2. 2
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΣΕΛΙΔΕΣ 3-7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟ ΤΟ
ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ
ΣΕΛΙΔΕΣ 8-15
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΣΕΛΙΔΕΣ 16-22
Ασκήσεις Πιθανοτήτων
από την Τράπεζα θεμάτων (Β - Δ)
Σελίδες 23 - 31
3. 3
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΙΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1. Τι καλείται πείραμα τύχης ;
Πείραμα τύχης (random experiment) ονομάζεται το πείραμα του οποίου
δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι
επαναλαμβάνεται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες
συνθήκες.
2. Τι καλείται δειγματικός χώρος ;
Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός
χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν
δηλαδήω1,ω2,...,ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης,
τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο:
Ω={ω1,ω2,...,ωκ} .
3. Τι καλείται ενδεχόμενο ; Τι βέβαιο ενδεχόμενο ; Τι αδύνατο
ενδεχόμενο και πως συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων ενός
ενδεχομένου ;
Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός
πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο (event) ή γεγονός.
Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι
ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και
αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω. Γι’ αυτό
το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.
Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο ∅ που δεν
πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’ αυτό λέμε
ότι το ∅ είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.
Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε
με N(Α)
4. Ποιες είναι οι βασικές πράξεις με ενδεχόμενα ;
Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε:
Το ενδεχόμενο A ∩ B , που διαβάζεται “Α τομή Β” ή
“Α και Β” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα
Α και Β.
4. 4
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Το ενδεχόμενο Α∪Β, που διαβάζεται “Α ένωση Β” ή “Α ή Β” και
πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β.
Το ενδεχόμενο A', που διαβάζεται “όχι Α” ή “συμπληρωματικό
του Α” και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α.
Το A' λέγεται και “αντίθετο του Α”.
Το ενδεχόμενο A - B, που διαβάζεται “διαφορά του Β από το Α” και
πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β.
Είναι εύκολο να δούμε ότι A-B = A ∩ B' .
5. Ποιες είναι οι διάφορες σχέσεις για ενδεχόμενα Α και Β διατυπωμένες
στην κοινή γλώσσα, και διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων.;
Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται Συμβολικά ω∈ Α
Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται Συμβολικά ω ∈ Α' (ή ω Α)
Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται
Συμβολικά ω ∈ A ∪ B
Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β Συμβολικά ω ∈ A ∩ B
5. 5
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β
Συμβολικά ω ∈ (Α∪Β)'
Πραγματοποιείται μόνο το Α Συμβολικά ω ∈ A - B (ή ω ∈ A ∩ B ')
Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β
Συμβολικά Α ⊆ B
6. Τι καλούμαι Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα ;
Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν A∩B=∅ .
Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ
τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα.
7. Να διατυπώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας και τις άμεσες
συνέπειες του ορισμού αυτού ;
Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας σε ένα πείραμα με ισοπίθανα
στοιχειώδη αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθανότητα του
ενδεχομένου Α τον αριθμό:
Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι:
3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0≤P(A)≤1 , αφού το πλήθος των
στοιχείων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των
στοιχείων του δειγματικού χώρου.
8. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι Κανόνες Λογισμού των
Πιθανοτήτων ;
Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β
ισχύει: P(A∪B)=P(A)+P(B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
6. 6
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Αν N(A)=κ και N(Β)=λ, τότε το Α∪Β έχει κ+λ στοιχεία, γιατί αλλιώς
τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή,
έχουμε N(A∪Β)=κ+λ= N(A)+N(Β).
Επομένως:
)Β(Ρ)Α(Ρ
)Ω(Ν
)Β(Ν
)Ω(Ν
)Α(Ν
)Ω(Ν
)Β(Ν)Α(Ν
)Ω(Ν
)ΒA(Ν
)ΒΑ(Ρ
Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply
additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα.
Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα
έχουμε P(A∪B∪Γ)=P(A)+P(B)+P(Γ).
Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α' ισχύει: P(A')=1 - P(A)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή A∩A'=∅, δηλαδή τα Α και A' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε
διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο:
P(A∪A')=P(A)+P(A') άρα P(Ω)=P(A)+P(A') άρα 1=P(A)+P(A').
Οπότε P(A')=1-P(A).
Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε N(A∪B)=N(A)+N(B)-N(A∩B), (1)
αφού στο άθροισμα N(A)+N(B) το πλήθος των στοιχείων του A∩B
υπολογίζεται δυο φορές.
Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε
:
και επομένως P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law).
7. 7
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Αν A⊆B, τότε P(A)≤P(B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή A⊆B έχουμε διαδοχικά:
)Β(Ρ)Α(Ρ
)Ω(N
)Β(N
)Ω(N
)A(N
)B(N)A(N
Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:
P(A-B)=P(A)-P(A∩B)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή τα ενδεχόμενα A-B και A∩B είναι ασυμβίβαστα και
(A-B)∪(A∩B)=A, έχουμε:P(A)=P(A-B)+P(A∩B) Άρα P(A-B)=P(A)-P(A∩B)
8. 8
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟ
ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ
1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο
Ω. Να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη
βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται με τις εκφράσεις:
α) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.
β) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.
Λύση
i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α ή
μόνο το Β, γραμμοσκιάζουμε τις επιφάνειες των Α
και Β με εξαίρεση την τομή τους, δηλαδή την κοινή
επιφάνειά τους.
Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή
πραγματοποιείται ένα μόνο από τα BA και AB .
Άρα, το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το
)()( ABBA ή ισοδύναμα το )()( BABA .
ii) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται κανένα
από τα Α και Β, γραμμοσκιάζουμε την επιφάνεια του
Ω που είναι εκτός της ένωσης των Α και Β. Στην
περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι το ζητούμενο
σύνολο είναι συμπληρωματικό του BA , δηλαδή το
)( BA .//
2. Δύο παίκτες θα παίξουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι
αυτός που θα κερδίσει πρώτος δύο παιχνίδια . Αν α είναι το
αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β είναι το
αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι , να βρείτε
τον δειγματικό χώρο του πειράματος.
Λύση
2ο
παιχνίδι
α 3ο
παιχνίδι
1ο
παιχνίδι α
α β
Αρχή β
β α α
β β
Ω = {αα , αβα , αββ , βαα , βαβ , ββ }.//
Β ΑΑ Β
Ω
BA
( )A B
Ω
BA
9. 9
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
ΒΑ
Ω
3. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , να
αποδείξετε ότι : αν ΄Α΄Βτ τ
Λύση
Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τυχαίο στοιχείο χ του Β΄ ανήκει και στο Α΄ .
x ΄ x Β και αφού Α Β x Α x ΄ //
4. Έστω Α και Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω . Να
γράψετε το ενδεχόμενο ως ένωση τριών ξένων μεταξύ τους
ενδεχομένων .
Λύση
Έστω το παρακάτω διάγραμμα του Venn
)()()( .
Α – Β Α Β Β – Α .//
5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται
5,0)( AP , 4,0)( BP και 2,0)( BAP . Να βρεθεί η πιθανότητα των
ενδεχομένων: i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.
ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.
Λύση
i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το
)( BA . Επομένως
)(1))(( BAPBAP
))()()((1 BAPBPAP
)2,04,05,0(1
7,01
3,0 . ( )A B
Ω
BA
10. 10
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο
ένα από τα Α και Β είναι το )()( ABBA .
Επειδή τα ενδεχόμενα BA και AB είναι
ασυμβίβαστα, έχουμε:
)()())()(( ABPBAPABBAP
)()()()( BAPBPBAPAP
)(2)()( BAPBPAP
2,024,05,0 5,0 .//
6. Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν 6,0)( AP
και 5,0)( BP . i) Να εξεταστεί αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.
ii) Να αποδείξετε ότι 5,0)(1,0 BAP .
Λύση
i) Αν τα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα, από τον απλό προθετικό νόμο των
πιθανοτήτων θα είχαμε: 1,15,06,0)()()( BPAPBAP
ισχύει, δηλαδή, 1)( BAP , που είναι άτοπο.
Άρα, τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.
ii) Επειδή BBA και ABA ,
έχουμε
)()( BPBAP και )()( APBAP ,
επομένως 5,0)( BAP (1)
Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε:
)()()()( BAPBPAPBAP
)(5,06,0)( BAPBAP .
Όμως 1)( BAP .
Επομένως: 1)(5,06,0 BAP
)(15,06,0 BAP
)(1,0 BAP . (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: 5,0)(1,0 BAP .//
( ) ( )A B B A
Ω
BA
A B
Ω
BA
11. 11
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
7. Ένα κουτί περιέχει μπάλες : 10 άσπρες (Α), 15 μαύρες (Μ) , 5
κόκκινες (Κ) και 10 πράσινες (Π). Παίρνουμε τυχαίως μια μπάλα. Να
βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων η μπάλα να είναι : i) μαύρη
ii) μαύρη ή άσπρη iii) ούτε κόκκινη ούτε πράσινη
Λύση
Αφού μέσα στο κουτί υπάρχουν 10 + 15 + 5 + 10 = 40 μπάλες , θα είναι
Ν(Ω) = 40
i) Έστω Μ το ενδεχόμενο : η μπάλα να είναι μαύρη . Τότε Ν(Μ) = 15
Άρα
8
3
40
15
)(
ii) Έστω Α είναι το ενδεχόμενο : η μπάλα είναι άσπρη . Τότε Ν(Α) = 10
Άρα
4
1
40
10
)(
Το ενδεχόμενο : η μπάλα να είναι μαύρη ή άσπρη, είναι το με Α ,
Μ ασυμβίβαστα.
Οπότε
8
5
4
1
8
3
)()()(
iii) Το ενδεχόμενο : η μπάλα δεν είναι ούτε πράσινη ούτε κόκκινη , σημαίνει
ότι η μπάλα είναι : μαύρη ή άσπρη , που όπως είδαμε έχει πιθανότητα
8
5
.//
8. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω έχουμε ότι
12
1
Β)Ρ(Ακαι
3
2
Ρ(Β΄),
2
1
)( . Να βρείτε την Ρ(Α Β) .
Λύση
Ρ(Β΄) = 1 – Ρ(Β) =
3
2
Ρ(Β) = 1– 2
3
= 1
3
Ρ( )()()() 1 1 1( )
2 3 12
= 6 4 1
12 12 12
= 9 3
12 4
.//
3
2
12. 12
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
9. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι
)()()(
Λύση
P(AUΒ) ≤ Ρ(Α) + Ρ(Β) ⟺
Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α) + Ρ(Β) ⟺
– Ρ(Α∩Β) ≤ 0 ⟺
Ρ(Α∩Β) ≥ 0 ισχύει άρα ισχύει και η αρχική .//
10. Ένα ορισμένο κατάστημα δέχεται πιστωτικές κάρτες D ή V.
Το 25% των πελατών έχει κάρτα D , το 55% έχει κάρτα V
και το 15% έχει και τις δύο κάρτες . Ποια είναι η πιθανότητα ,
ένας πελάτης που επιλέγεται τυχαία να έχει μία τουλάχιστον κάρτα ;
Λύση
Έστω D το ενδεχόμενο, ο πελάτης να έχει κάρτα D. Τότε Ρ(D) =
100
25
,
V το ενδεχόμενο , ο πελάτης να έχει κάρτα V. Τότε Ρ(V) =
100
55
.
Το ενδεχόμενο , ο πελάτης έχει και τις δύο κάρτες είναι το (D V) .
Οπότε 15Ρ(D V)
100
.
Το ενδεχόμενο, ο πελάτης έχει μία τουλάχιστον κάρτα , είναι το (D V) .
Οπότε από τον προσθετικό νόμο έχουμε
25 55 15(D V) (D) (V) (D V) (D V)
100 100 100
άρα P(D V ) = 65
100
.//
11. Το 10% των ατόμων ενός πληθυσμού έχουν υπέρταση , το 6%
στεφανιαία καρδιακή ασθένεια και το 2% έχουν και τα δύο . Για ένα
άτομο που επιλέγεται τυχαία ποια είναι η πιθανότητα να έχει
α) τουλάχιστον μία ασθένεια β) μόνο μία ασθένεια
Λύση
Έστω τα ενδεχόμενα : Υ = το άτομο έχει υπέρταση , οπότε Ρ(Υ) =
100
10
Σ = το άτομο έχει στεφανιαία , οπότε Ρ(Σ) =
100
6
Tο ενδεχόμενο : το άτομο έχει και τις δύο ασθένειες , είναι το ,
13. 13
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
οπότε
100
2
)( .
α) Το ενδεχόμενο : το άτομο έχει μία τουλάχιστον ασθένεια είναι το .
Οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) = 10 6 2 14
100 100 100 100
β) Το ενδεχόμενο : το άτομο έχει μία μόνο ασθένεια είναι το
(Υ – Σ) (Σ – Υ)
και επειδή τα Υ – Σ , Σ – Υ είναι ασυμβίβαστα , με τον απλό προσθετικό
νόμο θα έχουμε P ( ) ( ) (1)
Αλλά P(Υ – Σ) = Ρ(Υ) – Ρ(Υ Σ) =
100
10
– 2
100
= 8
100
και Ρ(Σ – Υ) = Ρ(Σ) – Ρ(Υ Σ) = 6
100
– 2
100
= 4
100
(1) P = 8
100
+ 4
100
= 12
100
.//
12. Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά , το
30% γαλλικά και το 20% και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία ένα
μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα, να μη μαθαίνει καμία από τις δύο
γλώσσες
Λύση
Έστω τα ενδεχόμενα Α : μαθαίνει αγγλικά , με Ρ(Α) =
100
80
Γ : μαθαίνει γαλλικά , με Ρ(Γ) =
100
30
Το ενδεχόμενο, μαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι το με
20Ρ(Α Γ)
100
Το ενδεχόμενο δεν μαθαίνει καμία γλώσσα είναι το
( )΄ 1 ( )
= 1 – [ ( ) ( ) ( ) ]
=1 ( ) ( ) ( ) =
80 30 20 101
100 100 100 100
.//
13. Σε μία κωμόπολη το 15% των νοικοκυριών δεν έχουν τηλεόραση ,
το 40% δεν έχουν βίντεο και το 10% δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε
βίντεο. Επιλέγουμε τυχαία ένα νοικοκυριό. Να βρείτε την πιθανότητα
να έχει τηλεόραση και βίντεο .
14. 14
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Λύση
Έστω Τ = το ενδεχόμενο το νοικοκυριό δεν έχει τηλεόραση με Ρ(Τ) =
100
15
Β = το ενδεχόμενο το νοικοκυριό δεν έχει βίντεο με Ρ(Β) =
100
40
Τότε , το νοικοκυριό δεν έχει ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο είναι το ( )
με
100
10
)(
Ζητάμε την πιθανότητα , επιλέγοντας ένα νοικοκυριό στην τύχη , να έχει
τηλεόραση και βίντεο. Δηλαδή ζητάμε την Ρ(Τ΄ Β΄ ).
Από διάγραμμα Venn, διαπιστώνουμε ότι (Α Β)΄ = (Α΄ Β΄ )
Οπότε Ρ(Τ΄ Β΄ ) = Ρ(Τ Β)΄
= 1 – Ρ(Τ Β)
= 1 – [Ρ(Τ) + Ρ(Β) - Ρ(Τ Β)]
= 1 – Ρ(Τ) – Ρ(Β) + Ρ(Τ Β)
= 1 – 15 40 10 55
100 100 100 100
.//
14. Αν 0 < Ρ(Α) < 1 να αποδείξετε ότι 4
)(
1
)(
1
΄
Λύση
Έστω Ρ(Α) = ρ με 0 < ρ < 1, οπότε Ρ(Α΄ ) = 1 – ρ > 0.
Αρκεί να αποδείξουμε 1
+ 1
1
4
1 – ρ + ρ 4ρ(1 – ρ)
1 4ρ – 4 2
4 2
– 4ρ + 1 0
(2ρ – 1 2
) 0 που ισχύει .//
15. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με
Ρ(Α) = 0,6 και Ρ(Β) = 0,7 , να δείξετε ότι 0,3 Ρ(Α ) 0,6
Λύση
Για την ανισότητα Ρ(Α ) 0,6
Ρ(Α ) Ρ(Α) Ρ(Α ) 0,6
16. 16
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1. Ένα λύκειο έχει 50 μαθητές, από τους οποίους 20 είναι στην Α τάξη.
Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι στην Β τάξη
είναι 34%. Να βρεθούν : α) την πιθανότητα ο μαθητής να είναι στην Α
τάξη β) Πόσους μαθητές έχει η Β τάξη και γ) την πιθανότητα να είναι
στην Γ τάξη .
Λύση
α) P(A)=
N(A)
N(Ω)
=
20
50
=
2
5
=0,4 άρα 40%
β) P(Β)=
N(Β)
N(Ω)
άρα
34
100
=
Ν(Β)
50
άρα Ν(Β)=17
γ) Ν(Α)+Ν(Β)+Ν(Γ)=50
20+17+Ν(Γ)=50
Ν(Γ)=13 άρα P(Γ)=
N(Γ)
N(Ω)
=
13
50
//
2. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν : Ρ(Α΄)=
𝟑
𝟒
και Ρ(Β-Α)=0,5 . Βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον
ένα από τα Α, Β.
Λύση
Ρ(Α΄)=
3
4
άρα 1-Ρ(Α)=
3
4
άρα Ρ(Α)=
1
4
άρα Ρ(Α)=0,25
Ρ(Β-Α)=0,5 άρα Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)=0,5
Άρα η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)= 0,25+0,5=0,75 .//
3. Σε μία πόλη 20.000 κατοίκων κυκλοφορούν δύο εφημερίδες Α και Β .
Μία ημέρα αγόρασαν 2.000 άτομα την εφημερίδα Α και 1500 την Β. Αν
250 άτομα αγόρασαν και τις δύο εφημερίδες και επιλέξουμε τυχαία ένα
άτομο, βρείτε τις πιθανότητες : α) Να έχει αγοράσει τουλάχιστον μία
εφημερίδα β) Να έχει αγοράσει το πολύ μία εφημερίδα και γ) Να έχει
αγοράσει μόνον μία εφημερίδα.
18. 18
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
5. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν :
Η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α είναι 1/5
Η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται το Β είναι 3/5
Η πιθανότητα να πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β είναι 1/6
Βρείτε τις πιθανότητες να πραγματοποιείται :
α) ένα τουλάχιστον από τα Α,Β.
β) το πολύ ένα από τα Α,Β.
γ) κανένα από τα Α,Β.
δ) μόνον το Α.
Λύση
Ρ(Α)=
1
5
Ρ(Β΄)=
3
5
άρα 1-Ρ(Β)=
3
5
άρα Ρ(Β)=
2
5
Ρ(Α∩Β)=
1
6
α) Ενδεχόμενο ΑUΒ : « πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α,Β »
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β) =
1
5
+
2
5
−
1
6
=
3
5
−
1
6
=
18
30
−
5
30
=
13
30
άρα Ρ(ΑUΒ) =
13
30
β) Ενδεχόμενο (Α∩Β)΄: «πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α,Β »
Ρ((Α∩Β)΄)= 1-Ρ(Α∩Β)= 1 -
1
6
=
5
6
Ρ((Α∩Β)΄)=
5
6
γ) Ενδεχόμενο (ΑUΒ)΄ : « πραγματοποιείται κανένα από τα Α,Β »
Ρ((ΑUΒ)΄)= 1 - Ρ(ΑUΒ) = 1 -
13
30
=
17
30
Ρ((ΑUΒ)΄)=
17
30
γ) Ενδεχόμενο Α-Β : « πραγματοποιείται μόνον το Α »
Ρ(Α-Β) = Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β) =
1
5
−
1
6
=
6
30
−
5
30
=
1
30
Ρ(Α-Β) =
1
30
.//
6. Η τάξη έχει 8 αγόρια και 12 κορίτσια. Από τα αγόρια το 25% και από
τα κορίτσια το 1/3 έχουν μαύρα μάτια. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο.
Βρείτε την πιθανότητα :
α) Να είναι κορίτσι.
β) Να έχει μαύρα μάτια.
γ) Να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια.
δ) Να είναι κορίτσι ή να μην έχει μαύρα μάτια.
19. 19
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Λύση
Η τάξη έχει 8 αγόρια και 12 κορίτσια άρα η τάξη έχει 20 άτομα.
Άρα Ν(Α) = 8 , Ν(Κ) = 12 και Ν(Ω)=20
α) Ενδεχόμενο Κ: « το άτομο είναι κορίτσι»
Η πιθανότητα να είναι κορίτσι P(Κ)=
N(Κ)
N(Ω)
=
12
20
=
3
5
β) Από τα 8 αγόρια το 25% έχει μαύρα μάτια άρα 8.
25
100
=
200
100
=2
Από τα 12 κορίτσια το 1/3 έχουν μαύρα μάτια άρα 12.
1
3
= 4
Άρα 2+4=6 άτομα έχουν μαύρα μάτια άρα Ν(Μ)=6
Ενδεχόμενο Μ: « το άτομο έχει μαύρα μάτια »
Η πιθανότητα το άτομο να έχει μαύρα μάτια P(Μ)=
N(Μ)
N(Ω)
=
6
20
=
3
10
γ) Από τα 8 αγόρια τα 2 έχουν μαύρα μάτια άρα 8 – 2 = 6 αγόρια δεν έχουν
μαύρα μάτια
Ενδεχόμενο Α : « Να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια »
με Ν(Α)=6
Η πιθανότητα το άτομο να είναι αγόρι και να μην έχει μαύρα μάτια
P(Α)=
N(Α)
N(Ω)
=
6
20
=
3
10
δ) Από τα 12 κορίτσια τα 4 έχουν μαύρα μάτια άρα 12 - 4 = 8 κορίτσια δεν
έχουν μαύρα μάτια
Ενδεχόμενο Κ∩Μ΄ : « Να είναι κορίτσι και να μην έχει μαύρα μάτια »
με Ν(Κ∩Μ΄)=8
Η πιθανότητα το άτομο να είναι κορίτσι και να μην έχει μαύρα μάτια
P(Κ∩Μ΄) =
N(Κ∩Μ΄)
N(Ω)
=
8
20
=
2
5
Ενδεχόμενο ΚUΜ΄: « Να είναι κορίτσι ή να μην έχει μαύρα μάτια »
Η πιθανότητα Ρ(ΚUΜ΄)=Ρ(Κ)+Ρ(Μ΄)-Ρ(Κ∩Μ΄)
Ρ(ΚUΜ΄)=Ρ(Κ)+1-Ρ(Μ)-Ρ(Κ∩Μ΄)
Ρ(ΚUΜ΄) =
3
5
+ 1 -
3
10
-
2
5
Ρ(ΚUΜ΄) = 1 -
1
10
Ρ(ΚUΜ΄) =
9
10
.//
20. 20
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
7. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={1,2,3,4,5}. Η πιθανότητα των
απλών ενδεχομένων {2},{3},{4}{5} είναι Ρ(ν)=
𝟏
𝟐𝛎
, με ν=2,3,4,5 . Αν
γνωρίζετε ότι Ρ(1) + Ρ(2) + Ρ(3) + Ρ(4) + Ρ(5) = 1 , να βρείτε τις
πιθανότητες : α) Ρ(1) και β) Ρ(Α) όπου Α= {1,2,3}.
Λύση
Αφού από υπόθεση Ρ(ν)=
1
2ν
, με ν=2,3,4,5 τότε :
Για ν=2 έχω Ρ(2)=
1
2∙2
=
1
4
Για ν=3 έχω Ρ(3)=
1
2∙3
=
1
6
Για ν=4 έχω Ρ(4)=
1
2∙4
=
1
8
Για ν=5 έχω Ρ(5)=
1
2∙5
=
1
10
α) Αφού από υπόθεση : Ρ(1) + Ρ(2) + Ρ(3) + Ρ(4) + Ρ(5) = 1
Ρ(1) +
1
4
+
1
6
+
1
8
+
1
10
= 1
Ρ(1) = 1 -
1
4
-
1
6
-
1
8
-
1
10
Ρ(1) =
120
120
-
30
120
-
20
120
-
15
120
-
12
120
Ρ(1) =
120
120
-
30
120
-
20
120
-
15
120
-
12
120
Ρ(1) =
43
120
β) Αφού το ζητούμενο είναι το ενδεχόμενο Α= {1,2,3} και τα {1},{2},{3} είναι
ασυμβίβαστα τότε
Ρ(Α)= Ρ(1)+Ρ(2)+Ρ(3)=
43
120
+
1
4
+
1
6
=
43
120
+
30
120
+
20
120
=
93
120
=
31
40
Ρ(Α)=
31
40
.//
21. 21
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
8. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω αποδείξετε ότι :
2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β)
Λύση
2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) ⟺
Ρ(Α∩Β) + Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) ⟺
Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α∩Β) ⟺
Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(ΑUΒ) ισχύει ( διότι : Α∩Β ⊆ ΑUΒ τότε Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(ΑUΒ) )
άρα ισχύει και η αρχική 2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) (1)
Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β) ⟺
Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α∩Β) ≤ 1 ⟺
Ρ(ΑUΒ) ≤ 1 ισχύει ( διότι : 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 )
άρα ισχύει και η αρχική Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β) (2)
Από (1) και (2) έχω ότι : 2Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β) ≤ 1+ Ρ(Α∩Β) .//
9. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Α)=0,7 ,
Ρ(Β)=0,6
α) Να εξετάσετε αν Α , Β είναι ασυμβίβαστα
β) Αποδείξτε ότι Ρ(Α∩Β) ≤ 0,7 και Ρ(ΑUΒ) ≥ 0.6
γ) Αποδείξτε ότι : 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β) ≤ 0,6
Λύση
α) Έστω ότι Α , Β είναι ασυμβίβαστα άρα Α∩Β = ∅ άρα ισχύει ο απλός
προσθετικός νόμος άρα Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Ρ(ΑUΒ) = 0,7 + 0,6
Ρ(ΑUΒ) = 1,3 άτοπο ( αδύνατο διότι : 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 )
άρα Α , Β δεν είναι ασυμβίβαστα.
β) Αφού Α∩Β ⊆ Α τότε Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α) άρα Ρ(Α∩Β) ≤ 0,7
Αφού Β ⊆ ΑUΒ τότε Ρ(Β) ≤ Ρ(ΑUΒ) άρα 0,6 ≤ Ρ(ΑUΒ) άρα Ρ(ΑUΒ) ≥ 0.6
γ) Αφού Α∩Β ⊆ Β τότε Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Β) άρα Ρ(Α∩Β) ≤ 0,6 (1)
Αφού : Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β) ⇔ Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑUΒ)
Τότε 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β) ⟺
0,3 ≤ Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(ΑUΒ) ⟺
0,3 ≤ 0,7 + 0,6 - Ρ(ΑUΒ) ⟺
Ρ(ΑUΒ) ≤ 0,7 + 0,6 – 0,3 ⟺
Ρ(ΑUΒ) ≤ 1 ισχύει ( διότι : 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 )
άρα ισχύει και η αρχική 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β) (2)
Από (1) και (2) έχω : 0,3 ≤ Ρ(Α∩Β) ≤ 0,6 .//
22. 22
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
10. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Β) =
𝟑
𝟓
και Ρ(Α-Β) =
𝟏
𝟓
. Βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον
ένα από τα Α και Β .
Λύση
Γνωρίζω ότι από κανόνες λογισμού πιθανοτήτων ότι : Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β)
Έστω το ενδεχόμενο :
« να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β »
Τότε το ενδεχόμενο αυτό είναι το ΑUΒ άρα η πιθανότητα του ενδεχομένου
αυτού είναι : Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β) ⇔
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Β)+Ρ(Α)-Ρ(Α∩Β) ⇔
Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Β)+ Ρ(Α-Β) ⇔
Ρ(ΑUΒ)=
3
5
+
1
5
⇔
Ρ(ΑUΒ)=
4
5
.//
23. 23
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων διαβαθμισμένης δυσκολίας
GI_A_ALG_2_497
Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο
παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης
(Μ) και 2γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας
άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόματά
τους.
1. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.
(Μονάδες 10)
2. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων
Α : Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης .
Β : Να διαγωνίστηκε η Ζωή.
Γ: Να μη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο Δημήτρης.
(Μονάδες 15)
GI_A_ALG_2_499
Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 25% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το
30% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 15% των μαθητών
συμμετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν
ονομάσουμε τα ενδεχόμενα:
Α: «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» και
Β: «ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου»,
1.Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:
i. Α Β
ii. Α Β
iii. Β Α
iv. Α
(Μονάδες 12)
2.Να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων
i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα
ποδοσφαίρου
ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα.
(Μονάδες 13)
24. 24
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
GI_A_ALG_2_1003
Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες
είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16.
Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα:
Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ
K: η μπάλα που επιλέγουμε είναι KOKKINH
Π: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ
1. Χρησιμοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα
ενδεχόμενα:
i. Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη,
ii. Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη.
(Μονάδες 13)
2. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο
ενδεχόμενα του ερωτήματος (α).
(Μονάδες 12)
GI_A_ALG_2_1102
Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες
3
P A
4
,
5
P A B
8
και
1
P B
4
1. Να υπολογίσετε την P A B
(Μονάδες 9)
2.
i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των
συνόλων το ενδεχόμενο: « A ή Β»
(Μονάδες 7)
ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παραπάνω
ενδεχομένου.
(Μονάδες 9)
25. 25
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
GI_A_ALG_2_1287
Δίνεται ο πίνακας
Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω
πίνακα.
Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων.
Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος.
(Μονάδες 7)
Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιος του 3.
(Μονάδες 9)
Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιος του 3.
(Μονάδες 9)
GI_A_ALG_2_1506
Δίνεται το σύνολο Ω 1,2,3,4,5,6 και τα υποσύνολά του Α 1,2,4,5 και
Β 2,4,6
1. Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn , με βασικό σύνολο το Ω , τα
σύνολα A και B . Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β,Α Β ,Α ,Β .
(Μονάδες 13)
2. Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω . Να βρείτε τις πιθανότητες των
ενδεχομένων:
i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α .
(Μονάδες 4)
ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β .
(Μονάδες 4)
iii) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α ,Β .
26. 26
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
(Μονάδες 4)
GI_A_ALG_2_1520
Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% μαθαίνει πιάνο, το 40% μαθαίνει
κιθάρα, ενώ το 10% των σπουδαστών μαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα.
Επιλέγουμε τυχαία ένα σπουδαστή του Ωδείου. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:
Α: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει πιάνο
Β: ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει κιθάρα
Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου:
1. Ο σπουδαστής αυτός να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω
όργανα.
(Μονάδες 12)
2. Ο σπουδαστής αυτός να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα.
(Μονάδες 13)
GI_A_ALG_2_3383
Το 70%των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και
το 20% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο
αυτής της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:
A: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο
Μ: ο κάτοικος να έχει μηχανάκι
1. Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:
i) Α Μ
ii) Μ Α
iii) Μ.
(Μονάδες 9)
2. Να βρείτε τη πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε:
i) Να μην έχει μηχανάκι.
(Μονάδες 7)
ii) Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο.
(Μονάδες 9)
27. 27
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
GI_A_ALG_2_3384
Από τους 180 μαθητές ενός λυκείου, 20 μαθητές συμμετέχουν στη θεατρική
ομάδα, 30 συμμετέχουν στην ομάδα στίβου, ενώ 10 συμμετέχουν και στις δύο
ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή του λυκείου. Ορίζουμε τα
ενδεχόμενα:
Α: ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα
Β: ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου
1. Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:
i) Α Β
ii) Β Α
iii) Α
(Μονάδες 9)
2. Να βρείτε τη πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε:
i) Να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα.
(Μονάδες 7)
ii) Να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου.
(Μονάδες 9)
GI_A_ALG_2_3878
Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 200 είναι μαθητές της Α΄
τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της
Γ΄ τάξης είναι 20%. Να βρείτε:
1. Το πλήθος των μαθητών της Γ΄ τάξης
(Μονάδες 10)
2. Το πλήθος των μαθητών της Β΄ τάξης.
(Μονάδες 5)
3. Την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι της Β΄ τάξης.
(Μονάδες 10)
GI_A_ALG_4_1868
Σε ένα τμήμα της Α’ Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα
Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην
παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να
παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να
28. 28
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί
μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9.
1. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη.
i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο
γλωσσών;
(Μονάδες 9)
ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας
από τις δύο γλώσσες;
(Μονάδες 9)
2. Αν 14 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του
τμήματος;
(Μονάδες 7)
GI_A_ALG_4_1936
Η εξέταση σε έναν διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα
οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με
άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την
εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Στο
διαγωνισμό εξετάσθηκαν 100 μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60
μαθητές. Στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και στα δύο
θέματα απάντησαν σωστά 30 μαθητές. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή.
1. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των
συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα.
(Μονάδες 13)
2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:
i) Να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα.
ii) Να βαθμολογηθεί με άριστα.
iii) Να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα.
iv) Να πέρασε την εξέταση.
(Μονάδες 12)
29. 29
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
GI_A_ALG_4_2064
Σε μια ομάδα που αποτελείται από άνδρες και γυναίκες, από τους άνδρες
και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα
αυτά.
1. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των
συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε:
i) Να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι.
(Μονάδες 6)
ii) Να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι.
(Μονάδες 6)
2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι
γυναίκα και να παίζει σκάκι.
(Μονάδες 13)
GI_A_ALG_4_2073
Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν μ’ ένα αυτοκίνητο και μετά από την
κατάθεση διαφόρων μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της
πινακίδας του αυτοκίνητου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το 2 . Το δεύτερο
ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7 .
1. Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των
δυνατών αριθμών της πινακίδας του αυτοκίνητου
(Μονάδες 13)
2. Να υπολογίσατε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων
Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 7 .
Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 6 ή 8 .
Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9.
(Μονάδες 12)
GI_A_ALG_4_2080
Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το
80% των μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι στο
σπίτι το πρωί.
Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα:
Α: ο μαθητής πίνει γάλα
Β: ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι
30. 30
Επιμέλεια : ΑυγερινόςΒασίλης
Αν από το σύνολο των μαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δυο
φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι,
1. Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα:
i) ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με
βούτυρο και μέλι
ii) ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και
μέλι
iii) ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα.
(Μονάδες 12)
2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α)
ερωτήματος.
(Μονάδες 13)
GI_A_ALG_4_6144
Μια ημέρα, στο τμήμα 1Α ενός Λυκείου, το
1
4
των μαθητών δεν έχει διαβάσει
ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το
1
3
των μαθητών έχει διαβάσει και τα
δύο αυτά μαθήματα. Η καθηγήτρια των μαθηματικών επιλέγει τυχαία ένα
μαθητή για να τον εξετάσει. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:
Α: ο μαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα
Γ: ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία
1. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των
συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος.
(Μονάδες 9)
2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής:
i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα
ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα.
(Μονάδες 8)
3. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει
Γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής:
