Dokumen ini membahas tentang teori bilangan bulat dan sifat-sifatnya, termasuk pembagian bilangan bulat, teorema Euclidean, pembagi bersama terbesar, dan hubungannya dengan sisa pembagian menurut teorema Euclidean.
2. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak
mempunyai pecahan desimal, misalnya 8,
21, 8765, -34, 0
Berlawanan dengan bilangan bulat adalah
bilangan riil yang mempunyai titik desimal,
seperti 8.0, 34.25, 0.02.
Nopem KS. Teori Bilangan 2
3. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
Misalkan a dan b bilangan bulat, a ≠ 0.
a habis membagi b (a divides b) jika terdapat
bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
Notasi: a | b jika b = ac, c ∈ Z dan a ≠ 0.
Contoh 1: 4 | 12 karena 12:4 = 3 (bilangan bulat)
atau 12 = 4 × 3. Tetapi 4 | 13 karena 13:4 = 3.25
(bukan bilangan bulat).
Nopem KS. Teori Bilangan 3
4. Tugas 1
1. Apakah 7 I 96 memenuhi sifat pembagian
bilangan bulat? Jelaskan!
2. Buatlah 3 contoh yang memenuhi sifat
pembagian bilangan bulat
3. Buatlah 3 contoh yang tidak memenuhi
sifat pembagian bilangan bulat
Nopem KS. Teori Bilangan 4
5. Teorema Euclidean
Teorema 1 (Teorema Euclidean).
Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0.
Jika m dibagi dengan n maka terdapat
bilangan bulat unik q (quotient) dan r
(remainder), sedemikian sehingga
m = nq + r (1)
dengan 0 ≤ r < n.
Nopem KS. Teori Bilangan 5
6. Tugas Bonus ( tdk dikerjakan tidak masalah,
dikerjakan mendapat nilai plus)
Buktikan teorema Eucliden!
Nopem KS. Teori Bilangan 6
7. Contoh 2.
(i) 1987/97 = 20, sisa 47:
1987 = 97 ⋅ 20 + 47
(ii) –22/3 = –8, sisa 2:
–22 = 3(–8) + 2
tetapi –22 = 3(–7) – 1 salah
karena r = –1 (syarat 0 ≤ r < n)
Nopem KS. Teori Bilangan 7
8. Tugas 2
Ubahlah kedalam bentuk teorema eucliden
a. 1988 I 83
b. -33 I 7
c. 2178 I 242
Nopem KS. Teori Bilangan 8
9. Pembagi Bersama Terbesar (PBB)
Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.
Pembagi bersama terbesar (PBB – greatest
common divisor atau gcd) dari a dan b adalah
bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a
dan d | b.
Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.
Nopem KS. Teori Bilangan 9
10. Contoh 3.
Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45;
Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36;
Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36
adalah 1, 3, 9
PBB(45, 36) = 9.
Nopem KS. Teori Bilangan 10
11. Teorema 2. Misalkan m dan n bilangan bulat,
dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga
m = nq + r , 0 ≤ r < n
maka PBB(m, n) = PBB(n, r)
Contoh 3: m = 60, n = 18,
60 = 18 ⋅ 3 + 12
maka PBB(60, 18) = PBB(18, 12) = 6
Nopem KS. Teori Bilangan 11
