Pembahasan Induksi Matematika

2. Buktikan bahwa untuk 𝑛 ≥ 1:
12
+ 22
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6

3. Penyelesaian:
a) Basis Induksi:
Untuk 𝑛 = 1
𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6
12
=
1 1 + 1 (2.1 + 1)
6
12
=
1 2 (3)
6
12
=
6
6
1 = 1 (Terbukti)
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka pernyataan tersebut
benar.

4. b) Langkah Induksi:
 Untuk 𝑛 = 𝑘
12
+ 22
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6
12
+ 22
+ ⋯ + 𝑘2
=
𝑘 𝑘 + 1 (2𝑘 + 1)
6
Untuk 𝑛 = 𝑘, kita anggap bernilai benar.

5. Untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
12
+ 22
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6
12
+ 22
+ ⋯ + 𝑘2
=
𝑘 + 1 𝑘 + 1 + 1 [2 𝑘 + 1 + 1]
6
𝑘 𝑘 + 1 (2𝑘 + 1)
6
+ (𝑘 + 1)2
=
𝑘 + 1 𝑘 + 2 (2𝑘 + 2 + 1)
6
𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 + 6(𝑘 + 1)2
6
=
𝑘 + 1 𝑘 + 2 (2𝑘 + 3)
6
𝑘2
+ 𝑘 2𝑘 + 1 + 6(𝑘2
+ 2𝑘 + 1)
6
=
(𝑘2
+ 3𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)
6
2𝑘3
+ 𝑘2
+ 2𝑘2
+ 𝑘 + 6𝑘2
+ 12𝑘 + 6
6
=
(2𝑘3
+ 6𝑘2
+ 4𝑘 + 3𝑘2
+ 9𝑘 + 6)
6
2𝑘3
+ 9𝑘2
+ 13𝑘 + 6
6
=
2𝑘3
+ 9𝑘2
+ 13𝑘 + 6
6

6. Terbukti berlaku untuk 𝑛 = 𝑘 + 1.
Dapat disimpulkan bahwa:
12
+ 22
+ ⋯+ 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)
6
𝑻𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊 𝑩𝒆𝒏𝒂𝒓 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 1.