναι
περιοδική με περίοδο Τ=2π. Άρα σε κάθε διάστημα της μορφής
[κ2π+0,κ2π+π], όπου κZ η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ
σε κάθε διάστημα της μορφής [κ2π+π,κ2π+2π]= [2κπ+π,2π(κ+1)], όπου
κZ η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Παράδειγμα 4.2: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=συνx, x R.

61. 60 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Στο [0,2π] η f παρουσιάζει μέγιστο στους αριθμούς x1=0 και x2=2π. Άρα
λόγω της περιοδικότητας η f θα παρουσιάζει μέγιστο σε κάθε αριθμό
x=κ2π (μορφή 1) και σε κάθε αριθμό x=κ2π+2π=2π(κ+1) (μορφή 2),
κZ. Όμως στη δεύτερη μορφή αν θέσουμε λ=κ+1, τότε η ισότητα
ανάγεται στη μορφή x=λ2π. Όταν το κ διατρέχει όλο το Z, τότε και ο λ
διατρέχει επίσης το όλο το Z. Δηλαδή, οι μορφές 1 και 2 είναι
ισοδύναμες και επομένως χρησιμοποιούμε μόνο τη μία από τις δύο. Άρα
κάθε αριθμός της μορφής xo=κ2π, κZ είναι θέση μεγίστου και η
μέγιστη τιμή ισούται με f(xo)=συν(κ2π)=συν(κ2π+0)=συν0=1.
Στο [0,2π] η f παρουσιάζει ελάχιστο στον αριθμό xo=π το οποίο ισούται
με 10συν)0π(συνσυνπ  . Λόγω της περιοδικότητας, κάθε
αριθμός της μορφής x=κ2π+π, κZ είναι επίσης θέση ελαχίστου.
Λύση: Για x1, x2 R με x1<x2
x1
5
<x2
5
f(x1)<f(x2). Άρα f< R. Κατά
συνέπεια η f δεν έχει ακρότατα στο R.
Παράδειγμα 4.3: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=x5
, x R.

62. ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 61
Λύση: Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι f<[1,3]. Για
.27)x(f1)3(f)x(f)1(f3x1
.ξύα.γνf

Η f παρουσιάζει ελάχιστο για x=1 την τιμή
f(1)=1 και μέγιστο για x=3 την τιμή f(3)=27.
Λόγω μονοτονίας, οι θέσεις ακροτάτων είναι
και μοναδικές. Παρατηρούμε από τα δύο
τελευταία παραδείγματα ότι τα ακρότατα
εξαρτώνται όχι μόνο από τον τύπο της συνάρτησης, αλλά και από το
πεδίο ορισμού της.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
4.1) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:
(i) x21x31)x(f  (ii) f(x)=3ln(x1)4
(iii) x2
4
1
)x(f
x






 (iv)
x2
1
x)x(f 5
 , x>0
(v) 2e4)x(f x5
 
(vi) f(x)=(x3)2
+1
(vii) f(x)=5x+λ(1x), λR
4.2) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο









1x,2x3
1x0,1
0x,1x3
)x(f .
(α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (,0],
(0,1) και [1,+).
(β) Να εξετάσετε τη μονοτονία της f στο R.
Παράδειγμα 4.4: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=x3
, x[1,3].

63. 62 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
4.3) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο













2x,
x
1
2x0,1x
0x,x
)x(f
2
2
.
(α) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (,0],
(0,2] και (2,+).
(β) Είναι η συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο R;
4.4) Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα
(θέση και τιμή):
(i) 7x43)x(f  (ii) 2x52)x(f  (iii) f(x)=(x3)2016
1
(iv) f(x)=ln(x2)+1 (v) f(x)=3ημx4 (vi) f(x)=(x4)2015
+2
(vii) 21x3)x(f  (viii)












1x,1x2
1x0,1
0x,1x2
)x(f
(ix)












3x1,1x2
1x0,1
0x5,1x2
)x(f
(x)










2x1,1x
2
1
1x0,3)1x(
)x(f
2
2
Επιπλέον, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων στα
τρία τελευταία ερωτήματα.

64. ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 63
4.5) Για τις διάφορες τιμές του λR*
να βρείτε το μέγιστο ή το ελάχιστο
της συνάρτησης με τύπο f(x)=λx2
2λx+4
4.6) Να βρείτε τον αριθμό kR*
, ώστε η συνάρτηση
2
13
kx3kx)x(f 2
 να έχει μέγιστο τον αριθμό k.
4.7) Να βρείτε το θετικό αριθμό k, ώστε η συνάρτηση
kxkkx)x(f 2
 , να έχει ελάχιστο τον αριθμό μηδέν.
4.8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=x2
(2k+1)x+k, xR. Να
αποδείξετε ότι για κάθε kR, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x΄x
σε δύο διαφορετικά σημεία A(x1,0) και Β(x2,0). Να βρείτε για ποια τιμή
του kR η παράσταση Γ=x1(x1+3x2)+x2(x2+3x1) παίρνει την ελάχιστη
τιμή της. Ποια είναι αυτή η τιμή;
4.9) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης:
(i) f στο διάστημα Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
(ii) f+g στο διάστημα Δ, αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ.
(iii) fg στο διάστημα Δ, αν οι f και g είναι γνησίως φθίνουσες στο Δ με
f(x)≥0 και g(x)≥0 στο ίδιο διάστημα.
(iv) της gof στο R, αν η f < R και g2R.
4.10) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
(i) 3x
+4x
=5x
(ii) 5x
+12x
=13x
(iii) xx
ex2e 
 (iv) lnx=2(1x)
(v) αx
+(α1)x=2α1 όπου α>1.
4.11) Έστω η συνάρτηση f(x)=x3
+x+lnx2.
(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

65. 64 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(β) Να λύσετε την εξίσωση x6
+x2
=2lnx2
4.12) Έστω οι συναρτήσεις f,g: (0,+) R με τύπους 1x
e)x(f 
 και
x
1
)x(g  .
(α) Να δείξετε ότι η fg είναι γνησίως αύξουσα.
(β) Να δείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο.
4.13) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
(i) 3x
+4x
<5x
(ii) 5x
+12x
>13x
(iii) xx
ex2e 
 (iv) lnx>2(1x)
(v) αx
+(α1)x≤2α1 όπου α>1 (vi) ex
+x<1 (vii) 2x
1
x22  για x>0.
4.14) Έστω η συνάρτηση f:[0,+) με τύπο
x1
x
)x(f

 .
(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε α, βR, ισχύει η σχέση
βα1
βα
βα1
βα





.
4.15) Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα σημεία Α(x1,y1), Β(x2,y2) και
Γ(x3,y3). Να εξετάσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα
(θέση και τιμή):

66. ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65

67. 66 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 5η
Συναρτήσεις 1-1
Αντίστροφες Συναρτήσεις
Α) Συναρτήσεις 1-1
Έστω οι συναρτήσεις f, g του παρακάτω σχήματος:
Στην περίπτωση της f , παρατηρούμε ότι για x1≠x2 ισχύει ότι f (x1)≠f(x2),
ενώ δεν συμβαίνει αυτό στην περίπτωση της g, διότι για παράδειγμα
ισχύει ότι 1≠2 αλλά g(1)=g(2)=100. Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:
Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται η παρακάτω πρόταση:
Πρόταση: Μία συνάρτηση f:A R είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε
x1, x2Α ισχύει η συνεπαγωγή (f(x1)=f(x2)x1=x2).
Προσοχή!!! : Η αντίστροφη συνεπαγωγή, δηλαδή η συνεπαγωγή
(x1=x2f(x1)=f(x2)) ισχύει σε κάθε συνάρτηση, όχι μόνο στις 1-1.
Παραδείγματα:
Ορισμός: Μία συνάρτηση f:AR θα λέγεται 1-1(ένα προς ένα), αν
για κάθε x1, x2Α με x1≠x2 ισχύει ότι f (x1)≠f(x2).

Παράδειγμα 5.1: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f: [0,+∞) R με
f(x)=x2
είναι 1-1.


68. ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 67
Λύση: Πράγματι έστω x1, x2[0,+∞) με f(x1)=f(x2). Τότε:
21
0x,x
21
2
2
2
1
2
2
2
121 xxxxxxxx)x(f)x(f
21


.
Λύση: Πράγματι ισχύει 1≠ 1, αλλά f(1)=f(1)=1.
Συμπέρασμα: Όχι μόνο ο τύπος αλλά και το πεδίο ορισμού καθορίζουν
αν μία συνάρτηση είναι 1-1 ή όχι.
Παρατηρήσεις:
Έστω τώρα η συνάρτηση f του πρώτου σχήματος:
(α) Αν επιλέξουμε y=200, τότε η εξίσωση f(x)=200 έχει μοναδική λύση
τη x=2. Γενικά αν μία συνάρτηση f:A R είναι 1-1, τότε η εξίσωση
f(x)=y έχει μοναδική λύση ως προς x, για κάθε yf(A).
(β) Επειδή σε μία συνάρτηση 1-1 δύο διαφορετικά «x» αντιστοιχούν σε
δύο διαφορετικά «y», τότε οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία θα τέμνει τη
Cf σε ένα το πολύ σημείο.
Παράδειγμα 5.2: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f:RR με f(x)=x2
δεν είναι 1-1.

69. 68 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(γ) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως
μονότονη, τότε προφανώς θα είναι
1-1, το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα
όπως φαίνεται και στο διπλανό
σχήμα:
Β) Αντίστροφη συνάρτηση
Έστω οι συναρτήσεις f και g του παρακάτω σχήματος:
Ας ονομάσουμε 1
f 
και 1
g
τις αντιστοιχίες που προκύπτουν από τις f
και g αν αντιστρέψουμε τη φορά των βελών:

70. ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 69
 Παρατηρούμε ότι η g δεν είναι 1-1 και ότι η αντιστοιχία 1
g
δεν
είναι συνάρτηση.
 Παρατηρούμε ότι η f είναι 1-1 και ότι η αντιστοιχία 1
f 
είναι
συνάρτηση. Σε αυτή την περίπτωση η 1
f 
λέγεται αντίστροφη
συνάρτηση της f. Παρατηρείστε ότι π.χ. f(1)=100 και 1)100(f 1

.
Γενικά έχουμε τον παρακάτω ορισμό:
Παρατηρήσεις:
(α) Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι η αντίστροφη της 1
f 
είναι
η f, δηλαδή   ff
11


.
(β) Το πεδίο ορισμού της 1
f 
είναι το σύνολο τιμών της f και το σύνολο
τιμών της 1
f 
είναι το πεδίο ορισμού της f.
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f 1-1 η οποία περιγράφεται από την
αντιστοιχία:
f: A R
x  y
Τότε ορίζεται μία συνάρτηση η οποία συμβολίζεται ως 1
f 
και
περιγράφεται από την αντιστοιχία:
1
f 
: f(A) R
y  x
Η συνάρτηση αυτή λέγεται αντίστροφη της f.



71. 70 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(γ) Ισχύει ότι f(x)=y αν και μόνο αν x)y(f 1

:
(δ) Ως συνέπεια από την προηγούμενη παρατήρηση παίρνουμε τις
παρακάτω ισότητες:
(α)  
x)y(f))x(f(f 11
x))x(f(f 1

, xA.
(β) 
y)x(f))y(f(f 1
y))y(f(f 1

, yf(A).
Λύση: Πράγματι είναι:
(α) Df=R=g(Dg) και f(Df)=(0,+∞)=Dg.
(β) Έστω xA και yf(A) ώστε f(x)=y. Τότε f(x)=y αx
=y
logαy=x g(y)=x.
Άρα gf 1

.
Γ) Συμμετρία των Cf και 1
f
C 
Έστω οι συναρτήσεις f και 1
f 
που περιγράφονται στο παρακάτω σχήμα:
Παράδειγμα 5.3: Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f(x)=αx
και
g(x)=logαx είναι αντίστροφες.

72. ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 71
Τα γραφήματα των Cf και 1
f
C  είναι τα σύνολα:
Cf={(1,100), (2,200), (3,300)} και 1
f
C  ={(100,1), (200,2), (300,3)}
Παρατηρούμε ότι (x,y) Cf  (y,x) 1
f
C  . Αυτή η σχέση ισχύει πάντα
μεταξύ των γραφημάτων δύο αντίστροφων μεταξύ τους συναρτήσεων.
Όμως δύο σημεία Α(x,y) και
Β(y,x), δηλαδή δύο σημεία με
αντίστροφα τοποθετημένες τις
συντεταγμένες τους, είναι
συμμετρικά ως προς την ευθεία
y=x (διχοτόμος του 1ου
και 3ου
τεταρτημορίου):
Συμπέρασμα: Οι Cf και
1
f
C  είναι συμμετρικές ως
προς την ευθεία y=x.
