2. Geometri Analitik Ruang | 1
Tugas 1 Materi Sistem Koordinat Dimensi Tiga
1. Tentukan letak titik 3 berikut pada koordinat kartesius dimensi tiga:
a. M (2,5, −5)
b. A (−3,4,2)
c. R (0,3, −1) dan
d. B (0, −5,0)
Jawab:
a. M (2,5, −5)
b. A (−3,4,2)
c. R (0,3, −1)
𝑧
𝑥
𝑦
2
−5
5
𝑀(2,5, −5)
𝑦
𝑥
𝑧
𝐴(−3,4,2)
2
−3
4
𝑦
𝑅(0,3, −1)𝑥
𝑧
3. Geometri Analitik Ruang | 2
d. B (0, −5,0)
2. Tentukan jarak antara titik
a. M (5,5,7) dan N (1, −2,3)
b. A (4, −3,2) dan B (−2,3, −5)
c. R (2,-4,1) dan S (
1
2
, 2,3)
Jawab:
a. M (5,5,7) dan N (1, −2,3)
⇒ ∆𝐴𝐵𝑀 siku-siku di A, maka diperoleh:
|𝐵𝑀|2
= |𝐴𝐵|2
+ |𝐴𝑀|2
𝐵(0, −5,0)
𝑦
𝑥
𝑧
−5
0
𝑦
𝑥
𝑧
𝐴
𝑁
𝑀
𝐵
5
3
−2
7
1 5
4. Geometri Analitik Ruang | 3
= |5 − 1|2
+ |5 − (−2)|2
= |4|2
+ |7|2
= 16 + 49
|𝐵𝑀| = √65
⇒ ∆𝐵𝑁𝑀 siku-siku di B, maka diperoleh:
|𝑁𝑀| = √|𝐵𝑁|2 + |𝐵𝑀|2
= √|4|2 + |√65|
2
= √16 + 65
= √81
= 9
Jadi, jarak titik ke M ke N adalah 9 satuan.
b. A (4, −3,2) dan B (−2,3, −5)
|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
= √(−2 − 4)2 + (3 − (−3))2 + (−5 − 2)2
= √36 + 36 + 49
= √121
= 11
Jadi, jarak titik titik A ke B adalah 11 satuan
c. R (2,-4,1) dan S (
1
2
, 2,3)
|𝑅𝑆| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
= √(1
2⁄ − 2)
2
+ (2 − (−4))2 + (3 − 1)2
= √9
4⁄ + 36 + 4
= √
169
4
5. Geometri Analitik Ruang | 4
=
13
2
Jadi, jarak titik R ke S adalah
13
2
satuan
3. Tentukan koordinat titik yang berjarak 5 satuan dari titik (1,6,3) dan buktikan!
Jawab:
Jarak 5 satuan sejajar sumbu x
(1,6,3) ⇒ (6,6,3)
Bukti:
𝑥2
= (6 − 1)2
+ (6 − 6)2
+ (3 − 3)2
= 52
+ 0 + 0
= 25
𝑥 = √25 = 5
Jarak 5 satuan sejajar sumbu y
(1,6,3) ⇒ (1,11,3)
Bukti:
𝑦2
= (1 − 1)2
+ (11 − 6)2
+ (3 − 3)2
= 0 + 52
+ 0
= 25
𝑦 = √25 = 5
Jarak 5 satuan sejajar sumbu z
(1,6,3) ⇒ (1,11,3)
Bukti:
𝑧2
= (1 − 1)2
+ (6 − 6)2
+ (8 − 3)2
= 0 + 0 + 52
= 25
𝑧 = √25 = 5
6. Geometri Analitik Ruang | 5
4. Sebuah garis melalui titik (6,4,2) dan tegak lurus bidang 𝑦𝑧. Tentukan
koordinat titik pada garis tersebut yang jaraknya 10 satuan dari titik (0,4,0)!
Jawab:
Misal 𝐴 (6,4,2) dan 𝐵 (0,4,0), maka jarak 𝐴 ke 𝐵 yang berjarak 10 satuan:
Karena garis tegak lurus bidang 𝑦𝑧, titik koordinatnya adalah 𝑐 (𝑥, 4,2)
sehingga kita hanya perlu mencari 𝑥.
|𝐶𝐵|2
= (𝑥2 − 𝑥1)2
+ (𝑦2 − 𝑦1)2
+ (𝑧2 − 𝑧1)2
102
= (𝑥 − 0)2
+ (4 − 4)2
+ (2 − 0)2
100 = 𝑥2
+ 0 + 4
𝑥2
= 96
𝑥 = √96
𝑥 = 4√6
Jadi, koordinat titik pada garis tersebut yang jaraknya 10 satuan dari titik
(0,4,0) adalah (4√6, 4,2).
𝐴
𝐵
4
6
2
𝑦
𝑥
𝑧
10. Geometri Analitik Ruang | 9
5. Tentukan jarak bidang 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 9 dengan bidang 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 7
Jawab:
Buktikan apakah kedua bidang tersebut sejajar atau tidak sejajar
a) 𝑉//𝑊 jika 𝑛 𝑣 = 𝑛 𝑤
Bukti:
Vektor normal 𝑛 𝑣 = [3, −2,5]
Vektor normal 𝑛 𝑤 = [3, −2,5]
Karena 𝑛 𝑣 = 𝑛 𝑤 berarti 𝑉//𝑊
b) Ambil sebarang titik pada bidang 𝑉 yaitu 𝑅 [𝑥, 0,0]
Substitusikan titik tersebut ke bidang 𝑤 sehingga diperoleh 3𝑥 = 9, nilai
𝑥 = 3. Jadi titik 𝑅 [3,0,0].
c) Kemudian cari jarak titik 𝑅 [𝑥, 0,0] ke bidang datar.
𝑑 = |
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
|
= |
3(3) + (−2)0 + 5(0)
√32 + (−2)2 + 52
|
= |
9
√9 + 4 + 25
|
= |
9
√38
|
=
9
√38
11. Geometri Analitik Ruang | 10
Tugas 3 Materi Garis Lurus dalam Ruang
1. Tentukan jarak titik tembus garis lurus
(𝑥 − 2)
3
=
(𝑦 + 1)
4
=
(𝑧 − 2)
12
Dan bidang rata 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 ke titik (−1, −5, −10)
Jawab:
Persamaan garis:
(𝑥 − 2)
3
=
(𝑦 + 1)
4
=
(𝑧 − 2)
12
, 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑎ℎ𝑛𝑦𝑎 [3,4,12]
Persamaan parameter
𝑥 = 2 + 3𝜆
𝑦 = −1 + 4𝜆
𝑧 = 2 + 12𝜆
Ketiganya (𝑥, 𝑦, 𝑧) substitusikan ke bidang rata
(2 + 3𝜆) − (−1 + 4𝜆) + (2 + 12𝜆) = 5
2 + 3𝜆 + 1 − 4𝜆 + 2 + 12𝜆 = 5
11𝜆 + 5 = 5
11𝜆 = 0
𝜆 = 0
Maka:
𝑥 = 2 + 0 = 2
𝑦 = −1 + 0 = −1
𝑧 = 2 + 0 = 2
Sehingga, didapatkan bahwa koordinat titik tembusnya adalah (2, −1,2).
Jarak antara titik (2, −1,2) dengan titik (−1, −5, −10)
𝑃 = √(−1 − 2)2 + (−5 − (−1))2 + (−10 − 2)2
= √9 + 16 + 144
= √169
= 13
13. Geometri Analitik Ruang | 12
3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus 𝑥 + 2𝑦 = 6, 𝑧 − 2 = 0 dan
𝑥 + 2𝑦 = 9, 𝑧 = 0.
Jawab:
Garis 𝑔 : 𝑥 + 2𝑦 = 6, 𝑧 − 2 = 10
Garis ℎ : 𝑥 + 2𝑦 = 9, 𝑧 = 10
Garis 𝑔 dan h sejajar karena kedua 𝑧-nya konsisten
Vektor arah mereka juga sama, yaitu [1,2,0]
Maka, dapat disimpulkan bahwa kedua garis tersebut sejajar