Dokumen tersebut membahas tentang teorema faktorteorema dan contoh-contoh penerapannya. Teorema faktorteorema menyatakan bahwa jika suku banyak dibagi suku banyak lain, maka hasil baginya dan sisanya akan memiliki derajat tertentu yang tergantung pada derajat pembagi dan yang dibagi. Dokumen ini juga menjelaskan cara menentukan faktor-faktor suatu suku banyak.

1. TEOREMA FAKTORTEOREMA SISA
SUKU BANYAK
1 2

2. TEOREMA SISA

3. Secara umum dapat dikatakan bahwa jika suku banyak 𝑓 𝑥
dibagi dengan 𝑔(𝑥) memberikan hasil bagi 𝐻(𝑥) dan sisa pembagian
𝑆(𝑥) , maka diperoleh hubungan.
Apabila 𝑓(𝑥) berderjat n dan 𝑔(𝑥) berderajat m, maka hasil
bagi 𝐻(𝑥) berderajat 𝑛 − 𝑚 dan sisa pembagian maksimum berderajat
𝑚 − 1.
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 𝐻 + 𝑆(𝑥)

4. TEOREMA 1
Jika suku banyak 𝒇 𝒙 dibagi 𝒙 − 𝒉 maka
sisanya adaalah 𝒇(𝒉)
B
U
K
T
I
Tulis 𝑓 𝑥 = 𝑥 − ℎ 𝐻 𝑥 + sisa
Subtitusikan 𝑥 − ℎ, maka didapat:
𝑓 ℎ = ℎ − ℎ 𝐻 ℎ + sisa
𝑓 ℎ = 0 + sisa, maka sisa = 𝑓(ℎ) ( terbukti)
Dengan cara yang sama, buktikanlah bahwa jika
𝑓 𝑥 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑎𝑥 − 𝑏 maka sisanya adalah 𝑓
𝑏
𝑎
. Maka: 𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥 − 𝑏 𝐻 𝑥 + sisa.
Untuk 𝑥 =
𝑏
𝑎
maka 𝑓
𝑏
𝑎
= 𝑎.
𝑏
𝑎
− 𝑏 𝐻 𝑎 + 𝑠𝑖𝑠𝑎
𝑓
𝑏
𝑎
= 𝑏 − 𝑏 . 𝐻 𝑎 + 𝑠𝑖𝑠𝑎
𝑓
𝑏
𝑎
= 0. 𝐻 𝑎 + 𝑠𝑖𝑠𝑎 → 𝑠𝑖𝑠𝑎 = 𝑓
𝑏
𝑎
𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

5. Tentukan sisa pembagian jika suku banyak
𝑓 𝑥 = 2𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 + 8 dibagi 𝑥 + 2.
CONTOH
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
𝑓 𝑥 = 2𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 + 8 dibagi dengan𝑥 + 2 = 𝑥 − −2
sisa 𝑓(−2).
𝑥 = −2 2 -4 1 8
-4 16 -34
2 -8 17 -26 = 𝑓(−2)
Jadi, sisanya adalah -26.
+

6. CONTOH Tentukan sisa pembagian jika 2𝑥3 − 7𝑥2 +
11𝑥 + 5 dibagi dengan 2𝑥 − 1.
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
2𝑥 − 1 = 0, maka𝑥 =
1
2
. Dengan demikian, suku banyak 2𝑥3 − 7𝑥2 +
11𝑥 + 5 dibagi dengan 2𝑥 − 1memberikan sisa 𝑓
1
2
.
𝑥 =
1
2
2 -7 11 5
1 -3 4
2 -6 8 9 = 𝑓(
1
2
)
Jadi, sisanya adalah 𝑓
1
2
= 9.
+

7. CONTOH
Suku banyak 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 + 𝑥2 − 𝑝 + 1 𝑥 + 1 dibagi dengan 𝑥 − 2
memberikan sisa = 35. Tentukan nilai 𝑝.

8. PEMBAHASAN
𝑓 𝑥 dibagi dengan 𝑥 − 2 memberikan sisa = 35, berarti 𝑓 2 = 35.
𝑥 = 2 1 3 1 −(𝑝 + 1) 1
2 10 22 −2 𝑝 + 1 + 44
1 5 11 − 𝑝 + 1 + 22 −2 𝑝 + 1 + 45 = 𝑓(2)
−2 𝑝 + 1 + 45 = 35
−2𝑝 = 2 + 45 = 35
−2𝑝 = −8
` 𝑝 = 4
Jadi, nilai p adalah 4.
+

9. Bila 𝑓 𝑥 dibagi 𝑥 + 2 memberikan sisa 14, sedangkan bila dibagi 𝑥 − 4
memberikan sisa −4. Tentukan sisanya bila 𝑓 𝑥 dibagi 𝑥2 − 2𝑥 − 8.
CONTOH

10. PEMBAHASAN
𝑓 𝑥 dibagi 𝑥 + 2 bersisa 14 ⇔ 𝑓 2 = 14
𝑓 𝑥 dibagi 𝑥 − 4 bersisa −4 ⇔ 𝑓 4 = −4
Bila 𝑓 𝑥 dibagi 𝑥2 − 2𝑥 − 8, maka diperoleh hasil 𝐻 𝑥 dan sisa pembagian
𝑆(𝑥) yang berderajat 1. Misakan 𝑆 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, maka dapat ditulis:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 − 8 𝐻 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑥 − 4 𝐻 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑓 −2 = 0 − 2𝑎 = 𝑏 = 14
𝑓 4 = 0 + 4𝑎 + 𝑏 = −4
−6𝑎 = 18
𝑎 = 3
−2𝑎 + 𝑏 = 14
−2 −3 + 𝑏 = 14, maka 𝑏 = 8
Jadi, sisanya aaadalah 𝑎𝑥 + 𝑏 = −3𝑥 + 8
-

11. TEOREMA FAKTOR

12. 
Telah anda ketahui bahwa faktor suatu bilangan adalah semua
bilangan yang dapat membagi bilangan tersebut.
Misalnya, faktor-faktor dari 15 adalah 1,3,5,15
Faktor-faktor dari 24 adalah 1,2,3,4,6,8,12,24
Faktor sebuah suku banyak adalah suku banyak lain yang dapat
membagi habis suku banyak tersebut. Sebagai contoh, faktor-faktor dari
𝑥2 + 𝑥 − 6 adalah (𝑥 + 3) dan (𝑥 − 2).

13. TEOREMA
2
Jika 𝒇(𝒙) suatu suku banyak, maka 𝒙 −
𝒉 merupakan factor dari 𝒇(𝒙) jika dan hanya
jika 𝒇 𝒉 = 𝟎.
B
U
K
T
I
Menurut teorema sisa, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − ℎ 𝐻 𝑥 + 𝑓 ℎ
Jika 𝑓 ℎ = 0, maka 𝑓 𝑥 = 𝑥 − ℎ 𝐻 𝑥
Ini berarti bahwa 𝑥 − ℎ merupakan faktor dari 𝑓 𝑥
Sebaliknya, jika 𝑥 − ℎ merupakan faktor dari 𝑓 𝑥 , maka
𝑓 𝑥 = 𝑥 − ℎ 𝐻 𝑥
Untuk suatu suku banyak 𝐻(𝑥).
Untuk 𝑥 = ℎ, maka 𝑓 ℎ + ℎ − ℎ 𝐻 ℎ = 0. 𝐻 𝑛 = 0.
Jadi terbukti, 𝑥 − ℎ merupakan faktor dari 𝑓 ℎ ⇔ 𝑓 ℎ = 0.

14. CONTOH Tentukan nilai 𝑝 jika 𝑥 − 2 merupakan faktor
dari 𝑥3
+ 𝑝𝑥2
− 5𝑥 + 6.
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
Karena 𝑥 − 2 merupakan faktor, maka 𝑓 2 = 0
𝑓 2 = 23 + 𝑝. 22 − 5.2 + 6 = 0
8 + 4𝑝 − 10 + 6 = 0
𝑝 = −1
Jadi, nilai 𝑝 adalah −1.

15. CONTOH
Tentukan 𝑎 agar 4𝑥4 − 12𝑥3 + 13𝑥2 − 8𝑥 + 𝑎 habis dibagi 2𝑥 − 1.

16. PEMBAHASAN
Kata lain dari habis membagi adalah faktor dari. Demgan demikian, kita dapat
mengatakan bahwa 2𝑥 − 1 adalah faktor dari 4𝑥4
− 12𝑥3
+ 13𝑥2
− 8𝑥 + 𝑎, sehingga
𝑓
1
2
= 0
2𝑥 − 1 = 0 maka 𝑥 =
1
2
𝑥 =
1
2
4 -12 13 -8 𝑎
2 -5 4 -2
4 -10 8 -4 𝑎 = 2
𝑓
1
2
= 0
𝑎 − 2 = 0
𝑎 = 2
Jadi, nilai 𝑎 adalah 2.
+

17. Misalkan diketahui 𝑓)𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ +
𝑎1 𝑥 +𝑎0. Faktor-faktor 𝑓(𝑥) dapat ditemukan dengan langkah-langkah
berikot.
1. Jika 𝑥 − ℎ merupakan suatu faktor dari 𝑓 𝑥 , maka nilai ℎ yang
mungkin adalah faktor-faktor bulat dari 𝑎0.
2. Dengan cara mencoba, subtitusikan nilai 𝑥 − ℎ sehingga diperoleh
𝑓 𝑥 = 0. Jika 𝑓 ℎ = 0, maka 𝑥 − ℎ adalah faktor dari 𝑓 𝑥 ,
sedamgkan jika 𝑓 ℎ ≠ 0, maka 𝑥 − ℎ bukan faktor dari 𝑓 𝑥 .
3. Setelah diperoleh sebuah faktor, maka faktor-faktor yang lain dapat
ditemukan dari suku banyak hasil bagi 𝑓 𝑥 oleh 𝑥 − ℎ.

18. CONTOH
Tentukan faktpr-faktor dari suku banyak 𝑓 𝑥 = 3𝑥3 −𝑥2 +8𝑥 + 12.

19. P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
𝑓 𝑥 = 3𝑥3 −𝑥2 +8𝑥 + 12, suku tetepnya adalah 𝑎0 = 12.
Nilai-nilai ℎ yang mungkin adalah faktor bulat dari 𝑎0 = 12, yaitu
± 1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
• Untuk ℎ = 1, maka 𝑓 1 = 3 1 3 − 13 1 2 + 8 1 + 12 = 0.
Jadi, 𝑥 − 1 bukan faktor dari 𝑓 𝑥 .
• Untuk ℎ = −1, maka 𝑓 −1 = 3 −1 3 − 13 −1 2 + 8 −1 + 12 = 0.
Jadi, 𝑥 + 1 bukan faktor dari 𝑓 𝑥 .
• Untuk ℎ = 2, maka 𝑓 1 = 3 2 3
− 13 2 2
+ 8 2 + 12 = 0
Jadi, 𝑥 − 2 adalah faktor dari 𝑓 𝑥 .
Faktot-faktor 𝑓 𝑥 yang lain dapat ditentukan dari hasil bagi 𝑓 𝑥 oleh 𝑥 −
2.
𝑥 = 2 3 -13 8 12
6 -14 -12
3 -7 -6 0
Dari skema diatas, diperoleh hasil baginya adalah 3𝑥2 − 7𝑥 − 6.
Bentuk
3𝑥2
− 7𝑥 − 6 dapat difaktorkan menjadi 3𝑥 + 2 𝑥 − 3 .
Jadi, faktor-faktornya adalah 𝑥 − 2, 3𝑥 + 2 dan 𝑥 − 3.
-

20. TERIMA KASIH