Dokumen tersebut membahas tentang integral sebagai salah satu topik dalam mata kuliah Kapita Selekta Matematika Pendidikan Menengah. Dibahas mengenai pengertian integral, integral tak tentu, integral tertentu, sifat-sifat integral, dan teknik pengintegralan."

1. KAPITA SELEKTA MATEMATIKA PENDIDIKAN MENENGAH
INTEGRAL
diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Kapita Selekta Matematika
Pendidikan Menengah
dosen pengampu: Prof. Dr. H. Darhim, M.Si.
disusun oleh:
NIM 1505155 Anggi Juliana
NIM 1503894 Dhanu Ibrahim
NIM 1405649 Nadya Nalijati
DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2016

2. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Permasalahan yang kita hadapi bisa diselesaikan dengan penerapan
konsep-konsep matematika. Permasalahan tersebut, salah satunya muncul dari
keingintahuan kita mengenai suatu fenomena. Layaknya seperti konsep integral,
publikasi ilmiah konsep ini dapat diterapkan dalam menghitung jarak yang
ditempuh suatu benda (dari posisi diam) t detik dari kecepatan benda, misalkan v
= 6t2 m/det. Sebelum mengetahui kaitan hal tersebut, beberapa ilmuwan
melakukan pengamatan dan studi lebih dalam mengenai suatu fenomena sehingga
dihasilkan metode penyelesaian dengan integral.
Para ilmuwan menemukan dan mengembangkan konsep integral sejak
waktu yang sangat lampau. Integral ditemukan pertama kali pada abad kedua
sebelum masehi, atas gagasan Archimedes, berdasarkan idenya mengenai
penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup atau volume benda
putar. Lalu apa saja sumbangan konsep integral terhadap metode menentukan
solusi permasalahan perhitungan matematika? Bagaimana kaitannya dengan
konsep-konsep matematika lainnya? Bagaimana ketentuan dan lingkup bahasan
materi integral untuk pemahaman anak SMA atau sederajat?
Kemampuan memahami, menggambarkan, menghitung integral dari
berbagai fungsi aljabar diharapkan dapat menjadi bekal ilmu untuk menempuh
jenjang pendidikan lanjut. Selain itu kopetensi di sekolah juga mengarahkan anak
agar mengetahui dan memahami dasar-dasar penyelesaian permasalahan.
Sehingga anak mampu bekarir dan memiliki budaya dalam kehidupannya di masa
datang.
B. Standar Kompetensi
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.
C. Kompetensi Dasar
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

3. 1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar
sederhana
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.
D. Indikator Pencapaian
1.1.1 Merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan.
1.1.2 Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar.
Menghitung integral tak tentu dari fungsi aljabar.
1.1.3 Menghitung integral tentu dari fungsi aljabar
Menghitung integral tentu dari fungsi aljabar
Merumuskan integral tentu untuk luas suatu daerah, volume benda
putar dan menghitungnya.
E. Materi
1. Menentukan Integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.
2. Menjelaskan Integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.
3. Menentukan Integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat (aturan)
integral
4. Menentukan Integral dengan cara substitusi aljabar.
5. Menentukan Integral dengan cara substitusi trigonometri.
6. Menentukan Integral dengan rumus integral parsial.
7. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
8. Menggunakan Integral tertentu untuk menghitung luas suatu daerah yang
dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
9. Menggunakan integral tertentu untuk menghitung volume benda putar dari
daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

4. F. Peta Konsep
Integral
Pengertian
Integral
Integral Tak
Tentu
Integral Tak
TentuFungsi
Aljabar
Integral Tak
TentuFungsi
Trigonometri
Integral Tentu
Sifat-Sifat
(Aturan) Integral
TeknikIntegral
Integral dengan
Cara Substitusi
Integral dengan
Cara Integral
Parsia
Aplikasi Integral
Luas Daerah
Volume Beda
Putar

5. BAB II
URAIAN MATERI
A. Pengertian Integral
Misalkan f adalah fungsi turunan dari fungsi F yang kontinu pada suatu
domain. Untuk setiap xx terletak pada domain tersebut, berlaku F′(x) =
𝑑 𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑓(𝑥), artinya turunan fungsi F(x) adalah f(x).
Perhatikan bentuk fungsi F(x) dan turunannya yaitu f(x) berikut :
Dari kenyataan tersebut, timbul pertanyaan bagaimanakah menentukan fungsi
F sedemikian rupa sehingga untuk setiap x anggota domain F, berlaku F′(x) = f(x).
Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi F merupakan invers dari
operasi derivatif (diferensial). Invers dari operasi derivatif disebut integral. Integral
disebut juga antiderivatif (antidiferensial) atau antiturunan. Pada contoh di atas,
jika F(x) adalah integral dari f(x) = 2x, maka F(x)= 𝑥2
+ c, dengan c suatu
konstanta real.
Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F′(x) = f(x), maka F(x) merupakan
antiturunan atau integral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.
∫ f(x) dx =F(x) + c
Keterangan :
∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan
Jerman)

6. f(x) = fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunannya/integralnya)
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F′(x) = f(x)
c = konstanta.
Contoh :
Coba turunkan fungsi – fungsi berikut.
a. F(x) = 2𝑥2
b. F(x) = 2𝑥2
+ 2
c. F(x) = 2𝑥2
− 1
Penyelesaian :
a. F(x) = 2𝑥2
, F’(x) = 4x
b. F(x) = 2𝑥2
+ 2 , F’(x) = 4x
c. F(x) = 2𝑥2
− 1, F’(x) = 4x
Jawab :
Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu F’(x) maka antiturunan
dari F’(x) adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta.

7. B. Integral Tak Tentu
Dari pengamatan pada tabel tersebut, kita melihat sebuah aturan integrasi atau pola
anti turunan dari turunannya yaitu :
Dengan menggunakan Rumus Dasar Integral Tak Tentu
Jawab :

8. 1. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
Teorema 4
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
1
𝑛+1
𝑥 𝑛+1
+ 𝐶, 𝑛 ∈ ℝ, 𝑛 ≠ 1
∫ 𝑎𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑎
𝑛+1
𝑥 𝑛+1
+ 𝐶, 𝑛 ∈ ℝ, 𝑛 ≠ 1
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

9. 2. Integral Tak tentu Fungsi Trigonometri
C. Integral Tertentu

11. D. Integral Tentu
Definisi :
1. Teorema Dasar Kalkulus
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 atau [𝑎, 𝑏].
dan misalkan F adalah sebarang anti turunan dari f pada interval tersebut, maka
berlaku :
∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
= [ 𝑭( 𝒙)] =𝒂
𝒃
𝑭( 𝒃) − 𝑭(𝒂)

12. E. Sifat-Sifat Integral Tertentu
Contoh :
 )()()()(.1 bFaFxFdxxf b
a
b
a

 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(.2
0)(.3
a
a
dxxf
)(.4 abckdx
b
a

riilbilanganadalahk
dxxfkdxxkf
b
a
b
a
  )()(.5
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([.6
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([.7
  
b
a
c
b
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(.8






1007
1000
7
0
5
1
2
)20052(
,)5(..2
....)1(3.1
adalamdxxbentuknyatakanmaka
adxxdiketahuiJika
dxx

13. F. Teknik Pengintegralan
a. Integral Subtitusi
Digunakan jika pengintegralan tidak dapat diselesaikan dengan integrasi
langsung, maka kita substitusikan variabel baru sehingga pengintegralan dapat
diselesaikan.
Contoh :
b. Integral dengan substitusi Trigonometri
Teknik substitusi dapat dilakukan jika integrannya merupakan
perkalian antara dua fungsi, fungsi yang merupakan turunan dari fungsi
lainnya. Misal : f(x) . 𝑓′
(x) atau 𝑓′
(x) . cos f(x).
Contoh fungsi dalam integran yang dapat diselesaikan dengan teknik
substitusi.
1. Tentukanlah ∫ 2𝑥 sin(𝑥2
+1) dx
Perhatikan bahwa: dalam ∫ 2𝑥 sin(𝑥2
+1) dx ;
2x merupakan turunan dari (𝑥2
+1)
Untuk memperoleh penyelesaian kita dapat memisalkan: U = 𝑥2
+ 1,
selanjutnya: dU = 2x dx
∫ 2𝑥 sin(𝑥2
+1) dx = ∫ sin 𝑈 dU = -cos U + C = -cos (𝑥2
+ 1) + C
Contoh soal
2. Tentukanlah ∫ cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
  dx)32()539(x:Carilah 82
xx
c)53x(x
cuc
9
9u
du9u
menjadidx)32()539(xMaka
dx3)(2xdu
32x
dx
du
53xxuMisalkan:Jawab
92
9
9
8
82
2







 xx

14. Karena cos x adalah turunan dari sin x, maka untuk mnenyelesaikan
∫ cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥, kita dapat memisalkan U = sin x, selanjutnya dU = cos x
dx, dan ∫ cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑈2
𝑑𝑈 =
1
3
𝑈3
+ C =
1
3
𝑠𝑖𝑛3
x + C
Dari hasil diatas, maka penentuan hasil soal berikut ini (no 3) menjadi
lebih mudah
3. Tentukanlah ∫ 𝑐𝑜𝑠5
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥 (𝑐𝑜𝑠2
𝑥)2
dx
= ∫ cos 𝑥 (1− 𝑠𝑖𝑛2
𝑥)2
dx = ∫ cos 𝑥 (1 −
2 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4
𝑥) 𝑑𝑥
= ∫(cos 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 + cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛4
𝑥) 𝑑𝑥
= sin x –
2
3
𝑠𝑖𝑛3
𝑥 +
1
5
𝑠𝑖𝑛5
𝑥 + 𝐶
4. ∫ tan 𝑥 dx = ∫
sin 𝑥
cos 𝑥
dx , u = cos x ; du = -sin x dx
= ∫ − 𝑢−1
du
= ∫ −
1
𝑢
du = - ln |cos x|
c. Integral dengan Rumus Integral Parsial
Di dalam pengintegralan, ada kemungkinan metode-metode
pengintegralan yang dibahas di awal tidak berhasil. Jika demikian, kita dapat
menerapkan metode yang disebut integral parsial. Metode ini didasarkan
kepada pengintegralan turunan hasil kali dua fungsi.
Perhatikan bahwa:
Jika y = U(x) . V(x) maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑈′
(x) . V(x) + 𝑉′( 𝑥). 𝑈( 𝑥), 𝑎𝑡𝑎𝑢
dy = V(x) . 𝑈′
(x) dx + 𝑈( 𝑥) . 𝑉′( 𝑥) dx ...............................(i)
Jika y kita ganti dengan UV maka (i) dapat ditulis menjadi:
d(UV) = V(x) . 𝑈′
(x) dx + 𝑈( 𝑥) . 𝑉′( 𝑥) dx .........................(ii)
Karena 𝑈′
(x) dx = dU dan 𝑉′( 𝑥) 𝑑𝑥 = dV maka (ii) dapat ditulis menjadi:
d(UV) = V . dU + U . Dv ......................................................(iii)
Persamaan (iii) dapat ditulis menjadi: U. dV = d(UV) – V . dU .......(iv)

15. Dengan mengintegralkan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (iv), kita akan
memperoleh rumus integral parsial seperti berikut.
∫ U. dV = ∫ d(UV) – ∫V .dU = UV − ∫ 𝑉. 𝑑𝑈
Contoh 1: Integral Parsial
Tentukanlah
Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan
integral tersebut ke dalam
Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu
Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita
untuk memilih pilihan pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana
dari x, dan dv = ex merupakan bagian yang paling rumit dari integran yang
sesuai dengan aturan dasar integral.
Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan
G. Menggambar Suatu Daerah
Grafik atau kurva yang biasa dihitung luasnya grafik fungsi linear (berupa
garis) dan grafik fungsi kuadrat (berupa parabola). Terkadang juga melibatkan grafik

16. dengan fungsi selain linear dan kuadrat dimana untuk menggambar kurvanya bisa
menggunakan turunan.
Menggambar Grafik Fungsi Linear
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi linear:
1. Menentukan titik potong grafik di sumbu x dan y.
2. Menghubungkan kedua titik potong dengan sebuah garis.
3. Garis ini merupakan grafik fungsi linear yang diberikan.
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:
1. Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu x (jika ada) dengan cara
mensubstitusi y = 0. Sehingga diperoleh akar-akar dari ax2 + bx + c = 0
yaitu 𝑥1 dan 𝑥2. Artinya tipotnya (𝑥1, 0) dan (𝑥2, 0).
2. Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu y dengan cara
mensubstitusikan x = 0 . Sehingga diperoleh y = c. Artinya tipotnya (0 ,
c).
3. Menentukan titik puncak (𝑥 𝑝, 𝑦 𝑝).
Rumus: 𝑥 𝑝 =
−𝑏
2𝑎
dan 𝑦 𝑝 =
𝐷
−4𝑎
atau 𝑦 𝑝 = f(𝑥 𝑝) = f(
−𝑏
2𝑎
)
Sehingga titik puncak : (𝑥 𝑝, 𝑦 𝑝) = (
−𝑏
2𝑎
,
𝐷
−4𝑎
) atau
(𝑥 𝑝, 𝑦 𝑝) = (
−𝑏
2𝑎
, f(
−𝑏
2𝑎
))
4. Menentukan sembarang titik bantuan lainnya agar menggambar lebih
mudah, dengan cara memilih beberapa nilai x dan disubstitusikan ke
fungki kuadrat.
Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi menggunakan turunan:
1. Menggunakan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat
(sumbu X dan sumbu Y).

17. Titik potong sumbu X, substitusi y =0.
Titik potong sumbu Y, substitusi x =0.
2. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik
balik maksimum, dan titik belok).
Teorema Kemonotonan
Misal f kontinu pada interval I dan terdiferensial pada setiap titik dalam dari I.
(i) Jika 𝑓′
(x) > 0 untuk semua titik-dalam I, maka f naik pada I.
(ii) Jika 𝑓′
(x) < 0 untuk semua titik-dalam I, maka f turun pada I.
Teorema Kecekungan
Misal f terdiferensialkan dua kali pada interval terbuka I.
(i) Jika 𝑓′′
(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.
(ii) Jika 𝑓′′
(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.
3. Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau
bisa juga secara umum menentukan nilai y untuk x besar positif dan
untuk x besar negatif.
Contoh grafik fungsi linear
Contoh grafik fungsi kuadrat

19. Contoh grafik fungsi digambarkan dengan cara turunan
Beberapa grafik fungsi diatas, jika kita ingin menunjukan suatu daerah
yang dibentuk dengan batas kurva terhadap sumbu x atau sumbu y, daerah
yang dimaksud adalah sebagai berikut.

20. H. Luas Daerah dengan Integral Tertentu
Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva
y = f(x) terletak di atas atau pada kurva y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi kurva
y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a, Dan x = b adalah sebagai berikut:
L = ∫ 𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
I. Volume Benda Putar
Secara umum menggunakan dua metode dalam perhitungannya yaitu metode
cakram dan metode kulit tabung. Untuk metode cakram memiliki ciri arah putaran
sesuai dengan batasan integralnya, misalkan jika daerah diputar terhadap sumbu X
maka batasannya juga ada pada sumbu X. Sedangkan metode kulit tabung dalam
volume benda putar memiliki ciri arah putaran berbeda dengan batasan integralnya,
misalkan daerah diputar terhadap sumbu Y tetapi batasnya ada di sumbu X. Seperti
luas suatu daerah, volume benda putar juga ada yang dibatasi satu kurva saja dan ada
dibatasi dua kurva.
Pengertian Benda Putar = Apabila suatu bidang datar yang diputar 360° terhadap
suatu garis, akan terbentuk bidang putar (3 dimensi)
X
y1
=f(x)
x = a x = b
Luasnya ?
y2
=g(x)

21. 1. Metode Cakram
Dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-
motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
a. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar yang terjadi dari daerah yang dibatasi oleh y=f(x), sumbu
X, garis x=a, dan garis x=b diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘,
volumenya adalah
b. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu Y
Jika daerah yang dibatasi oleh x=f(y), sumbu Y, garis y=a, dan garis y=b
diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360∘, volume benda putarnya adalah
c. Volume Benda Putar dibatasi Dua Kurva
1) Diputar terhadap sumbu X
Dimisalkan T adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva y1=f(x)
dan y2=g(x) dengan |f(x)|≥|g(x)| pada interval a≤x≤b. Daerah yang terbentuk
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360∘ sehingga terbentuk suatu benda
putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di bawah. Volume benda
dxxfdxy
b
a
b
a
  22
)]([v 
dyxfdyy
b
a
b
a
  22
)]([v 

22. yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y1=f(x),y2=g(x), garis
x=a dan x=b adalah
2) Diputar terhadap sumbu Y
Dimisalkan U adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva
x1=f(y) dan x2=g(y) dengan |f(y)|≥|g(y)| pada interval a≤x≤b. Daerah yang
terbentuk diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360∘ sehingga terbentuk
suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di bawah.
Volume benda yang terbentuk adalah
2. Metode Kulit Tabung
a. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y=f(x), x=a, x=b, dan
sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh 360o adalah
dxxgxf
dxyy
b
a
b
a




22
2
2
2
1
)]([)]([
)()(v


dyygyf
dyxx
b
a
b
a




22
2
2
2
1
)]([)]([
)()(v


dxxfxdxxy
b
a
b
a
  )(.22v 

23. b. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu Y
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x=f(y),y=a,y=b, dan
sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh 360o adalah
c. Volume Benda Putar dibatasi dua kurva Metode Kulit Tabung
1) Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y=f(x), y=g(x), x=a, x=b,
dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh 360∘ dengan |f(x)|≥|g(x)|
adalah
2) Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x=f(y), x=g(y), y=a, y=b,
dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh 360∘ dengan |f(y)|≥|g(y)|
adalah
dyyyfdyxy
b
a
b
a
  ).(22v 
dxxgxfxdxxy
b
a
b
a
  )]()(.[22v 
dyyygyfdyxy
b
a
b
a
  )].()([22v 

24. BAB III
POWER POINT

37. BAB IV
RANGKUMAN
Integral Tak Tentu
Integral tak tentu mempunyai rumus umum:
Keterangan:
 c : konstanta
Pengintegralan standar
Jika maka:
Jika maka:
Jika maka:
Pengintegralan khusus

38. Sifat-sifat


Integral Tentu
Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang
memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:
Keterangan:
 konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.
Integral trigonometri







39. 








Ingat-ingat juga beberapa sifat-sifat trigonometri, karena mungkin akan digunakan:
Substitusi trigonometri
Integral yang mengandung a2 − x2
Pada integral

40. kita dapat menggunakan
Catatan: semua langkah diatas haruslah memenuhi syarat a > 0 dan cos(θ) > 0;
Integral yang mengandung a2 + x2
Pada integral
kita dapat menuliskan
maka integralnya menjadi
(syarat: a ≠ 0).
Integral yang mengandung x2 − a2
Pada integral

41. dapat diselesaikan dengan substitusi:
Teknik pemecahan sebagian pada pengintegralan
Polinomial tingkat pertama pada penyebut
Misalkan u = ax + b, maka du = a dx akan menjadikan integral
menjadi
Contoh lain:
Dengan pemisalan yang sama di atas, misalnya dengan integral
akan berubah menjadi

42. Integral Parsial
Jika dimisalkan u = f(x), v = g(x), dan diferensialnya du = f ‘(x) dx dan dv = g‘(x) dx,
maka integral parsial menyatakan bahwa:
atau dapat ditulis juga:

43. DAFTAR PUSTAKA
Simangunsong, W. 2010. PKS Matematika SMA/MA Kelas XII IPA. Jakarta:
Gematama
Kristanto D, Yosep.”Integral Parsial, Soal, dan Pembahasannya”. 20 Desember 2016.
https://yos3prens.wordpress.com/2014/08/31/integral-parsial/
Darmayasa, Putu. “Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat”. 20 Desember
2016. http://www.konsep-matematika.com/2015/07/sketsa-dan-
menggambar-grafik-fungsi-kuadrat.html