rtytry

1. 1. Diketahui 𝑥, 𝑦, 𝑧 lebih dari 1 dan 𝑤 ∈ 𝑅+
sehinga 𝑥
log 𝑤 = 24, 𝑦
log 𝑤 = 40, dan 𝑥𝑦𝑧
log 𝑤 = 12.
Nilai dari 𝑧
log 𝑤 adalah ...
2. Misalkan 𝑓( 𝑥) = | 𝑥 − 𝑝| + | 𝑥 − 15| + | 𝑥 − 𝑝 − 15| dimana 𝑝 ≤ 𝑥 ≤ 15. Nilai minimum dari 𝑓( 𝑥)
dengan 𝑥 pada interval 0 < 𝑥 ≤ 15 adalah ...
3. Hasil kali akar-akar dari 𝑥2
+ 18𝑥 + 30 = 2√𝑥2 + 18𝑥 + 45 adalah ...
4. Jika 𝑤 dan 𝑧 adalah suatu bilangan yang memenuhi 𝑤2
+ 𝑧2
= 7 dan 𝑤3
+ 𝑧3
= 10, maka nilai
terbesar yang mungkin dari 𝑤 + 𝑧 adalah ...
5. Tentukan niai minimum dari
9𝑥2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+4
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
untuk 0 < 𝑥 < 𝑛.
6. Diketahui 𝑥 + 𝑦 +
𝑥
𝑦
= 19 dan
𝑥2
+𝑥𝑦
𝑦
= 60. Nilai dari 𝑥3
+ 𝑦3
adalah ...
7. Diketahui 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥 + 3)4
− 12( 𝑥 + 3)3
+ 54( 𝑥 + 3)2
− 108( 𝑥 + 3) + 81. Nilai dari 𝑓(2017)
adalah ...
Solusi:
Perhatikan bahwa:
(( 𝑥 + 𝑎) − 𝑎)
4
= ( 𝑥 + 𝑎)4
− 4( 𝑥 + 𝑎)3
𝑎 + 4( 𝑥 + 𝑎)2
𝑎2
− 6( 𝑥 + 𝑎) 𝑎3
+ 𝑎4
.
Sehingga bisa diperoleh:
𝑓( 𝑥) = 𝑥4
.
Jadi 𝑓(2017) = 𝟐𝟎𝟏𝟕 𝟒
.
8. Diketahui barisan aritmetika 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎98 dengan beda 1 dan 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎98 = 137.
Nilai dari 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯+ 𝑎98 adalah ...
Solusi:
Jelas bahwa 𝑎1 = 𝑎2 − 1, 𝑎3 = 𝑎4 − 1, … , 𝑎97 = 𝑎98 − 1.
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎98 = 137
⟺ ( 𝑎2 − 1) + 𝑎2 + ( 𝑎4 − 1) + 𝑎4 + ⋯+ ( 𝑎98 − 1) + 𝑎98 = 137
⟺ 2( 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯+ 𝑎98) − 49 = 137
⟺ 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯ + 𝑎98 = 186
⟺ 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯ + 𝑎98 = 𝟗𝟑.
9. Jika 8
log 𝑎 + 4
log 𝑏2
= 5 dan 8
log 𝑏 + 4
log 𝑎2
= 7, maka nilai dari 𝑎𝑏 adalah ...
Solusi:
8
log 𝑎 + 4
log 𝑏2
= 5
⟺
log 𝑎
log8
+
log 𝑏2
log 4
= 5
⟺
log 𝑎
3log 2
+
2log 𝑏
2log 2
= 5
⟺
log 𝑎 + 3 log 𝑏
3log 2
= 5
⟺ log 𝑎𝑏3
= log215
⟺ 𝑎𝑏3
= 215
. ...(𝑖)
8
log 𝑏 + 4
log 𝑎2
= 7
log 𝑏
log 8
+
log 𝑎2
log4
= 7

2. ⟺
log 𝑏
3log 2
+
2log 𝑎
2log 2
= 7
⟺
log 𝑏 + 3 log 𝑎
3log 2
= 7
⟺ log 𝑎3
𝑏 = 21 log2
⟺ log 𝑎3
𝑏 = log 221
⟺ 𝑎3
𝑏 = 221
. ...( 𝑖𝑖)
Dari ( 𝑖) dan ( 𝑖𝑖) bisa diperoleh:
𝑎𝑏3
× 𝑎3
𝑏 = 215
× 221
⟺ ( 𝑎𝑏)4
= 236
⟺ 𝒂𝒃 = 𝟐 𝟗
.
Jadi nilai 𝑎𝑏 = 𝟓𝟏𝟐.
10. Diketahui sebuah fungsi 𝑓 yang terdefinisi untuk himpunan bilangan bulat dan memenuhi:
𝑓( 𝑛) = {
𝑛 − 3 , 𝑛 ≥ 1000
𝑓(𝑓( 𝑛 + 5)) , 𝑛 < 1000
Nilai dari 𝑓(84) = ⋯
Solusi:
𝑓(84) = 𝑓2(89) = 𝑓3(94) = ⋯ = 𝑓 𝑦(1004).
84 + ( 𝑦 − 1)5 = 1004
⟺ 𝑦 = 185.
Sehingga bisa didapatkan 𝑓(84) = 𝑓185 (1004).
𝑓185(1004) = 𝑓184 (1001) = 𝑓183 (998) = 𝑓184(1003) = 𝑓183 (1000) = 𝑓182(997) = 𝑓183(1002)
= 𝑓182(999) = 𝑓183 (1004) = ⋯ = 𝑓3(1004).
Jelas 𝑓(1004) = 1001.
𝑓3(1004) = 𝑓2(1001) = 𝑓(998) = 𝑓2(1003) = 𝑓(1000) = 997.
Jadi 𝑓(84) = 𝟗𝟗𝟕.
11. Diketahui:
𝑥2
22 − 1
+
𝑦2
22 − 32
+
𝑧2
22 − 52
+
𝑤2
22 − 72
= 1
𝑥2
42 − 1
+
𝑦2
42 − 32
+
𝑧2
42 − 52
+
𝑤2
42 − 72
= 1
𝑥2
62 − 1
+
𝑦2
62 − 32
+
𝑧2
62 − 52
+
𝑤2
62 − 72
= 1
𝑥2
82 − 1
+
𝑦2
82 − 32
+
𝑧2
82 − 52
+
𝑤2
82 − 72
= 1
Nilai dari 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
+ 𝑤2
= ⋯
Solusi:
Untuk 𝑡 = 1, 16,36, 64
𝑥2
𝑡 − 1
+
𝑦2
𝑡 − 32
+
𝑧2
𝑡 − 52
+
𝑤2
𝑡 − 72
= 1
⟺ 𝑥2( 𝑡 − 9)( 𝑡 − 25)( 𝑡 − 49) + 𝑦2( 𝑡 − 1)( 𝑡 − 25)( 𝑡 − 49) + 𝑧2( 𝑡 − 1)( 𝑡 − 9)( 𝑡 − 49)
+ 𝑤2( 𝑡 − 1)( 𝑡 − 9)( 𝑡 − 25) =

3. 12. Misalkan 𝑥1 = 97 dan 𝑥 𝑛 =
𝑛
𝑥 𝑛−1
untuk 𝑛 > 1. Nilai dari 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 adalah ...
Solusi:
𝑥 𝑛 =
𝑛
𝑥 𝑛−1
⟺ 𝑥 𝑛. 𝑥 𝑛−1 = 𝑛.
Pilih 𝑛 = 2, 4, 6, dan 8.
Sehingga bisa diperoleh:
𝑥1. 𝑥2 = 2.
𝑥3. 𝑥4 = 4.
𝑥5. 𝑥6 = 6.
𝑥7. 𝑥8 = 8.
Jadi 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 = 2.4.6.8 = 𝟑𝟖𝟒.
13. Jika 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah bilangan bulat yang memenuhi 𝑐 = ( 𝑎 + 𝑏𝑖)3
− 107𝑖 dan 𝑖2
= −1, maka nilai
dari 𝑐 adalah ...
Solusi:
𝑐 = ( 𝑎 + 𝑏𝑖)3
− 107𝑖
⟺ 𝑐 + 107𝑖 = ( 𝑎 + 𝑏𝑖)3
⟺ 𝑐 + 107𝑖 = ( 𝑎3
− 3𝑎𝑏2) + (3𝑎2
𝑏 − 𝑏3 ) 𝑖.
Sehingga diperoleh:
3𝑎2
𝑏 − 𝑏3
= 107
⟺ 𝑏(3𝑎2
− 𝑏2) = 107.
Karena 𝑎, 𝑏 bilangan bulat dan 107 bilangan prima, maka 𝑏 = 1 atau 𝑏 = 107.
Untuk 𝑏 = 107 diperoleh:
107(3𝑎2
− 1072) = 107
⟺ 3𝑎2
− 1072
= 1
⟺ 3𝑎2
= 1072
+ 1 (tidak memenuhi karena 1072
+ 1 bukan kelipatan 3).
Untuk 𝑏 = 1 diperoleh:
3𝑎2
− 1 = 107
⟺ 3𝑎2
= 108
⟺ 𝑎2
= 36
⟺ 𝑎 = 6.
Jadi 𝑐 = 𝑎3
− 3𝑎𝑏2
= 63
− 3.6.1 = 𝟏𝟗𝟖.
14. Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 adalah bilangan bulat positif sehingga 𝑎5
= 𝑏4
, 𝑐3
= 𝑑2
, dan 𝑐 − 𝑎 = 19, maka nilai
dari 𝑑 − 𝑏 adalah ...
Solusi:
Karena 𝑎 bilangan pangkat empat, 𝑏 bilangan pangkat lima, 𝑐 bilangan pangkat dua, dan 𝑑 bilangan
pangkat tiga, maka terdapat bilangan bulat 𝑠 dan 𝑡 sehingga 𝑎 = 𝑡4
, 𝑏 = 𝑡5
, 𝑐 = 𝑠2
, dan 𝑑 = 𝑠3
.
Sehingga bisa diperoleh:
𝑠2
− 𝑡4
= 19
⟺ ( 𝑠 − 𝑡2)( 𝑠 + 𝑡2) = 19.

4. Karena 19 bilangan prima dan ( 𝑠 + 𝑡2) > ( 𝑠 − 𝑡2), maka 𝑠 + 𝑡2
= 19 dan 𝑠 − 𝑡2
= 1.
( 𝑠 + 𝑡2) + ( 𝑠 − 𝑡2 ) = 19 + 1
⟺ 2𝑠 = 20
⟺ 𝑠 = 10.
𝑠 + 𝑡2
= 19
⟺ 𝑡 = 3.
Jadi 𝑑 − 𝑏 = 103
− 35
= 1000 − 243 = 𝟕𝟓𝟕.
15. Tentukan bilangan terbesar 𝑛 sehingga 𝑛3
+ 1631 habis dibagi oleh 𝑛 + 11.
Solusi :
𝑛3
+ 1631
𝑛 + 11
=
𝑛3
+ 1331 + 300
𝑛 + 11
=
( 𝑛 + 11)( 𝑛2
− 11𝑛 + 121)+ 300
𝑛 + 11
= ( 𝑛2
− 11𝑛 + 121) +
300
𝑛 + 11
.
Jelas 300 harus habis dibagi 𝑛 + 11.
Jelas faktor terbesar dari 300 adalah 300.
𝑛 + 11 = 300
𝑛 = 289.
Jadi 𝑛 terbesar adalah 289.
16. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan 𝑥2
− 3𝑥 + 𝑛 = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar
persamaan 𝑥2
+ 𝑥 − 𝑛 = 0, maka nilai n adalah ...
Solusi:
Misalkan akar-akar dari 𝑥2
− 3𝑥 + 𝑛 = 0 adalah 𝑎 dan 𝑏.
Misalkan akar-akar dari 𝑥2
+ 𝑥 − 𝑛 = 0 adalah 𝑐 dan 𝑑.
Jelas 𝑎 + 𝑏 = 3 dan 𝑎𝑏 = 𝑛.
Jelas 𝑐 + 𝑑 = −1 dan 𝑐𝑑 = −𝑛.
Jelas 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐3
+ 𝑑3
𝑎2
+ 𝑏2
= ( 𝑎 + 𝑏)2
− 2𝑎𝑏
⟺ 𝑎2
+ 𝑏2
= 9 − 2𝑛.
𝑐3
+ 𝑑3
= ( 𝑐 + 𝑑)3
− 3𝑐𝑑( 𝑐 + 𝑑)
⟺ 𝑐3
+ 𝑑3
= (−1)3
− 3(−𝑛)(−1)
⟺ 𝑐3
+ 𝑑3
= −1 − 3𝑛.
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐3
+ 𝑑3
⟺ 9 − 2𝑛 = −1 − 3𝑛
⟺ 10 = −𝑛
⟺ 𝑛 = −10.
17. Tentukan bilangan bulat positif 𝑎 sehingga 𝑎2
− 𝑎 + 2017 merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Solusi:
Misalkan 𝑎2
− 𝑎 + 2017 = 𝑚2
.
Sehingga bisa diperoleh 𝑎2
− 𝑎 + 2017 − 𝑚2
= 0.

5. Karena 𝑎 ∈ 𝑍 maka 𝐷 = 𝑛2
untuk suatu 𝑛.
(−1)2
− 4(2017− 𝑚2 ) = 𝑛2
⟺ 4𝑚2
− 𝑛2
= 6067
⟺ (2𝑚 + 𝑛)(2𝑚 − 𝑛) = 6067.
Karena 6067 bilangan prima maka haruslah 2𝑚 + 𝑛 = 6067 dan 2𝑚 − 𝑛 = 1.
(2𝑚 + 𝑛) + (2𝑚 − 𝑛) = 6067 + 1
⟺ 4𝑚 = 6068
⟺ 𝑚 = 2017.
𝑎2
− 𝑎 + 2017 = 20172
⟺ 𝑎2
− 𝑎 + 2017 − 20172
= 0
⟺ 𝑎2
− 𝑎 + (2017× 2016) = 0
⟺ ( 𝑎 − 2017)( 𝑎 + 2016) = 0
⟺ 𝑎 = 2017 ∨ 𝑎 = −2016.
Jadi nilai 𝑎 yang memenuhi adalah 𝑎 = 𝟐𝟎𝟏𝟕.
18. Tentukan semua bilangan real 𝑥 sehingga
8 𝑥
+ 27 𝑥
12 𝑥 + 18 𝑥
=
7
6
.
Solusi:
Misalkan 2 𝑥
= 𝑎 dan 3 𝑥
= 𝑏.
8 𝑥
+ 27 𝑥
12 𝑥 + 18 𝑥
=
7
6
⟺
𝑎3
+ 𝑏3
𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏2
=
7
6
⟺
( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2)
𝑎𝑏( 𝑎 + 𝑏)
=
7
6
⟺ 6𝑎2
− 6𝑎𝑏 + 6𝑏2
= 7𝑎𝑏
⟺ 6𝑎2
− 13𝑎𝑏 + 6𝑏2
= 0
⟺ (2𝑎 − 3𝑏)(3𝑎− 2𝑏) = 0.
Sehingga diperoleh
2 𝑥+1
= 3 𝑥+1
dan 2 𝑥−1
= 3 𝑥−1
.
Jadi nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 1 dan −1.
19. Tentukan semua bilangan bulat positif 𝑎, 𝑏 sehingga 𝑎4
+ 4𝑏4
merupakan bilangan prima.
Solusi:
𝑎4
+ 4𝑏4
= 𝑎4
+ 4𝑏4
+ 4𝑎2
𝑏2
− 4𝑎2
𝑏2
= ( 𝑎2
+ 2𝑏2)2
− 4𝑎2
𝑏2
= ( 𝑎2
+ 2𝑏2
+ 2𝑎𝑏)( 𝑎2
+ 2𝑏2
− 2𝑎𝑏)
= [( 𝑎 + 𝑏)2
+ 𝑏2][( 𝑎− 𝑏)2
+ 𝑏2].
Karena [( 𝑎 + 𝑏)2
+ 𝑏2] > 1, Sehingga diperoleh [( 𝑎 − 𝑏)2
+ 𝑏2] = 1.
Sehingga bisa didapatkan 𝑎 = 𝑏 = 1.