Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Oleh: Emanueli Mendrofa, S.Pd
Pengerjaan dengan singkat diperkenalkan oleh Carl Friedrich Gauss,
seorang matematikawan dari Jerman.
Saat itu Gauss menda...
Bagaimanakah Gauss menemukan jawaban tugas tersebut??
Gauss menggunakan skema berikut ini:
1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100
10...
οƒŽ
οƒ₯
π‘˜=1
5
2π‘˜ βˆ’ 1
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
𝒂 𝒏
π‘˜=1
𝑛
π‘Ž π‘˜ = π‘Ž1 + π‘Ž2 + π‘Ž3+ . . . +π‘Ž 𝑛
π‘˜=1
4
2π‘˜2 βˆ’ 1
π‘˜=1
4
2π‘˜2 βˆ’ 1 = 2 . 12 βˆ’ 1 + 2 . 22 βˆ’ 1 + 2 . 32 βˆ’ 1 + 2 . 42 βˆ’ 1
= 1 + 7 + 17 + 31
π‘˜=1
4
2π‘˜2 βˆ’ 1 = 2 . 12 βˆ’ 1 + 2 . 22 βˆ’ 1 + 2 . 32 βˆ’ 1 + 2 . 42 βˆ’ 1
= 1 + 7 + 17 + 31
= 56
π‘˜=1
4
2π‘˜2 βˆ’ 1 = 56
π‘˜=1
6
2π‘˜ + 1 2
= 32
+ 52
+ 72
+ 92
+ 112
+ 132
π‘˜=1
5
2π‘˜ + 1 2 = 32 + 52 + 72 + 92 + 112
π‘˜=1
6
2π‘˜ + 1 2 =
π‘˜=1
5
2π‘˜ + 1 2 + ...
𝒂 𝒏
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ =
π’Œ=𝟏
π’βˆ’πŸ
𝒂 π’Œ + 𝒂 𝒏
βˆ’ βˆ’
π’Œ=𝟏
πŸ“
πŸπ’Œ
π’Œ=𝟏
πŸ–
(πŸ“π’Œ βˆ’ πŸ‘)
βˆ’ βˆ’ βˆ’ βˆ’ βˆ’ βˆ’
π’Œ=𝟏
πŸ’
βˆ’πŸ π’Œ
π’Œ
π’Œ + 𝟏
Bentuk penjumlahan yang dituliskan dengan notasi sigma memiliki
beberapa kaidah-kaidah (sifat) tertentu.
Jika C adalah sua...
Bukti:
Jadi,
Dari sifat pertama ini diperoleh:
π‘˜=1
𝑛
𝐢 = 𝐢 + 𝐢 + 𝐢+ . . . +𝐢
π‘˜=1
𝑛
𝐢 = 𝑛𝐢
n buah
π‘˜=1
𝑛
𝐢 = 𝑛𝐢
(terbukti)
π‘˜...
Jika 𝒂 π’Œ merupakan suku ke-k dan C suatu konstanta, maka:
Bukti:
π’Œ=𝟏
𝒏
π‘ͺ 𝒂 π’Œ = π‘ͺ
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ
Sifat Kedua
π’Œ=𝟏
𝒏
π‘ͺ 𝒂 π’Œ = π‘ͺ𝒂 𝟏 ...
Jika 𝒂 π’Œ dan 𝒃 π’Œ merupakan suku ke-k, maka:
Bukti:
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) =
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ +
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒃 π’Œ
Sifat Ketiga
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ...
Jadi,
(terbukti)
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) = (𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 πŸ‘+ . . . + 𝒂 𝒏) + (𝒃 𝟏+𝒃 𝟐 + 𝒃 πŸ‘+ . . . + 𝒂 𝒏)
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ =
π’Œ=𝟏
𝒏...
Jika 𝒂 π’Œ dan 𝒃 π’Œ merupakan suku ke-k, maka:
Bukti:
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐=
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒂 π’Œ) 𝟐 + 𝟐
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ +
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒃 π’Œ) 𝟐
Si...
Jadi
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐 =
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ
𝟐 +
π’Œ=𝟏
𝒏
𝟐 𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ +
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒃 π’Œ
𝟐
π’Œ=𝟏
𝒏
(𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐
=
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ
𝟐
+ 𝟐
π’Œ=𝟏
𝒏
𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ...
Hasil penjumlahan dengan notasi sigma dapat dihitung dengan cepat
apabila banyak sukunya (n) sedikit, tetapi jika banyak s...
Sehingga untuk:
π‘˜ = 1, maka 2π‘˜ + 1 bernilai 22 βˆ’ 12
π‘˜ = 2, maka 2π‘˜ + 1 bernilai 32 βˆ’ 12
π‘˜ = 3, maka 2π‘˜ + 1 bernilai 42
βˆ’ 1...
Berdasarkan kaidah-kaidah notasi sigma, didapat:
Dari uraian di atas, maka diperoleh persamaan:
π‘˜=1
𝑛
2π‘˜ + 1 =
π‘˜=1
𝑛
2π‘˜ +
...
Jadi,
atau
2
π‘˜=1
𝑛
π‘˜ = 𝑛2
+ 𝑛
π‘˜=1
𝑛
π‘˜ =
𝑛2
+ 𝑛
2
π‘˜=1
𝑛
π‘˜ =
𝑛2 + 𝑛
2
π‘˜=1
𝑛
π‘˜ =
1
2
𝑛 (𝑛 + 1)
Contoh1:
Hitunglah 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 45
Jawab:
3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 45 = 3 (1 + 2 + 3 + . . . + 15)
= 3
π‘˜=1
15
...
Contoh2:
Hitunglah 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ . . . + 23
Jawab:
5 + 7 + 9 + 11 + 13+ . . . + 23 = (2(1) + 3) + (2(2) + 3) + (2(3...
Tugas
1. Tulislah dengan menggunakan notasi sigma.
a. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
b.
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . . +
1
100
2. Nyata...
3. Diketahui: π‘Ž1 = 2, π‘Ž2 = 3, π‘Ž3 = 5, π‘Ž4 = 7, π‘Ž5 = 11, π‘Ž6 = 13
𝑏1 = βˆ’3, 𝑏2 = βˆ’2, 𝑏3 = 0, 𝑏4 = 1, 𝑏5 = 2, 𝑏6 = βˆ’1
Hitunglah...
Notasi sigma
Notasi sigma
Notasi sigma
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

5

Share

Download to read offline

Notasi sigma

Download to read offline

Notasi Sigma

Related Books

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Notasi sigma

  1. 1. Oleh: Emanueli Mendrofa, S.Pd
  2. 2. Pengerjaan dengan singkat diperkenalkan oleh Carl Friedrich Gauss, seorang matematikawan dari Jerman. Saat itu Gauss mendapat tugas dari gurunya untuk menghitung jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 100. Pada mulanya gurunya yakin bahwa pengerjaannya membutuhkan waktu cukup lama. Akan tetapi gurunya terkejut ketika Gauss telah menemukan jawaban yang benar dan ditulis pada selembar kertas dengan waktu yang singkat.
  3. 3. Bagaimanakah Gauss menemukan jawaban tugas tersebut?? Gauss menggunakan skema berikut ini: 1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100 100 + 99 + 98 + . . . + 2 + 1 101 + 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 10.100 Kemudian Gauss menyimpulkan bahwa jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 100 adalah 10.100 : 2 = 5.050. +
  4. 4. οƒŽ
  5. 5. οƒ₯ π‘˜=1 5 2π‘˜ βˆ’ 1
  6. 6. 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 𝒂 𝒏 π‘˜=1 𝑛 π‘Ž π‘˜ = π‘Ž1 + π‘Ž2 + π‘Ž3+ . . . +π‘Ž 𝑛
  7. 7. π‘˜=1 4 2π‘˜2 βˆ’ 1 π‘˜=1 4 2π‘˜2 βˆ’ 1 = 2 . 12 βˆ’ 1 + 2 . 22 βˆ’ 1 + 2 . 32 βˆ’ 1 + 2 . 42 βˆ’ 1 = 1 + 7 + 17 + 31
  8. 8. π‘˜=1 4 2π‘˜2 βˆ’ 1 = 2 . 12 βˆ’ 1 + 2 . 22 βˆ’ 1 + 2 . 32 βˆ’ 1 + 2 . 42 βˆ’ 1 = 1 + 7 + 17 + 31 = 56 π‘˜=1 4 2π‘˜2 βˆ’ 1 = 56
  9. 9. π‘˜=1 6 2π‘˜ + 1 2 = 32 + 52 + 72 + 92 + 112 + 132 π‘˜=1 5 2π‘˜ + 1 2 = 32 + 52 + 72 + 92 + 112 π‘˜=1 6 2π‘˜ + 1 2 = π‘˜=1 5 2π‘˜ + 1 2 + 132
  10. 10. 𝒂 𝒏 π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ = π’Œ=𝟏 π’βˆ’πŸ 𝒂 π’Œ + 𝒂 𝒏
  11. 11. βˆ’ βˆ’
  12. 12. π’Œ=𝟏 πŸ“ πŸπ’Œ
  13. 13. π’Œ=𝟏 πŸ– (πŸ“π’Œ βˆ’ πŸ‘) βˆ’ βˆ’ βˆ’ βˆ’ βˆ’ βˆ’ π’Œ=𝟏 πŸ’ βˆ’πŸ π’Œ π’Œ π’Œ + 𝟏
  14. 14. Bentuk penjumlahan yang dituliskan dengan notasi sigma memiliki beberapa kaidah-kaidah (sifat) tertentu. Jika C adalah suatu konstanta, maka: Sifat Pertama π’Œ=𝟏 𝒏 π‘ͺ = 𝒏π‘ͺ
  15. 15. Bukti: Jadi, Dari sifat pertama ini diperoleh: π‘˜=1 𝑛 𝐢 = 𝐢 + 𝐢 + 𝐢+ . . . +𝐢 π‘˜=1 𝑛 𝐢 = 𝑛𝐢 n buah π‘˜=1 𝑛 𝐢 = 𝑛𝐢 (terbukti) π‘˜=1 𝑛 1 = 𝑛
  16. 16. Jika 𝒂 π’Œ merupakan suku ke-k dan C suatu konstanta, maka: Bukti: π’Œ=𝟏 𝒏 π‘ͺ 𝒂 π’Œ = π‘ͺ π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ Sifat Kedua π’Œ=𝟏 𝒏 π‘ͺ 𝒂 π’Œ = π‘ͺ𝒂 𝟏 + π‘ͺ𝒂 𝟐 + π‘ͺ𝒂 πŸ‘+ . . . +π‘ͺ𝒂 𝒏 = π‘ͺ (𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 πŸ‘+ . . . +𝒂 𝒏) π’Œ=𝟏 𝒏 π‘ͺ 𝒂 π’Œ = π‘ͺ π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ (terbukti)
  17. 17. Jika 𝒂 π’Œ dan 𝒃 π’Œ merupakan suku ke-k, maka: Bukti: π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) = π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ + π’Œ=𝟏 𝒏 𝒃 π’Œ Sifat Ketiga π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) = (𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏) + (𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐) + (𝒂 πŸ‘ + 𝒃 πŸ‘)+ . . . +(𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏)
  18. 18. Jadi, (terbukti) π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) = (𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 πŸ‘+ . . . + 𝒂 𝒏) + (𝒃 𝟏+𝒃 𝟐 + 𝒃 πŸ‘+ . . . + 𝒂 𝒏) π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ = π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ + π’Œ=𝟏 𝒏 𝒃 π’Œ π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) = π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ + π’Œ=𝟏 𝒏 𝒃 π’Œ
  19. 19. Jika 𝒂 π’Œ dan 𝒃 π’Œ merupakan suku ke-k, maka: Bukti: π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐= π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ) 𝟐 + 𝟐 π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ + π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒃 π’Œ) 𝟐 Sifat keempat π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐 = π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ 𝟐 + 𝟐 𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ + 𝒃 π’Œ 𝟐 )
  20. 20. Jadi π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐 = π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ 𝟐 + π’Œ=𝟏 𝒏 𝟐 𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ + π’Œ=𝟏 𝒏 𝒃 π’Œ 𝟐 π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐 = π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ 𝟐 + 𝟐 π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ + π’Œ=𝟏 𝒏 𝒃 π’Œ 𝟐 π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ + 𝒃 π’Œ) 𝟐= π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒂 π’Œ) 𝟐 + 𝟐 π’Œ=𝟏 𝒏 𝒂 π’Œ 𝒃 π’Œ + π’Œ=𝟏 𝒏 (𝒃 π’Œ) 𝟐 (terbukti)
  21. 21. Hasil penjumlahan dengan notasi sigma dapat dihitung dengan cepat apabila banyak sukunya (n) sedikit, tetapi jika banyak sukunya (n) besar maka perlu menggunakan rumus tertentu. Menentukan nilai Kita tahu bahwa: π‘˜=1 𝑛 π‘˜ π‘˜2 + 2π‘˜ + 1 = (π‘˜ + 1)2 2π‘˜ + 1 = (π‘˜ + 1)2 βˆ’ π‘˜2
  22. 22. Sehingga untuk: π‘˜ = 1, maka 2π‘˜ + 1 bernilai 22 βˆ’ 12 π‘˜ = 2, maka 2π‘˜ + 1 bernilai 32 βˆ’ 12 π‘˜ = 3, maka 2π‘˜ + 1 bernilai 42 βˆ’ 12 π‘˜ = 𝑛 βˆ’ 1, maka 2π‘˜ + 1 bernilai 𝑛2 βˆ’ (𝑛 βˆ’ 1)2 π‘˜ = 𝑛, maka 2π‘˜ + 1 bernilai (𝑛 + 1)2βˆ’π‘›2 + π‘˜=1 𝑛 2π‘˜ + 1 = (𝑛 + 1)2βˆ’12 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 βˆ’ 1 = 𝑛2 + 2𝑛
  23. 23. Berdasarkan kaidah-kaidah notasi sigma, didapat: Dari uraian di atas, maka diperoleh persamaan: π‘˜=1 𝑛 2π‘˜ + 1 = π‘˜=1 𝑛 2π‘˜ + π‘˜=1 𝑛 1 = 2 π‘˜=1 𝑛 π‘˜ + 𝑛 2 π‘˜=1 𝑛 π‘˜ + 𝑛 = 𝑛2 + 2𝑛 2 π‘˜=1 𝑛 π‘˜ = 𝑛2 + 2𝑛 βˆ’ 𝑛
  24. 24. Jadi, atau 2 π‘˜=1 𝑛 π‘˜ = 𝑛2 + 𝑛 π‘˜=1 𝑛 π‘˜ = 𝑛2 + 𝑛 2 π‘˜=1 𝑛 π‘˜ = 𝑛2 + 𝑛 2 π‘˜=1 𝑛 π‘˜ = 1 2 𝑛 (𝑛 + 1)
  25. 25. Contoh1: Hitunglah 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 45 Jawab: 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 45 = 3 (1 + 2 + 3 + . . . + 15) = 3 π‘˜=1 15 π‘˜ = 3 152 + 15 2 = 360
  26. 26. Contoh2: Hitunglah 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ . . . + 23 Jawab: 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ . . . + 23 = (2(1) + 3) + (2(2) + 3) + (2(3) + 3) + . . . + (2(10) + 3) = π‘˜=1 10 (2π‘˜ + 3) = 2 102 + 10 2 + 30 = 140 = π‘˜=1 10 2π‘˜ + π‘˜=1 10 3 = 2 π‘˜=1 10 π‘˜ + (3 . 10)
  27. 27. Tugas 1. Tulislah dengan menggunakan notasi sigma. a. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 b. 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 1 100 2. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan. 𝑛=0 7 (2 βˆ’ 𝑛) π‘˜=2 𝑛 π‘˜(π‘˜ + 1) 2 a. b.
  28. 28. 3. Diketahui: π‘Ž1 = 2, π‘Ž2 = 3, π‘Ž3 = 5, π‘Ž4 = 7, π‘Ž5 = 11, π‘Ž6 = 13 𝑏1 = βˆ’3, 𝑏2 = βˆ’2, 𝑏3 = 0, 𝑏4 = 1, 𝑏5 = 2, 𝑏6 = βˆ’1 Hitunglah: π‘˜=1 6 (π‘Ž π‘˜ + 𝑏 π‘˜)2 π‘˜=1 6 (π‘Ž π‘˜ + 𝑏 π‘˜)(π‘Ž π‘˜ βˆ’ 𝑏 π‘˜) a. b.
  • AlifMuallifi

    Mar. 8, 2021
  • DewiRafika

    Jul. 22, 2020
  • gembongangger

    Jul. 14, 2020
  • AritonangTommy

    Mar. 25, 2020
  • RikhaRahim1

    Aug. 23, 2019

Notasi Sigma

Views

Total views

41,626

On Slideshare

0

From embeds

0

Number of embeds

6

Actions

Downloads

156

Shares

0

Comments

0

Likes

5

Γ—