pembahasan soal logika dan pembuktian

2. Sederhanakan pernyataan-pernyataan
berikut, kemudian tuliskan hukum aljabar
proposisi yang anda gunakan dalam
penyederhanaannya tepat di samping setiap
langkah yang anda buat:
1) ~ 𝑝 ∨∼ 𝑞 ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)
2) (𝑝 ∧ ∼ ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)

3. Penyelesaian
1) ~ 𝑝 ∨∼ 𝑞 ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)
⟺ ~𝑝 ∧∼ (~𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) (Hukum de Morgan)
⟺ ~𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (~𝑝 ∧∼ 𝑞 (Hukum Negasi Ganda)
⟺ ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨∼ 𝑞 (Hukum Distributif)
⟺ ∼ 𝑝 ∧ 𝑇 (Hukum Negasi)
⟺ ∼ 𝑝 (Hukum Identitas)
Jadi terbukti bahwa ~ 𝑝 ∨∼ 𝑞 ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) ⟺ ∼ 𝑝

4. 2) (𝑝 ∧ ∼ ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)
⟺ (𝑝 ∧ (~ ∼ 𝑝) ∧∼ 𝑞 ) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) (Hukum de Morgan)
⟺ 𝑝 ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) (Hukum Negasi Ganda)
⟺ (𝑝 ∧ 𝑝) ∧∼ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞 (Hukum Asosiatif)
⟺ 𝑝 ∧∼ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞 (Hukum Idempoten)
⟺ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ∨ 𝑞 (Hukum Distributif)
⟺ 𝑝 ∧ 𝑇 (Hukum Negasi)
⟺ ∼ 𝑝 (Hukum Identitas)
Jadi terbukti bahwa (𝑝 ∧ ∼ ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟺ ∼ 𝑝