1. Tugas kalkulus 2 membahas konsep-konsep dasar kalkulus seperti turunan, integral, nilai ekstrem, dan aplikasi turunan. 2. Dibahas pula sifat-sifat turunan, turunan fungsi trigonometri, persamaan garis singgung, jenis-jenis nilai stasioner, kecekungan fungsi, dan cara menggambar grafik fungsi. 3. Bagian akhir membahas aplikasi turunan seperti laju perubahan

1. TUGAS KALKULUS 2
Dosen pembimbing : HETTY ROHAYANI.AH,ST,M.Kom
OLEH
NAMA :RAHMAT PRYADI
NIM ; 8020130172
MATA KULIAH : KALKULUS 2
STIKOM DINAMIKA BANGSA 2014

2. DIFERENSIAL/TURUNAN
f(x)=y pada x=a atau turunan f pada x=a, dilambangkan
1)
2)
3)
1.)Sifat-Sifat Turunan

3. 2.)Turunan Fungsi Trigonometri
3.)Persamaan Garis Singgung Pada Kurva
Gradien garis singgung pada kurva y=f(x) di x=a
Jadi persamaan garis singgung y=f(x) di titik (a,b) adalah y-b=m(x-a)
Fungsi Naik dan Fungsi Turun

4. Jenis-jenis Nilai Stasioner disekitar x=a
Nilai Balik maximum, jika:
Nilai Balik minimum, jika:
Bukan nilai ekstrem, jika:
Atau:
Menentukan nilai max dan min fungsi dalam interval tertutup
1. Jika ada, tentukan nilai balik maximum dan minimum
2. Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval, yaitu nilai f(a) dan f(b)
3. Nilai-nilai yang diperoleh dari langkah 1 dan 2 dibandingkan, kemudian ditetapkan sbb:

5. Nilai terbesar = nilai max fungsi x
Nilai terkecil = nilai min fungsi x
Kecekungan Fungsi
Jika dalam interval I maka grafik fungsi f(x) lengkung ke atas
Jika dalam interval I maka grafik fungsi f(x) lengkung ke bawah
Menggambar grafik Fungsi y=f(x)
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x , y=0
2. Menentukan titik potong dengan sumbu y , x=0
3. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya
4. Menentukan nilai-nilai y untuk nilai x yang besar positif dan nilai x yang besar negatif
Aplikasi Turunan
Laju pada waktu
Teorema L'Hôpital
Jika g′(x)≠0 untuk setiap x≠a pada I dan jika mempunyai bentuk tak tentu
atau pada x=a, maka:
Jika hasinya masih maka harus diturunkan lagi.

6. A.
1. Turunan pertama dari adalah……
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Jawaban = A
2. (p, q) adalah salah satu titik stasioner dari fungsi f , maka q
– p sama dengan
A. 0 D. 8

7. B. 5 E. 12
C. 6
Jawab :
f’
karena titik stasioner maka
f’
maka p = 2 maka q = 2
Jawaban = A
3. Diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut:
1) Jika y = xsin , maka 014 4
2
2
3
y
dx
yd
y
2) Jika y2
= 1 + sin x, maka 122 2
2
2
2
3
y
dx
dy
dx
yd
y
3) Jika y =
xx
xx
sincos
sincos
, maka 022
2
dx
dy
y
dx
yd
4) Jika xy = a sin 2x, maka 0422
2
xy
dx
dy
dx
yd
x
Keempat pernyataan di atas yang benar adalah....
A. 1), 2), dan 3)
B. 1) dan 3)
C. 2) dan 4)
D. Hanya 4)

8. E. 1), 2), 3) dan 4)
Jawab:
1) y = xsin
y = (sin x)1/2
dx
dy
y
x
x
xx
sin2
cos
cos.sin
2
1
2
1
1
Misal, u = cos x u = - sin x
v = 2 sin1/2
x v = 2. ½ .sin1/2
x.cos x =
x
x
sin
cos
y
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
dx
yd
2
3
22
2
2
3
2
2
1
2
2
sin4
cossin2
sin4
sin
cos
sin2
sin2
sin
cos
.cossin.sin2
)(011
01)cos(sin
01cossin
01sincossin2
01sin
sin4
cossin2
.sin4
014
22
22
222
4
2
3
22
3
4
2
2
2
benar
xx
xx
xxx
x
x
xx
x
y
dx
yd
y
2) y2
= 1 + sin x

9. y = (1 + sin x) ½
y =
dx
dy
= ½ (1 + sin x) -1/2
.cos x
=
x
x
sin12
cos
Misal, u = cos x u = - sin x
v = 2 (1 + sin x) -1/2
v = (1 + sin x) -1/2
.cos x =
x
x
sin1
cos
y” = 2
2
dx
yd
2
2
1
sin12
sin1
cos
cos)sin.(sin12
x
x
x
xxx
)(1sin1sin
1sin1
)sin1(2
2cos2cos)sin1(sin2
1sin1
)sin1(2
2cos
)sin1(2
2cos)sin1(sin2
1sin1
)sin1(2
2cos
)sin1(2
)sin1(
2cos
)sin1(sin2
1sin1
sin12
cos
2
)sin1(4
sin1
2cos
)sin1(sin2
)sin1(2
122
sin12
sin1
2cos
)sin1(sin2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
benarxx
x
x
xxxx
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
x
y
dx
dy
dx
yd
y
x
x
x
xx
3) y =
xx
xx
sincos
sincos

10. Misal, u = cos x – sin x u = - sin x – cos x
v = cos x + sin x 2
v = - sin x + cos x
y
2
22
2
2222
2
2222
2
)sin(cos
sin2cos2
)sin(cos
sincossincossincossincossincossincos
)sin(cos
)sincossincossincos(sincossincossincos
)sin(cos
)cossin)(sin(cos)cossin)(sin(cos
xx
xx
xx
xxxxxxxxxxxx
xx
xxxxxxxxxxxx
xx
xxxxxxxx
2
2
22
)sin(cos
2
)sin(cos
)sin2(cos2
xx
xx
xx
Misal, u = -2 u = 0
v = (cos x + sin x) 2
v = 2(cos2
x-sin2
x)
y
”
=
4)sin(cos
)sin)(cossin(cos4
)sin(cos
sin(cos2).2(0.)sin(cos
22
222
xx
xxxx
xx
xxxx
022
2
dx
dy
y
dx
yd
0
)sin(cos
2
sincos
sincos
2
3)sin(cos
)sin(cos4
2
xxxx
xx
xx
xx
)(0
3)sin(cos
sin4cos4sin4cos4
benar
xx
xxxx
4) xy = a sin x2
y =
x
xa 2sin

11. y
2
2
2sin2cos2
2sin)2cos2(
x
xaxax
x
xaxax
y
”
3
2sin22cos22sin4
4
2sin22cos22sin4
4
2sin22cos42cos22sin4
4
2).2sin2cos.2(2.2cos)2sin2(2
2
23
223
2
x
xaxxaxxax
x
xaxxaxxax
x
xaxxaxxaxxax
x
xxaxaxaxxaxx
042. 2
2
xy
dx
dy
dx
yd
x
0
2sin42cos22sin4
02sin4
2sin22cos42sin2_2cos22sin4
)2sin(4
2
2sin2cos2
2
3
2sin2_2cos22sin4
2
22
2
2
2
x
xaxxaxxax
xa
x
xaxaxxaxaxxax
xa
x
xaxax
x
xaxaxxax
x
0
2cos2
2
x
xax
(Salah)
Jawaban = A
4. Jika , maka adalah….
A.
B.
C.
D.
E.

12. Pembahasan:
Jawaban : B
5. Jarak yang ditempuh dalam t dari suatu partikel dinyatakan dengan rumus :
. Pada saat kecepatannya 21 maka percepatannya adalah ....
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18
E. 20
Jawab : 12)( 23
ttttS

13. V = 21, maka a = ?
t = 2
Jawaban = C
6. Jika maka …….
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
14321
143
2
2
tt
ttv
)2)(103(
)2(10)2(3
)2010()63(
2043
2
2
tt
ttt
ttt
tt
3
10
t
dx
dv
a
ttv 143 2
16
42.6
4.6 2
t

14. Jawaban = D

15. 7.
A. cosec2
x (cotx + cosec x)
B. -cosec2
x (cotx + cosec x)
C. cot2
x (cosecx + cotx)
D. -cot2
x (cosecx - cotx)
E. -cosec2
x (cosecx - cotx)
Jawab :

16. Jawaban = B
9. Garis singgung lingkaran di titik (1, -1) memiliki
persamaan…..
A. x + 2y = 3
B. x + 2y = -1
C. x + 4y = -3
D. x + 4y = 3
E. x - 4y = 3
Jawab :

17. Jawaban= C
10. Diketahui x
x
xf 2
1
)( . Persamaan garis singgung yang melalui titik berabsis
1 pada kurva tersebut adalah…
a. 343 yx
b. 323 yx
c. 525 yx
d. 525 yx
e. 525 yx
Pembahasan :
x
x
xf 2
1
)(
= 2
1
2
xx
= 2
1
3
2
1
2 xx
= x
x 2
12
3
)1(f =
2
1
2
=
2
5

18. )( 11 xxmyy
1
2
5
0 xy
2
5
2
5
xy
552 xy
552 xy Jawaban : D
11. Fungsi , turun pada interval….
A.
B.
C.
D. atau
E. atau
Pembahasan
Nilai turun apabila
Jadi turun pada interval Jawaban : B

19. 12. Nilai minimum fungsi f(x) =
3
1
x3
+ x2
– 3x + 1 pada interval 0 x 3 adalah ….
A. -
3
5
B. -1
C. -
3
2
D.
2
1
E. 1
Pembahasan:
f(x) =
3
1
x3
+ x2
– 3x + 1
y’ = x2
+ 2x – 3  y’ = 0
(x + 3) (x – 1) = 0
x = -3 x = 1
x = -3 ™, karena intervalnya 0 x 3
f(1) =
3
2
1
3
1
131
3
1
1)1(3)1()1(
3
1 23
Jawaban = C
13. Jika f(x) = 2 sin x + cos x, maka nilai sama dengan ……….
A. 2 D. -1

20. B. 1 E. -2
C. 0
Jawab :
= f’(x) = 2 cos x - sin x
Jawaban = D
14. Titik balik maksimum dari adalah……
A. (3,81)
B. (-3,81)
C. (1,12)
D. (1,5)
E. (-1,5)
Jawab :
(x = 3) (x = -1)
(x = -1) merupakan nilai balik maksimum, jadi
= 5

21. Jadi titik balik maksimumnya adalah (-1,5) Jawaban = E
15.
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
Jawaban = A
16. Diketahui persamaan parameter . Tentukan
dalam.
Jawab :

22. 17. Diketahui persamaan parameter:
x = a ( - sin ) dan y = a (1-cos )
tentukan
dx
dy
dalam
jawab:
x = a - a sin
cosaa
d
dx
y= a – a cos
sin0 a
d
dy
cos1
sin
)cos1(
sin
a
a
d
dx
d
dy
dx
dy
18. Diketahui fungsi
a. Tentuksn batas-batas sehingga kurva monoton :
i. naik
ii. turun
b. Tentukan koordinat titik balik dan jenisnya
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak dalam interval
d. Gambarlah grafik kurva f dalam interval (-3,5)

23. Pembahasan
a. fungsi naik apabila
Jadi fungsi naik pada interval
fungsi turun apabila
Jadi fungsi turun pada interval atau
b. Koordinat titik balik dan jemisnya
Nilai stasioner fungsi diperoleh untuk dan adalah

24. merupakan titik balik minimum
merupakan titik balik minimum
c. Nilai maksimum dan minimum mutlak dalam interval
Untuk →
→
→
→
→
→
→
→
→
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
1
1
8
1
3
2 -
9
-14 -
7
1
8
6
7
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa
 Nilai maksimum dicapai pada titik (5,67)
 Nilai minimum dicapai pada titik (2,-14)

25. INTEGRAL
 Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:
 Rumus – rumus dasar integrasi :
1.
2.
3.
4.
( ) ( )f x dx F x C
1
, 1
1
n
n ax
ax dx C n
n
1 1 2
26 6
6 3
1 1 2
x x
xdx x
3 1 4
3 412 12
12 3
3 1 4
x x
x dx x
1 3
11 32 2
2 2
6 6
6 6 4
1 3
1
2 2
x x
xdx x dx x
1 1 0 1
22 3
(2 3) 3
1 1 0 1
x x
x dx x x

26. 5
1 5 1
7 1
2 2 12 2 2 2 2
2 2
( ) ( 2 ) 2 4
7
x x dx x x x dx x x dx x x
x

27. INTEGRAL
1.Integral Tertentu
 Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva
y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu
 Sifat – sifat integral tertentu
1.
2.
1.Sifat – sifat integral tertentu
3.
4.
5.
( ) ( )
b b
a
a
f x dx Fb FaF x
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( ) ( ) ,
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx a b c
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
( ) 0
a
a
f x dx

28. 6.
Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x
Dengan batas x1=a dan x2=b
Luas Daerah Antara Dua Kurva
 Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:
Metode Integrasi
 Integral dengan Substitusi
contoh:
Diusahakan menjadi bentuk
Substitusi u=2x-3
Cari turunan dari u =
( ) ( )
b b
a a
f x dx f t dt
( )
b
a
L f x dx
( )
b
a
L f x dx
( ) ( )
b
a
L f x g x dx
2 3 ?x dx n
u du
2
du
dx

29. Cari nilai dx:
 Maka:
 Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:
Integral Parsial
 Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk
dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial.
Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk:
Keterangan:
u = f(x) - du = turunan dari u
v = g(x) - dv = turunan v
2
du
dx
1
2 3 .
2
x dx u du
31
2 2
1 1 2
.
2 2 3
u du u C
3
2
1
3
u C
3
2
1
2 3 (2 3)
3
x dx x C
udv uv vdu

30. Contoh:
Jawab:
Jadikan bentuk
Pemisalan:
u = dv =
Cari du dan v
du = 2x dx v =
v =
Masukan ke bentuk
Integral Parsial Tahap 2:
2
3x x dx
udv
3x dx
3x dx
31
2 2
2
( 3) ( 3)
3
x x
udv uv vdu
3 3
2 2 2 2
2 2
3 . ( 3) ( 3) .2
3 3
x x dx x x x xdx
udv uv vdu
3 3
2 2 2
2 4
( 3) ( 3)
3 3
x x x x dx
3
2
( 3)x x

31. VOLUME BENDA PUTAR
 Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume
adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar
secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi.
 Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang
[ a,b ], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai
berikut :
 Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar
terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode
cakram dan kulit tabung.
 Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu
putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan
memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga
cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].
Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :
: Oleh karena itu, volume benda putar :
Dapat juga ditulis
2
b
a
V y dx