Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep limit dalam matematika. Limit digunakan untuk mendefinisikan nilai fungsi pada titik yang tidak terdefinisi secara eksplisit. Dokumen tersebut menjelaskan definisi limit secara formal dan sifat-sifat dasar limit beserta contoh penerapannya dalam menyelesaikan masalah limit. Metode penyelesaian seperti substitusi, faktorisasi, dan turunan digunakan untuk menghitung

1. LIMIT
PRESENT BY :
GOODMAN OCTAVIANUS
RICKY PUTRA
ALI MANSUR

2. LIMIT itu apa ?
Artinya :
•Harga Batas
•Mendekati
•Sedikit lagi
•Hampir
Contoh :
• Letak rumah Budi dekat
dengan rumah Tono.
• Ketika hari sudah
mendekati senja,
datanglah yang
ditunggu-tunggu.
• Nilai ujian matematika
Anton hampir 9.
... dst.
Contoh :
Di dalam lingkaran dibuat bidang
segi n (n polygon) sehingga titik-
titik sudut segi n tersebut berada
pada lingkaran. Tentu dapat
dibayangkan bahwa apabila n
“sangat besar”, maka luas segi n
akan mendekati luas lingkaran.

3. Definisi LIMIT
 Limit f(x) untuk x mendekati c sama dengan L, ditulis :
 lim
𝒙→𝒄
f(x) = L
 Jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi
x≠c, maka f(x) mendekati L.

4. Sifat - Sifat LIMIT
 lim
𝒙→𝒄
k = k
 lim
𝒙→𝒄
x = c
 lim
𝒙→𝒄
kf(x) = k lim
𝒙→𝒄
f(x)
 lim
𝒙→𝒄
{ f(x) + g(x)} = lim
𝒙→𝒄
f(x) + lim
𝒙→𝒄
g(x)
 lim
𝒙→𝒄
{ f(x) - g(x)} = lim
𝒙→𝒄
f(x) - lim
𝒙→𝒄
g(x)

5. Sifat - Sifat LIMIT
 lim
𝒙→𝒄
{ f(x)g(x)} = lim
𝒙→𝒄
f(x) . lim
𝒙→𝒄
g(x)
 lim
𝒙→𝒄
f(x)
g(x)
=
lim
𝒙→𝒄
f(x)
lim
𝒙→𝒄
g(x)
, asalkan lim
𝒙→𝒄
g(x) ≠ 0
 lim
𝒙→𝒄
(f(x))n = (lim
𝒙→𝒄
f(x))n
 lim
𝒙→𝒄
(f(x))-n = (lim
𝒙→𝒄
f(x))-n , asalkan lim
𝒙→𝒄
f(x) ≠ 0
 lim
𝒙→𝒄
(f(x))1/n = (lim
𝒙→𝒄
f(x))1/n , asalkan untuk n genap lim
𝒙→𝒄
f(x)>o

6. Solusi menyelesaikan soal LIMIT
 Subtitusi
 Faktorisasi (untuk bentuk limit
0
0
)
 Kali sekawan (untuk bentuk limit
0
0
& ada akarnya)
 Menggunakan metoda Turunan (untuk bentuk limit
0
0
)

7. Metoda Turunan untuk mengerjakan LIMIT
 Misal c Konstanta, f(x) = c,
maka f’(x) = 0
 f(x) = cx, maka f’(x) = c
 f(x) = xn , maka f’(x) = nxn-1
 Untuk Turunan Berantai,
Jika u = f(x)
y = un maka y’= n.un-1 . u’
Contoh :
• f(x) = 2x2 + 8x - 3,
maka f’(x) = 4x+8
• f(x) = 4x3 + x2 + 2x + 1,
maka f’(x) = 12x2 + 2x + 2
• y = (x2 + 2x – 1)3, maka
y’ = 3 (x2 + 2x – 1)2 (2x+2)

8. Contoh Soal LIMIT Subtitusi:
1. lim
𝒙→𝟐
( 2x2 -7x+6) =
= lim
𝒙→𝟐
2x2 - lim
𝒙→𝟐
7x + lim
𝒙→𝟐
6
= 2 lim
𝒙→𝟐
x2 - 7 lim
𝒙→𝟐
x + lim
𝒙→𝟐
6
= 2 ( lim
𝒙→𝟐
x)2 – 7 lim
𝒙→𝟐
x + lim
𝒙→𝟐
6
= 2(2)2 – 7(2) + 6 = 0
2. lim
𝒙→𝟏
7x 2𝑥 − 1 =
= lim
𝒙→𝟏
7x. lim
𝒙→𝟏
2𝑥 − 1
= (7lim
𝒙→𝟏
x) lim
𝒙→𝟏
(2𝑥 + 1)
= (7.1) 2.1 − 1 = 7
3. lim
𝒙→−𝟏
2𝑥+3
5𝑥+2
=
lim
𝒙→−𝟏
(2𝑥+3)
lim
𝒙→−𝟏
(5𝑥+2)
=
2 . −1 +3
5 . −1 +2
=
1
−3

9. Contoh Soal limit
0
0
:
1. lim
𝒙→𝟕
𝑥2 −49
𝑥−7
=
= lim
𝒙→𝟕
(𝑥−7)(𝑥+7)
𝑥−7
= lim
𝒙→𝟕
7+7 = 14
2. lim
𝒙→𝟏
𝑥2+𝑥−2
𝑥2−1
=
= lim
𝒙→𝟏
(𝑥+2)(𝑥−1)
(𝑥+1)(𝑥−1)
= lim
𝒙→𝟏
1+2
1+1
=
3
2
3. lim
𝒙→𝟑
𝑥2 −9
𝑥−3
= ???

10. Contoh soal limit
0
0
yang ada akarnya :
1. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝟐− 𝒙 𝟐+𝟑
𝟏−𝒙 𝟐 =
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝟐− 𝒙 𝟐+𝟑
𝟏−𝒙 𝟐 .
(𝟐+ 𝒙 𝟐+𝟑)
(𝟐+ 𝒙 𝟐+𝟑)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝟒−(𝒙 𝟐+𝟑)
(𝟏−𝒙 𝟐)(𝟐+ 𝒙 𝟐+𝟑)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝟏−𝒙 𝟐
𝟏−𝒙 𝟐 (𝟐+ 𝒙 𝟐+𝟑)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝟏
(𝟐+ 𝒙 𝟐+𝟑)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝟏
𝟐+ (−𝟏) 𝟐+𝟑
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟏
𝟏
𝟐+ 𝟒
=
𝟏
𝟒
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒙 𝟐−𝟒
𝟑− 𝒙 𝟐+𝟓
=
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒙 𝟐−𝟒
𝟑− 𝒙 𝟐+𝟓
.
𝟑+ 𝒙 𝟐+𝟓
𝟑+ 𝒙 𝟐+𝟓
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
(𝒙 𝟐−𝟒)(𝟑+ 𝒙 𝟐+𝟓)
𝟗−(𝒙 𝟐+𝟓)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
(𝒙 𝟐−𝟒)(𝟑+ 𝒙 𝟐+𝟓)
−(𝒙 𝟐−𝟒)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
(𝟑+ 𝒙 𝟐+𝟓)
−𝟏
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
(𝟑+ (𝟐) 𝟐+𝟓)
−𝟏
=
(𝟑+ 𝟗)
−𝟏
= −𝟔

11. LIMIT Tak Hingga
∞
∞
Jika diketahui limit tak hingga (∞), sbb :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒂𝒙 𝒏+𝒃𝒙 𝒏−𝟏+ …….+𝒄
𝒑𝒙 𝒎+𝒒𝒙 𝒎−𝟏+ …….+𝒓
= 𝒁
Maka:
1. Z = 0, jika n<m
2. Z =
𝑎
𝑝
, jika n=m
3. Z =∞, jika n>m

12. LIMIT Tak Hingga ∞ - ∞
Jika diketahui limit tak hingga, sbb :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝑎𝑥 + 𝑏 - 𝑝𝑥 + 𝑞 = Z
Maka :
Z = ∞ , jika 𝑎 > 𝒑
Z = 𝟎 , jika 𝑎 = 𝒑
Z = −∞ , jika 𝑎 < 𝒑
Jika diketahui limit tak hingga, sbb :
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 - 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = Z
Maka :
Z = ∞ , jika 𝑎 > 𝒑
Z =
𝒃−𝒒
𝟐 𝒂
, jika 𝑎 = 𝒑
Z = −∞ , jika 𝑎 < 𝒑

13. Contoh soal LIMIT Tak Hingga (∞) :
1. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
8𝑥3+4𝑥+2
2𝑥2+𝑥+4
=
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
8𝑥3+4𝑥+2
2𝑥2+𝑥+4
= ∞
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
2𝑥3+𝑥+8
4𝑥4+3𝑥+2
=
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
2𝑥3+𝑥+8
4𝑥4+3𝑥+2
= 0
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝑥2+2𝑥+4
3𝑥2+𝑥+1
=
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝑥2+2𝑥+4
3𝑥2+𝑥+1
=
𝟏
𝟑
4. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
4𝑥2 − 4𝑥 + 1 - 4𝑥2 + 3𝑥 + 2 =
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
4𝑥2 − 4𝑥 + 1 - 4𝑥2 + 3𝑥 + 2 =
=>
𝒃−𝒒
𝟐 𝒂
=>
(−𝟒)−𝟑
𝟐 𝟒
=>
−𝟕
𝟒
6. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
(𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) - (2𝑥 − 3)(𝑥 + 1) =
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
(2𝑥2 − 5𝑥 − 3) - (2𝑥2 − 𝑥 − 3) =
=>
𝒃−𝒒
𝟐 𝒂
=>
(−𝟓)−(−𝟏)
𝟐 𝟐
=>
−𝟒
𝟐 𝟐
.
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
=>
−𝟖 𝟐
𝟒(𝟐)
= - 𝟐
5. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
3𝑥2 − 4𝑥 + 1 - 3𝑥 – 2 = ???

14. LIMIT Trigonometri
Untuk menyelesaikan soal limit trigonometri. Kita perlu
menggunakan persamaan trigonometri, seperti :
 sin(-x) = - sinx
 cos(-x) = cosx
 tan(-x) = - tanx
 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 = 1
 sin2x = 2 sinx cosx
 cos2x = 2 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 – 1= 1 - 2 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝒙 =
𝟐𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙
𝟏−𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙
….. dsb.
Teorema Limit Trigonometri :
1. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
= 1
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
= 1
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥
= 1
4. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
= 1

15. Contoh soal LIMIT Trigonometri :
1. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑡𝑎𝑛2𝑥
=
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑡𝑎𝑛2𝑥
.
3𝑥
3𝑥
.
2𝑥
2𝑥
=
𝟑
𝟐
2. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
(𝑥2−1)𝑠𝑖𝑛6𝑥
𝑥3+3𝑥2+2𝑥
=
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
(𝑥2−1)𝑠𝑖𝑛6𝑥
𝑥3+3𝑥2+2𝑥
.
(6𝑥)
(6𝑥)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
(𝑥2−1)(6𝑥)
𝑥(𝑥2+3𝑥+2)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
6(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥+1)(𝑥+2)
=
6𝑥−6
𝑥+2
=
−6
2
= −𝟑
3. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥
=
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
1−(1−2𝑠𝑖𝑛2 𝑥)
𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥
.
𝑥2
𝑥2 .
3𝑥
3𝑥
=
2
3
4. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
1−𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
1−(1−2𝑠𝑖𝑛2 𝑥)
1−(1−2𝑠𝑖𝑛22𝑥)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2𝑠𝑖𝑛22𝑥
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2𝑠𝑖𝑛22𝑥
.
𝑥2
𝑥2 .
2𝑥2
2𝑥2 =
1
2
5. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
1−𝑐𝑜𝑠4𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
= ???

16. Sekian dan Terimakasih
DIKTAT KALKULUS 1, Zainal Abidin Sinaga, STTJ, 2014.
 KALKULUS 1, Dr. GAGUK MARGONO, M.Ed, Spektrum, 2008.