Dokumen tersebut membahas tentang relasi matematika antara dua himpunan, termasuk definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta operasi-operasi pada relasi seperti komposisi, persilangan, dan penyatuan relasi.

1. RELASI BINER
1. Diberikan himpunan P = {2, 4, 8, 9} dan Q = { 2, 3, 4, 12}. Apabila didefinisikan
relasi R dari himpunan P ke Q dengan (p,q) ∈ R dengan q habis dibagi p. Tentukan
himpunan R.
Penyelesaian: Semua elemen dari P x Q, dapat dinyatakan dalam bentuk tabel,
diagram atau grafik salah satunya sebagai berikut:
Maka relasi R yang memenuhi adalah R = {(2,2), (2,4), (4,4),(2,12),(4,12)}.
2. Misalkan R adalah relasi pada Q = {1, 2, 5, 6} yang didefinisikan oleh (x,y) ∈ R jika
x adalah faktor prima dari y. Maka kartesian product dari himpunan Q dengan Q
adalah…
Penyelesaian:
Q x Q ={(1,1),(1,2), (1,5),(1,6),(2,5),(2,6)…(6,6)}
Untuk menyatakan semua pasangan terurut dari Q x Q dapat dilakukan:
dan relasi R yang mempunyai sifat x adalah faktor prima dari y adalah R = {(2,2),
(1,5), (2,5), (5,1)}.

2. 3. Misalkan A = {1, 2, 3, 4 }, dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A.
Maka apakah R bersifat refleksif atau tidak? Jelaskan!
Penyelesaian:
a) R = { (1, 1) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4)}
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu
(1, 1), (2, 2) , (3, 3) , (4, 4).
b) R = { (1, 1) , (2, 2) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena
(3 ,3) ∈ R tetapi (3,3) tidak termuat dalam R.
4. Misalkan R merupakan relasi pada sebuah Z, yang dinyatakan oleh: a R b jika dan
hanya jika a = b atau a = – b. Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi
ekivalen?
Penyelesaian:
 Jelas bahwa a = a, dengan kata lain jika a R a untuk setiap a ∈ Z . Jadi R
merupakan relasi refleksif.
 Jika a = ±b dan b = ± c, ini mengakibatkan a = ± c. Dengan kata lain jika a R b
maka b R c maka a R c. Dengan demikian R merupakan relasi transitif.
 Jika a = b atau a = – b maka b = a atau b = – a, dengan kata lain jika a R b maka b
R a. Jadi R merupakan relasi simetri.
5. Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh : a R
b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.
Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi ekivalen !
Penyelesaian:
 Untuk setiap a ∈ Rill maka a – a = 0 ∈ bilangan bulat, oleh karena itu R bersifat
refleksif.
 Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, jelas bahwa (b – a) ∈ Z. Dengan demikian R
bersifat simetri.
Jika a R b dan b R c artinya (a – b), (b – c) ∈ Z maka (a – c) = (a – b) + (b – c) juga
merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu a R c. Jadi R bersifat transitif.
Dengan demikian R merupakan relasi ekivalen.

3. 6. Misalkan P = {Jojon, Timbul, Basuki} adalah himpunan nama mahasiswa, dan Q =
{SB221, SB251, SB342} adalah himpunan kode matakuliah di Jurusan sosial
budaya. Urutan terakhir pada kode matakuliah bernomer ganjil menyatakan semester
ganjil dan kode matakuliah urutan terakhir nomer genap menyatakan semester genap.
Penyelesaian :
Maka perkalian kartesian antara himpunan P dan Q menghasilkan himpunan
pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah
𝑃 = { 𝐽𝑜𝑗𝑜𝑛, 𝑇𝑖𝑚𝑏𝑢𝑙, 𝐵𝑎𝑠𝑢𝑘𝑖}
𝑄 = { 𝑆𝐵221, 𝑆𝐵251, 𝑆𝐵342}
|P|.|Q| = 3 . 3 = 9 buah.
Perkalian tersebut adalah sebagai berikut :
𝑃 × 𝑄 = { 𝐽𝑜𝑗𝑜𝑛, 𝑇𝑖𝑚𝑏𝑢𝑙, 𝐵𝑎𝑠𝑢𝑘𝑖} × { 𝑆𝐵221, 𝑆𝐵251, 𝑆𝐵342}
𝑃 × 𝑄 = {(Jojon, SB221), (Jojon, SB 251), (Jojon, SB342), (Timbul, SB221),
(Timbul, SB251), (Timbul, SB342), (Basuki,SB221), (Basuki,SB 251), (Basuki ,
SB342)}.
7. Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan
{1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah
relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. Maka komposisi relasi R dan
S adalah…
Penyelesaian: S  R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}
8. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}. Relasi
R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}. Tentukan:
a) R1  R2
b) R1  R2
c) R1  R2
d) R2  R1
e) R1  R2
Penyelesaian:
a) R1  R2 = {(a, a)}
b) R1  R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

4. c) R1  R2 = {(b, b), (c, c)}
d) R2  R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}
e) R1  R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
9. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke
Q dengan (p, q)  R jika p habis membagi q maka carilah nilai R dan R–1 !
Penyelesaian:
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p)  R–1 jika q
adalah kelipatan dari p maka diperoleh:
R–1={(2, 2), (4,2), (4, 4), (8,2), (8,4), 9,3), (15,3)}
10. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P
ke Q dengan (p, q)  R jika p habis membagi q maka diperoleh…
Penyelesaian:
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}
 Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
 Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A.
 Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A.
Sumber:
http://darmini.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50467/bab-3-relasidan-fungsi.pdf
https://www.slideshare.net/KuliahKita/matematika-diskrit-06-relasi-dan-fungsi-05