Analisis Vektor untuk Mahasiswa Teknik

KKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR
Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi
Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang
sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu
menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu
mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian
dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka.
Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu
mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses
belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih
baik.
Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan
dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa.
Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan
beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai
latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk
membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan
pemahaman yang lebih mendalam.
Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu
penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari
pemakai Buku Ajar ini untuk lebih menyempurnakan penyajian
selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar-
benar bermanfaat.
Malang, Agustus 2003
Penyusun

DDAAFFTTAARR IISSII
KKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR ii
DDAAFFTTAARR IISSII iiii
BBAABB II :: VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN 11
1.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1
1.2 Aljabar Vektor 2
1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4
1.4 Perkalian Antar Vektor 10
1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20
BBAABB IIII :: FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR 2288
2.1 Fungsi Vektor 28
2.2 Kurva Vektor 29
BBAABB IIIIII :: DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR 3344
3.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34
3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35
3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38
3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41
BBAABB IIVV :: IINNTTEEGGRRAALL VVEEKKTTOORR 5566
4.1 Integral Garis 56
4.2 Teorema Green 69
4.3 Medan Gaya Konservatif 76
4.4 Integral Luasan 84
4.5 Teorema Divergensi Gauss 100
4.6 Teorema Stokes 106
DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 111111

DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 1
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
BAB I
VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN
1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor
Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar
(magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan
kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu
benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain
sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan
vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar
(magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan
skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan
analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan
aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi
tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai
segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :
v = ABABAB ==
A = titik pangkal (initial point)
B = titik ujung (terminal point)
Panjang vektor v = v = BA : menyatakan besarnya vektor atau
panjangnya vektor v
dan tanda panah dalam AB menyatakan arah vektor.
A
B
v
POKOK BAHASAN :
! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor
! Aljabar vektor
! Vektor posisi dalam bidang dan ruang
! Perkalian antar vektor
! Penggunaan vektor dalam geometri

Program Semi Que 2
Ada 3 jenis vektor :
a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya
dengan panjang dan arah tetap.
b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang
garis kerjanya, misalnya gaya yang
bekerja sepanjang garis lurus.
c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat
yang menunjukkan posisi tertentu.
Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya
orang bekerja dengan vektor bebas.
1.2. Aljabar Vektor
Vektor nol (null vector)
Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak
tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)
Kesamaan 2 vektor
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang
sama.
Kesejajaran 2 vektor
Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar,
arahnya bisa sama atau berlawanan.
Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.
Penjumlahan vektor
Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran
genjang atau aturan segi banyak (poligon)
Misalnya:
a.
CBA =+
atau
A
B
A
B
C
A
C
B

Program Semi Que 3
b. ⇒ DCBAE +++=
c. 0EDCBA =++++
Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak
tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.
Penggandaan vektor dengan skalar
Jika m = besaran skalar
dan A = vektor yang panjangnya | A |
maka :
m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya
sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan
dengan arah vektor A jika m negatif
Pengurangan vektor
Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari
vektor yang mengurangi
D
A
C
B
A
C
B
D
E
E
A B
C
D

Program Semi Que 4
Jadi: )B(ABA −+=−
⇒
⇒ BAC −=
Jika A = B maka 0BA =−
Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor
Jika C,B,A adalah vektor dan m, n adalah skalar maka
1. BA + = AB+ (komutatif terhadap jumlahan)
2. )CB(A ++ = C)BA( ++ (asosiatif terhadap jumlahan)
3. Terdapat vektor 0 sehingga: AA00A =+=+ (ada elemen netral)
4. Terdapat vektor A− sehingga: 0)A(A =−+ (ada elemen invers)
5. (mn) A = )Am(n (asosiatif terhadap perkalian)
6. )BA(m + = BmAm + (distributif terhadap perkalian)
7. (m + n) A = AnAm + (distributif terhadap perkalian)
8. )A(1 = A (ada invers dalam perkalian)
2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang
Teorema Dasar Dalam Vektor :
Setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai
kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan
vektor nol.
Atau:
C = BnAm + dengan m, n adalah skalar yang tunggal
A
B
A
B−
B−
A

Program Semi Que 5
Bukti :
21 OPOPOPC +==
1OP paralel dengan A sehingga 1OP = Am
C = Am + Bn
2OP paralel dengan B sehingga 2OP = Bm
Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal
maka C akan bisa ditulis sebagai berikut :
C = m1 A + n1 B = C = m2 A + n2 B
(m1 - m2) A + (n1 - n2 ) B = 0
Karena A dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka,
m1 - m2 = 0 → m1 = m2
n1 - n2 = 0 → n1 = n2
Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3),
sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis :
D = m1 A + m2 B + m3 C
dengan A , B dan C adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor
nol dan tidak sebidang.
Dua vektor A dan B dikatakan saling bergantung secara linier (dependent
linear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m A + n B = 0
Kejadian ini akan terjadi jika :
1. A dan B merupakan vektor nol atau
2. A dan B paralel (sejajar)
A
1P
P
2PO
B
C

Program Semi Que 6
Contoh :
Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah
segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan
1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut.
M titik tengah AC
N titik tengah CB
CBACAB +=
)CBAC(CBACCNMCMN 2
1
2
1
2
1
+=+=+=
= AB2
1
sehingga AB//MN dan panjang MN = ½ panjang AB
Vektor satuan (unit vector)
Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.
A
A
=a = vektor satuan dari A
dan A = aA
Vektor basis satuan
Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan i
dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan
sumbu x dan y positif dan berpangkal di O.
y
j
O i x
maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2
Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z
dinyatakan dengan vektor k.
C
NM
A B

Program Semi Que 7
z
k
i j y
x
Vektor posisi
a. Vektor Posisi dalam R2
Jika i dan j adalah vektor-vektor basis di R2 yaitu vektor satuan yang
masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan
berpangkal di titik 0 dalam R2.
Maka sembarang vektor r dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY
selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j .
y
ry j = y j P(X,Y)
r
j
O i rx i = x i x
Sehingga : r = rx i + ry j = x i + y j
rx i = x i ; ry j = y j disebut vektor-vektor komponen
rx = x → komponen vektor r pada sumbu X (proyeksi r ke sumbu X)
ry = y → komponen vektor r pada sumbu Y (proyeksi r ke sumbu
X)
Vektor r = x i + y j disebut vektor posisi titik P , karena komponen-
komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.
Panjang dari r = |r | = 22
yx +

Program Semi Que 8
b. Vektor Posisi dalam R3 :
Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang
masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z
positif dan berpangkal di titik 0.
.
z
P(x,y,z)
r
k
j y
i O
x
r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)
x = proyeksi OP ke sumbu X
y = proyeksi OP ke sumbu Y
z = proyeksi OP ke sumbu Z
Panjang dari r = |r | = 222
zyx ++
Secara umum untuk sembarang vektor A = Ax i + Ay j + Az k dalam R3 ,
berlaku :
Panjang
2
z
2
y
2
x AAAAA ++==
Vektor satuan
2
z
2
y
2
x AAA
A
a
++
=
z
kA z
i
jA y
y
x
iA x
α
β
γ

Program Semi Que 9
Dengan :
" Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor A
" Sudut-sudut γ;β;α yang dibentuk vektor A terhadap sumbu x, y, z positif
disebut arah vektor A
" Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah.
dengan:
A
A
AAA
A
αcos x
2
z
2
y
2
x
x
=
++
=
A
A
AAA
A
βcos
y
2
z
2
y
2
x
y
=
++
= 1γcosβcosαcos 222
=++
A
A
AAA
A
γcos z
2
z
2
y
2
x
z
=
++
=
Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak
1OP = x1i + y1j +z1k
2OP = x2i + y2j + z2k
2121 OPOPPP −=
= (x2i + y2j z2k) – (x1i + y1j z1k)
= (x2 – x1)i (y2 – y1)j + (z2 – z1)k
Sembarang vektor 21PP dalam sistem koordinat bisa dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponen-
komponennya adalah komponen vektor posisi titik ujung dikurangi
komponen vektor titik pangkalnya.
z
)z,y,(xP 1111
)z,y,(xP 2222
O
y
x

Program Semi Que 10
)z(z)y(y)x(xPP 1212
2
1221 −+−+−= = panjang vektor 21PP
SOAL-SOAL
1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari
vektor-vektor
1r = 2i + 4j – 5k
2r = i + 2j + 3k
2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :
A = 3i + 2j + k
B = i + 3j + 5k
C = 2i + j – 4k
akan membentuk sebuah segitiga
3. Ambil sembarang segi 4 ABCD
Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA
Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.
(Cukup dengan membuktikan bahwa PQ = RS atau QR = PS )
1.4. Perkalian Antar Vektor
a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)
Ditulis: θcosBABA =! ; θ = sudut antara vektor A dan B
" "
-
-
∠
∠
!
!
B
Q
C
R
D
S
O
P

Program Semi Que 11
Proyeksi A pada B Proyeksi B pada A
• Sifat Hasil Kali Skalar :
1. ABBA !! =
2.
22
A0cosAAA ==!
3. CABAC)(BA !!! +=+
4. CBCACB)(A !!! +=+
Dalam R3 :
1kkjjii === !!! (krn //)
0ikkjji === !!! (krn ⊥)
Karena :
10cosiiii ==!
090cosjiji =°=!
Jika: A = Axi + Ay j + Azk
B = Bxi + By j + Bzk
k)BjBiB()kAjAiA(BA zyxzyx ++++= !!
zzyyxx BABABABA ++=!
• Sudut Antar 2 Vektor :
Karena θcosBABA =!
A
B
θcosA
θ
θcosB
B
A
θ
z
k
i
j
y
x

Program Semi Que 12
cos θ =
BA
BA !
==>
Contoh :
A = 3i + 6j + 9k
BA ! = 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21
B = -2i + 3j + k
143963A 222
=++=
14132B 222
=++=
2
1
42
21
14.143
21
BA
BA
θcos ====
!
• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel
□ Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––> BA ! atau A ⊥ B
Atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0
□ Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau
jika :
z
z
y
y
x
x
B
A
B
A
B
A
==
• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha
Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan
Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar
θ.dcosFW =
= dF!
Contoh :
Diketahui :
F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang
bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)
Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F
θ = arc cos
BA
BA!
θcosF
F
d
θ
dd =

Program Semi Que 13
Jawab:
dFW !=
d = (2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + k
W = (2i + 2j – 4k) ! (2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha
b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product
Ditulis: CBA =× hasilnya berupa vektor
Dengan θsinBABA =×
Arah dari BA× ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau
sekrup putar kanan.
Sifat hasil kali vektor:
" A × B ≠ B × A
A × B = –(B × A) anti komutatif
" (kA) × B = k(A × B) = A (kB)
" A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C)
Dalam R3
θsiniiii =×
dengan cara yang sama
i × i = j × j = k × k = 0
190sinjiji =°=×
C
A
θ
C
A
B
θ
B
B
A
BA×
AB×
z
k
i
j
y
x

Program Semi Que 14
sehingga: i × j = k ; j × k = i; k × i = j
j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j
Jika : A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
BA× = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)
= (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k
atau:
BA× =
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
dan
( )( ) ( )2
BABBAAθsinBAB !!! −==×A
Contoh :
A = 2i – j + k
B = i – 3j + 4k
AA ! = 22 + 32 + 42 = 6
BB! = 2 + 3 + 4 = 9
k5j7i
)16(k)1j(83)4(i
43-1
11-2
kji
BA −−=
+−+−−+−=
=×
7525491571BA 222
=++=++=×
Aplikasi dari Hasil Kali Vektor
" Menghitung Torsi/Momen
Dalam mekanika momen/torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan
sebagai:

Program Semi Que 15
dFm = F
dengan
d = jarak (dalam arah ⊥)
antara titik Q ke garis gaya F
Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik
sembarang pada garis gaya F
Maka d = θsinr ; θ = sudut antara r dengan F
dan
rFθsinrFm ×==
Jika Mm = , maka
M = rF× = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q
Contoh :
Tentukan vektor momen dari gaya F
terhadap titik O
Jawab:
F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k
r = (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k
'
y
r
F
' ' '
x
0
(2,1)
(4,-2)
d
Q
d
Q
F
L
r
θ θ

Program Semi Que 16
8k6)k(2j(0)i(0)
012
03-2
kji
M =++−==
864M ==
c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)
Jika:
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
C = Cx i + Cy j + Cz k
k
BB
AAj
BB
AAi
BB
AACA
yx
yx
zx
zx
zy
zy +−=×
z
yx
yxy
zx
zxx
zy
zy
C
BB
AAC
BB
AAC
BB
AACBA +−=× !
=
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
→ disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar.
Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:
1. ( ) ( ) BACACBCBA !!! ×=×=×
sehingga:
( ) ( )CBACBA ×=× !!
Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya
letak tanda × dan ! nya tidak mempengaruhi hasilnya.
Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.
Sehingga:
CABCABCBA ×−=×−=× !!!
2. Hasil kali skalar tripel: 0CBA =× ! bila dan hanya bila CdanB,A
sebidang.

Program Semi Que 17
Bukti:
a. 0CBA =× ! ⇒ CdanB,A sebidang
Jika 0CBA =× ! maka CBA ⊥× atau
salah satu dari CatauB,A vektor nol
Berarti:
i. Apabila salah satu dari CatauB,A vektor nol, maka pasti
CdanB,A sebidang
ii. Apabila CBA ⊥× maka C bisa diletakkan sebidang dengan
BdanA sehingga CdanB,A sebidang
b. Jika CdanB,A sebidang ⇒ 0CBA =× !
Jika CdanB,A sebidang, maka CBA ⊥× sehingga 0CBA =× !
• Arti Geometris Dari CBA !×
Diberikan vektor CdanB,A
A = OA
B = OB
C = OC
C
B
O A
BAP ×=
BA× = luas jajaran genjang OADB
CBA !× = CP ! = θcosCP

Program Semi Que 18
θcosC = tinggi C di atas bidang OADB
Jadi CBA !× = volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG
yang disusun oleh CdanB,A
Catatan:
Luas jajaran genjang OABC =
'AAOB = θsinOAOB
= OAOB×
Contoh :
Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) 0BACABA =+×++ !
Bukti:
Misalkan uBA =+
vCA =+
Maka : uvu ×! = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u
Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga
vektor tersebut sebidang sehingga : uvu ×! = 0
d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)
Hasil kali vektor tripel adalah :
( ) CBA ××
( )CBA ××
Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak
kurangnya ditukar.
Misalkan :
(i × i) × j = 0 × j = 0
i × (i × j) = i × k = –j
A'
B
C
A
0 θ )

Program Semi Que 19
Sifat Hasil Kali Vektor Triple :
1. ( )CBA ×× ≠ ( ) CBA ××
2. ( )CBA ×× = ( )BCA ! – ( )CBA !
( ) CBA ×× = ( ) ( )ACBBCA !! −
Contoh :
1. Jika: A = 2i + 2j – k
B = i + j + k
C = 3i + j – 2k
Hitung : ( ) CBA ×× ; ( )CBA ××
Jawab:
a.
kji
kjikji
BxA
43
)22()12()12(
111
222
−−=
−−++−−=
−
=
kji
kjikji
CxBxA
101010
)91()122()46(
213
431)(
+−=
+++−−+=
−
−−=
b.
kji
kji
kji
CB
45
)31()32()12(
213
111
++=
++−−−−=
−
−=×
kji
kji
kji
CBA
8913
)210()18()58(
451
122
+−=
−++−+=
−=×!
2. Buktikan : )AB)(AA()]BA(A[A ×=××× !
Bukti : Misalkan CBA =×
Maka ( )CBA ×× = ( ) ( )CAAACA !! −
= ( ) ( )( )BAAAABCA ×−× !!

Program Semi Que 20
= ( ) ( )( )BAAAA0 ×− !
= ( )( )BAAA ×− !
= ( )( )ABAA ×!
1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri
a. Persamaan Garis
Dalam R3:
Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan
sebuah vektor v = Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan
semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga PP1 sejajar dengan v
Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila PP1 = vt
dengan t adalah suatu skalar.
Atau:
(x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck)
= t Ai + tBj + tCk
Ini berarti :





=−
=−
=−
tCzz
tByy
tAxx
1
1
1
Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel
dengan vektor v .
tCzz
tByy
tAxx
+=
+=
+=
1
1
1
"
),,( zyxP
),,( 111 zyxP
CkBjAiV ++=

Program Semi Que 21
Atau:
Persamaan standard garis yang
melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel
dengan CkBjAiv ++=
Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C
merupakan bilangan arah garis.
Jika salah satu dari A, B dan C nol
Mis. A = 0 maka x – x1 = 0
x = x1
Persamaan standardnya ditulis :
C
zz
B
yy 11 −
=
−
; dan x = x1
Contoh :
Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6)
⇒
Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k
Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu
yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka
Persamaan standard garis:
5
1z
3
4y
2
5x −
=
−
−
=
−
−
Atau:
3
4y
2
5x
−
−
=
−
−
⇒ 3x – 2y – 7 = 0 ∴Persamaan standard garis:
5
1z
3
4y −
=
−
−
⇒ 5y – 3z – 17 = 0
01735
0723
=−−
=−−
zy
yx
Persamaan parameter garis:
tz
ty
tx
51
34
25
+=
−=
−=
t =
C
xx
B
xx
A
xx 321 −
=
−
=
−

Program Semi Que 22
Dalam R2 :
Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m maka
vektor arah garis : l = i + mj
b. Persamaan Bidang
Vektor N ⊥ bidang W sehingga N
disebut Vektor Normal dari bidang w
Jika N = Ai + Bj + Ck
PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k → PQ terletak pada bidang W
Sehingga PQ ⊥ N ⇒ 0PQN =!
Atau:
→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N =
Ai + Bj + Ck
Contoh :
1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ;
R(2,4,3).
⇒ bidangpadaterletakPRdanPQvektor
k2j2iPR
k4jiPQ




++−=
+−=
kj6i10
221
411
kji
PRPQN ++−=
−
−=×=
∴ Persamaan bidang:
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
–10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0
–10x – 6y + z + 41 = 0
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
),,( 111 zyxP
),,( zyxQ
N
W )

Program Semi Que 23
" Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:
dengan N = Ai + Bj + Ck
2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2);
tegak lurus pada bidang u = 2x + 3y + z = 8 dan
tegak lurus pada bidang v = x – y + 3z = 0
⇒ u = 2x + 3y + z = 8 → UN = 2i + 3 j + k
v = x – y + 3z = 0 → VN = i – j + 3k
Dicari bidang w yang ⊥ bidang u dan v , berarti wN ⊥ uN dan VN
Atau
k5j5i10
311
132
kji
vNNN uw ++=
−
=×=
Persamaan bidang w:
10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0
10x – 5y – 5z – 45 = 0
2x – y – z = 9
c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang
Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan
V = Ax + By + Cz + D = 0
→ Normal bidang vN = Ai + Bj + Ck
Jika A ≠ 0 ⇒ Titik 





− 0,0;
A
D
Q terletak pada bidang tersebut.
tksji
A
D
rQPk ++





+==
Ax + By + Cz + D = 0

Program Semi Que 24
P(r,s,t)
N θ
k
d
Q(-D/A,0,0)
θ = sudut antara N dan k
sehingga θcoskd =
N
kN
ddNkNkN
!
! =⇒== θcos
sehingga:
222
CBA
CtBs
A
D
rA
d
++
++





+
=
atau
Jarak titik P(r,s,t) ke bidang
Ax + By + Cz + D = 0
Contoh :
Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2)
B = (6,4,3)
C = (0,5,1)
⇒ AC = -2i + j + k
AB = 4i + k
Normal bidang ACABN ×=
k4j21
112
104
kji ++−=
−−
=
∴ Persamaan bidang ABC
222
CBA
DCtBsAr
d
++
+++
=

Program Semi Que 25
–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0
–x + 2y + 4z – 14 = 0
Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0
21
146!105
1641
14)4(4)5(2)5(1
dd
−++−
=
++
−++−
== =
21
7
d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang
Diberikan bidang v dengan normal vN
Diberikan bidang w dengan normal wN
(w
v) vN
"
wN
Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah
garis tersebut akan ⊥ dengan vN maupun wN
Sehingga jika vektor arah garis tersebut " maka wNvN ×="
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang
2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7
⇒
v = 2x + y – 2z =5 → Nv = 2i + j – k
w = 3x + 6y – 2z =5 → Nw = 3i + 6j – 2k
Vektor arah garis:
k15j2i14
263
212
kjiwNvNL −−−=
−−
−
=×=

Program Semi Que 26
Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang.
(i) 2x + y + 2z = 5
(ii) 3x – 6y – 2z =7
–––––––––––– –
–x + 7y = –2
Misalkan diambil : y = 0 → –x = –2
x = 2
(i). 2(2) + 0 – 2z = 5
–2z = 5 – 4
z = – ½
Titik (2,0,-½ ) terletak pada garis
potong 2 bidang.
Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :
15
z
z
0y
14
2x 2
1
−
−
=
−
−
=
−
−
e. Sudut Antara Garis dan Bidang
Jika:
"" garisarahvektorckbjai →++=
0DCkByAxvbidangnormalCkBjAiN =+++=→++=
"
N
v) θ
φ
)cba)(CBA(
CcBbAa
N
N
θcos
222222
++++
++
==
"
"!
sin φ = sin (90 – θ)

Program Semi Que 27
=
)cba)(CBA(
CcBbAa
θcos
222222
++++
++
=
Sehingga sudut antara garis " dengan vektor arah ckbjai ++=" dengan
bidang v dengan normal bidang CkBjAiNv ++= adalah
)cba)(CBA(
CcBbAa
arcsin
222222
++++
++
=φ

Program Semi Que 28
BAB II
FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR
2.1 Fungsi Vektor
Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A
bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor
yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.
Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan,
A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j
Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan,
A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3 (t) k
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3
dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor sebagai berikut:
A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) k
Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu
partikel dalam ruang.
Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor,
maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor,
misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu
ruangan.
Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi
skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu
vektor disebut medan skalar.
Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu
ruang atau batang besi, pada suatu saat.
POKOK BAHASAN :
! Fungsi Vektor
! Kurva Vektor

Program Semi Que 29
2.2 Kurva Vektor
Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa
disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
= x(t)i + y(t)j + z(t)k
Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang
posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan
z(to).
Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian
parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam
mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan
detik.
CONTOH: – Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor
a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus
Dengan persamaan parameter garis lurus
Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisa
disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
" r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ; untuk t = 0 → t = t
dan
33
22
11
tba)t(y
tba)t(y
tba)t(x
+=
+=
+=
dengan
a = a1 i + a2 j + a3k → vektor posisi titik A(a1, a2, a3)
yang terletak pada garis l.
b = b1 i + b2 j + b3k → vektor arah garis l
Jadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang
melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai
dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka
komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah
l. Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l
terhadap titik A.

Program Semi Que 30
Contoh:
1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang
melalui titik A(3,2) dengan gradien 1,
⇒
a = 3i + 2j
b = i + j (garidien 1)
sehingga: x(t) = 3 + t
y(t) = 2 + t dan
r(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)j
Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut:
Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1
adalah :
y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1
Jika, x(t) = t
untuk t = 2 → t = t
y(t) = t – 1
Maka r(t) = x(t)I + y(t)j = ti + (t – 1)j
2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik
B(3,-4,1)
⇒
Titik awal (1,0,3) ––→ a = i + 0j + 2j
Vektor arah garis b = (3 – 1)I + (– 4 – 0)j + (1 – 2)k
= 2i – 4j – k
x(t) = 1 + 2t
y(t) = 0 – 4t
z(t) = z – t
r(t) = (1 + 2t) i – 4tj + (2 – t)k
t = 0 → t = 1
b. Parabola
(1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2

Program Semi Que 31
-2 2
y
x
2
xy =
x(t) = t (x = t)
y(t) = t2 (karena y = x2)
Sehingga :
r(t) = ti + t2j , dengan t = -2 → t = 2
(2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R3
x(t) = t ; t = 0 → t = 2
y(t) = t2
z(t) = 2
r(t) = ti + t2j + 2k
c. Ellips/Lingkaran
Persamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:
cz,1
b
y
a
x
2
2
2
2
==+ di R3
2
z

Program Semi Que 32
z
y
x
1
1
dibawa ke bentuk parameter, dengan :
x (t) = a cos t
y (t) = b sin t
z (t) = c
sehingga bentuk fungsi vektornya menjadi:
r(t) = a cos t i + b sin j + c k
Jika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:
1
r
y
r
x
2
2
2
2
=+ atau x2 + y2 = r2 ; z=c di R3
dan persamaan fungsi vektornya :
r(t) = r cos t i + r sin t j + c k
d. Helix Putar
Helix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang
terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak pada
silinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:
r(t) = cos i + a sin t j + ct k (c ≠0)
Jika c > 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kanan
Jika c < 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri
Misalnya:
Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari
helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y2 = 1 dan berjarak
vertikal 2π, artinya jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar

Program Semi Que 33
dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakan
kelipatan 2π.
Z
Y
X
a. Helix putar kanan b. Helix putar kiri
Z
Y
X

Program Semi Que 34
Bab III
DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR
3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor
Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:
(t)A'
dt
d
Δt
A(t)Δt)A(t
0Δt
lim
==
−+
→ ada
Dalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t)
Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k,
Maka
kji
kji
(t)A'(t)A'(t)A'
dt
dA
dt
dA
dt
dA
(t)A'
321
321
++=
++=
Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:
skalarataukonstanta(ccA'(cA)' == )
B'A'B)'(A +=+
B'ABA'B)'(A !!! +=
B'ABA'B)'(A ×+×=×
)C'B(AC)B'A(C)B(A'C)'B(A ++=
Derivatif Parsial Fungsi Vektor
Untuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari dua
variabel atau lebih, misalnya:
A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k
maka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau z
sebagai berikut:
kji
x
A
x
A
x
A
x
A 321
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
kji
y
A
y
A
y
A
y
A 321
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
POKOK BAHASAN :
! Derivatif atau turunan dari fungsi vektor
! Interpretasi dari derifatif vektor
! Gradien, divergendi dan curl
! Penggunaan gradien, divergendi dan curl

Program Semi Que 35
kji
z
A
z
A
z
A
z
A 321
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
CONTOH:
Diberikan fungsi vektor:
φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k
⇒
x∂
∂φ
= a sin x i + a cos x j
y∂
∂φ
= k
• Jika φ = fungsi skalar
A, B = fungsi vektor ; maka:
a. A
dt
d
dt
dA
)A(
dt
d φ
+φ=φ (A dan φ merupakan fungsi t)
b. B
x
A
x
B
A)BA(
t
!!!
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
(A dan B merupakan fungsi x,
y dan z)
c. B
x
A
x
B
A)BA(
x
×
∂
∂
+
∂
∂
×=×
∂
∂
(A dan B merupakan fungsi x,
y, dan z)
3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor
a. Interpretasi geometris
Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka:
1. Derivatif dari kurva C di P, atau
kji
dt
z(t)d
dt
y(t)d
dt
x(t)d
dt
r(t)d
(t)r' +===
merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva C di P.
2. u =
r'
r' …………………..→ vektor singgung satuan (unit tangent)

Program Semi Que 36
)(' 0tr
)(: trC
P
0tt ====
3. ∫=
b
a
dtr'r'!i → panjang kurva C, ≤ t ≤ b (length of a
curve)
4. ∫=
t
a
dtr'r's(t) ! → panjang busur a ≤ t (arc length of a
curve)
CONTOH:
Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai
berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2 , maka:
a) vektor singgung dari kurva di t =
2
π
adalah
2
π
ttcos2sin t-2(t)r' =+= ji
= -2i
b) i
i
i
i
−==
−
=
2
2-
2
2-
u
c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):
∫∫ +=
2π
o
2
2π
o
dt4costtsindtr'r'!
= ∫∫ =
2π
o
2π
o
dt4dt4

Program Semi Que 37
= 4π2t 2π
o =
b. Interpretasi dalam mekanika
Jika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor
maka:
"
dt
tdr
rv
)(
'== → merupakan vektor kecepatan di suatu
titik t.
"
dt
ds
r'r'v == ! → laju (speed) atau besarnya kecepatan
di sautu titik t.
" a(t) = v'(t) = r''(t) → vektor percepatan
CONTOH :
1. Gerak Rotasi
Jika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j
⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar
berlawanan dengan arah jarum jam.
• Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut.
v(t) = r'(t) = Rω sin ωt i + Rω cos ωt j
• Kecepatan sudut (kecepatan angular)
ω
R
Rω
ωtcosωRωtsinωR
R
v 222222
==++=
• Vektor percepatan
= a = v' = –R ω2t i – R ω2 sin ωt j
= - 2 r(t)
Jadi,
| a | = | -ω r(t)| = ω2 R → percepatan centripetal (dengan arah
menuju pusat lingkaran)
2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan
vektor percepatan a = 2 i – 2 k, jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan
vektor kecepatan awalnya v(0) = j

Program Semi Que 38
⇒
∫∫ ∫ +−+++=−++= kctjcictkdtjdtidttv )2()2(202)( 321
∫ ∫ ∫ +−+++= kdtcjdtcidtcttr )2()2()( 321
kctctjctcictct )()()( 63
2
5241
2
++−+++++=
Kecepatan awal :
0,1,0)0()0()0( 321321 ===→=++++= cccjkcjcicv
ktjittv 22)( −+=∴
Posisi awal : kjir 2)0( ++−=
kccjcciccr )0.0()0.()0.0()0( 63
2
5241
2
++−+++++=
2,1,12... 654654 ==−=→++−=++= ccckjikcjcic
ktjtittr )2()1()1()( 22
+−+++−=∴
3.3 Gradien, Divergensi Dan Curl
Didefinisikan suatu operator vektor ∇ (dibaca del atau nabla) sebagai
berikut:
kjikji
zyxzyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
Jika φ = φ (x,y,z) adalah fungsi skalar, dan
A = (x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k
adalah fungsi vektor yang mempunyai turunan pertama yang
kontinu di suatu daerah.
Maka :
1. GRADIEN dari φ (x,y,z) didefinisikan dengan
grad ∇φ=φ = 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
k
y
j
x
i
=
z
),,(
y
),,(
x
),,(
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂ zyx
k
zyx
j
zyx
i
= k
zyx
j
zyx
i
zyx
z
),,(
y
),,(
x
),,(
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂

Program Semi Que 39
2. DIVERGENSI dari A(x,y,z):
div AA !∇= =
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
kji
=
z
)zy,x,(A
y
)zy,x,(A
x
)zy,x,(A 321
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
3. CURL atau ROTASI dari A(x,y,z):
Curl A = ∇ × A = ( )kjikji 321 AAA
zyx
++×





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
321 AAA
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
kji
213132 AA
yx
AA
zx
AA
zx ∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂−
∂
∂
∂
∂= kji
= kji 





∂
∂
−
∂
∂
−





∂
∂
−
∂
∂
−





∂
∂
−
∂
∂
y
A
x
A
z
A
y
A
z
A
y
A 121323
4. Operator Laplace (LAPLACIAN) ∇2 dari φ
∇2 φ = div (∇φ) = div (grad φ)
= 





∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
kjikji
zyxzyx
!
= φ





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyxzyx
Rumus-Rumus :
Jika A, B fungsi vektor
U,V fungsi skalar, maka
1. ∇ (U + V) = ∇U + ∇V atau grad (U + V) = grad U + grad V
2. BdivAdivB)(AdivatauBAB)(A +=+∇+∇=+∇ !!!

Program Semi Que 40
3. BcurlAcurlB)(AcurlatauBAB)(A +=+×∇+×∇=+×∇
4. )A(UAU)()UA( !!! ∇+∇=∇
5. )A(UAU)()UA( ×∇+×∇=×∇
6. )B(AA)(B)BA( !!! ∇−∇×=×∇
7. B)A(B)BA()A(BA)B()BA( !!!! ∇+−∇−∇=××∇
8. B)(AA)(BB)A(A)B()BA( ×∇×+×∇×+∇+∇=∇ !!!!
9. 2
2
2
2
2
2
2
z
U
y
U
x
U
U)U(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇∇! disebut Laplace dari U
dan 2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ disebut Operator Laplace
10. ∇ × (∇U) = 0 → curl dari gradien U = 0
11. 0)A( =×∇∇! → divergensi dari curl A = 0
12. 2
A)A()A( ∇−∇∇=×∇×∇ !
CONTOH:
Misalkan φ = x2 yz3 fungsi skalar
A = xz i – y2 j + 2x2 y k fungsi vektor
a. φ∇=φgrad = kji
zyx ∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
= 2xyz3 i + x2 z3 j + 3x3 yz2 k
b. AAdiv !∇= = )yx2yxz(
zyx
22
kjikji +−





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
!
= z – 2y + 0 = z – 2y
c. AAcurl ×∇= =
y
kji
22
x2yxz
zyx
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= i (2x2 – 0) – j (4xy – x) + k (0 – 0)
= 2x2 i – (4xy – x) j

Program Semi Que 41
d. A)(div φ = A)(φ∇!
= )y2xy-xz(yzx
zyx
2232
kjikji +





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
!
= kji )zyx(
x
)zyx(
y
)yz(x
x
32433243
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
= 3x2yz4 i – 3x2y2z3 j + 6x4 y2z2 k
e. ( ))x2yxz(yzxA)(A)(curl 2222
kji +−×∇=φ×∇=φ
32423233
zy2xzyx-yzx
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
= kji
= (4x4yz3 + 3x2 y3 z2) i – (8x3 y2 z3 – 4x3 yz3) j + (–2xy3z3 – x3z4) k
3.4 Penggunaan Gradien, Divergensi dan Curl
a. Derivatif berarah (directional derivatve)
Misalkan temperatur sembarang titik (x,y,z) dalam sebuah ruangan
adalah T(z,y,z). besarnya T(x,y,z) tergantung pada posisi x, y, z dalam
ruang tersebut. sehingga temperatur di suatu titik tertentu mungkin
akan berbeda dengan temperatur di titik lainnya. Karena adanya
perbedaan temperatur ini, maka bisa ditentukan besarnya rata-rata
perubahan (laju perubahan) temperatur dari satu titik ke titik lainnya
persatuan jarak (panjang). Besarnya laju perubahan temperatur
sesaat di suatu titik, akan tergantung pada arah geraknya, atau ke
titik mana yang akan dituju. Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebut
dengan derivatif berarah (directional derivative)
Cara menentukan derivatif berarah:
Diberikan suatu medan skalar yang dinyatakan fungsi (x,y,z).
Besarnya laju perubahan dari fungsi (x,y,z) di titik (x0, y0, z0) persatuan
jarak (panjang), dengan arah gerak tertentu, misalkan vektor arah
satuannya u = ai + bj + ck, bisa ditentukan sebagai berikut,

Program Semi Que 42
tankons====φφφφ
φφφφ∇∇∇∇
)θθθθ
u
φφφφ
φφφφ
uDatau
uarahdalam
ds
d
Persamaan garis melalui titik (x0, y0, z0) dengan vektor arah satuan u
= ai + bj + ck, bisa dinyatakan dalam bentuk parameter
szz
bsyy
asxx
o
o
o
c+=
+=
+=
Sehingga sepanjang garis tersebut, x, y, z akan merupakan fungsi dari
satu variabel s. Jika x, y, z di atas didistribusikan dalam fungsi φ (x, y, z),
maka φ akan merupakan fungsi dari s, artinya sepanjang garis gerak di
atas φ merupakan fungsi dari satu variabel s, sehingga
ds
dφ
bisa
dihitung.
φ=
φ
u
u
D
ds
d
= c
z
b
y
a
xds
dz
zds
dy
ysd
dx
x ∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
=
∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
= ( )"#"$%
""" #""" $% u
cba
zyx
kjikji ++=
φ∇






∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
Jadi,
ugraduD
ds
d
u
u
!! φ=φ∇=φ=
φ

Program Semi Que 43
Definisi perkalian skalar, diperoleh:
θcosuu
ds
d
u
φ∇=φ∇=
φ
! ; θ adalah sudut antara ∇φ dan vektor u
Karena u vektor satuan, maka | u | = 1, jadi
θcos
ds
d
u
φ∇=
φ
nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0°,
yaitu jika u searah dengan ∇φ.
Harga maksimum dari
uds
dφ
adalah φ∇
CONTOH:
1. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f = 2xy – z2 di titik (2, –1, 1) dalam
arah menuju titik (3, 1, -1). Dalam arah manakah derivatif berarah ini
akan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumnya.
⇒
a. Vektor arah titik (2, -1,1) menuju (3,1,-1) = (3–2)i + (1+1)j + (-1-1)k = i +
2j – 2k.
Vektor arah satuan = u =
3
22
441
22 kjikji −+
=
++
−+
3
2
zyx
f
kji
kji
++
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
= 2y i + 2x j – 2z k
(2,-1,1)ufD = (2,-1,1)f∇
=
3
22
)z2x2y2(
kji
kji
−+
−+ !
= )1,1,2(3
1
)4x4y2( −++
= 33,3)482( 3
10
3
1
==++−
b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah geraknya searah dengan
∇f, dan besarnya nilai maksimum =
1),1,2(
222 624164
4z4x4yf
−
=++=
++=∇

Program Semi Que 44
2. Jika (x,y,z) dalam ruangan pada suatu waktu tertentu. Tentukan laju
pertumbuhan temperatur sesaat di titik (2,-1,-1) jika bergerak ke arah
titik (3,1,3)
⇒
Vektor arah satuan = u = )22(
3
1
441
22
kji
kji
++=
++
++
Laju perubahan temperatur di titik (2, -1, 1) dengan arah u =
1)(2,-1,ufD = )22(
3
1
)yzxy( 32
kji +++∇ !
= ]22[
3
1
)yz3)zxy2(y[ 222
kjikji +++++ !
=
3
11
)6281(
3
1
=−+−
Tanda negatif menunjukkan perubahan yang menurun artinya terjadi
penurunan suhu jika bergerak dari titik (2, -1, 1) ke titik (3,1,3).
b. Gradien sebagai vektor Normal Luasan
Misalkan f(x,y,z) = C adalah persamaan luasan S dalam ruang (R3) dan
fungsi vektor r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k adalah persamaan kurva yang
terletak pada luasan S. Karena r(t) terletak pada f(x,y,z) = C, maka
berlaku
F[x(t), y(t), z(t)] = C
dan
0
t
C
t
z
z
f
t
y
y
f
t
x
x
f
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
0
dt
dz
dt
dy
dt
dx
z
f
y
f
x
f
=





++





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
!kji
0
dt
r(t)d
f =∇ ! → (t)]t'
dt
r(t)d
[f =⊥∇

Program Semi Que 45
P
)(tr
f∇∇∇∇
)(' tr
Karena r(t) merupakan persamaan kurva pada luasan s, maka r'(t) =
dt
dr
merupakan singgung kurva r(t), yang berarti vektor singgung
luasan S di titik tertentu. Jadi, ∇f ⊥ vektor luasan ——> berarti ∇f
merupakan vektor normal luasan S di suatu titik.
Dan
f
f
n
∇
∇
= = vektor normal satuan.
CONTOH:
Tentukan vektor normal dari kerucut putaran:
z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1,0,2).
⇒
Persamaan luasan dalam bentuk f(x,y,z) = 0 adalah
f(x,y,z) = 4(x2 + y2) – z = 0
(1,0,2)
222
z8y8x8)z)y(4(xf kji ++=−+∇=∇
= 8i – 4k
5
2
80
48
1664
48
f
f
n
kikiki −
=
−
=
+
−
=
∇
∇
=

Program Semi Que 46
c. Penggunaan lain dari Gradien
Misalkan A adalah suatu partikel dengan massa M yang terletak
pada titik tetap Po(xo, yo, zo) dan B adalah suatu partikel bebas
dengan massa m yang berada pada posisi P(x,y,z) dalam suatu ruang,
maka B akan mengalami gaya tarik dari partikel A. menurut hukum
Newton tentang gravitasi, arah gaya p adalah P menuju Po, dan
besarnya sebanding dengan 1/r2, antara P dengan Po.
Sehingga,
2
p
r
c
= c = GMm
G = 6,67 = konstan
dan 2
o
2
o
2
o )z(z)y(y)x(xr −+−+−= ; r ≥ 0
Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang.
Jika vektor jarak dari P ke Po,
r = (x – xo)i + (y – yo)j + (z – zo)k ; | r | = r
dan
r
r
r
r
−=− = vektor satuan arah dari p
(tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)
maka
vektor p = rrc
r
r
rc )/()/(p
r
r 32
==−=−
= kcjcic 3
o
3
o
3
o
r
zz
r
yy
r
xx −
−
−
−
−
−
———> fungsi vektor yang menyatakan gaya tarik
menarik antara dua partikel.
Jika fungsi skala f(x,y,z) = c/r ; r ≥ 0
merupakan potensial dari medan gravitasi tersebut, ternyata bisa
dibuktikan bahwa grad f = p sebagai berikut:
grad f =
2
o
2
o
2
o )z(z)y(y)x(x
c
yyx −+−+−






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
kji
= +
−+−+−
−
ic2/32
o
2
o
2
o
o
])z(z)y(y)x2[(x
)x2(x-

Program Semi Que 47
+
−+−+−
−
jc2/32
o
2
o
2
o
o
])z(z)y(y)x2[(x
)y2(y-
+
−+−+−
−
kc2/32
o
2
o
2
o
o
])z(z)y(y)x2[(x
)z2(z-
= kc
r
jc
r
ic
r 3
o
3
o
3
o zzyyxx −
−
−
−
−
−
= p
Selain itu bisa dibuktikan bahwa:
5
2
o
32
2
)x3(x11
x rrr
−
+=





∂
∂
5
2
o
32
2
)y3(y11
y rrr
−
+=





∂
∂
5
2
o
32
2
)z3(z11
z rrr
−
+=





∂
∂
Jika dijumlahkan menjadi:






∂
∂
+





∂
∂
=





∂
∂
rrr
1
z
1
y
1
x 2
2
2
2
2
2
=
= 5
2
o
2
o
2
o
3
)z(z)y(y)x(x
3
3
rr
−+−+−
+
= 03
3
5
2
3
=+
r
r
r
Sehingga, karena f = c/r maka
0fatau0
z
f
y
f
x
f 2
2
2
2
2
2
2
=∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Jadi medan gaya yang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan
merupakan fungsi vektor (p) yang merupakan gradien dari fungsi
skalar f (potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat ∇2f = 0
Dalam elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua partikel bermuatan
Q1 dan Q2 adalah
r
r
k
3
p = (Hukum Couloumb)

Program Semi Que 48
dengan:
πε
=
4
QQ
k 21
; ε = konstanta elektrik
Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f = – k/r ; dengan
∇2f = 0
CONTOH:
Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah
V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan gaya listrik di titik P (2,5).
⇒
Vektor gaya elektrostatik p = grad V
)52(
29
60
yx
2y
30
yx
2x
30p )5,2(2222
jiji +==
+
+
+
=
∴ Arah gayanya searah dengan arah vektor p
Penggunaan Difergensi
Dalam aliran fluida:
Perhatikan suatu aliran tak tunak (non-steady state) dari fluida
termampatkan (compressible fluid), misalnya gas atau uap, dalam suatu
ruangan. Karena termampatkan, maka besarnya (densitas massa =
massa persatuan volume) akan tergantung pada koordinat x, y, dan z.
Dan karena alirannya tak tunak maka juga tergantung pada t
(berubah-ubah dari waktu ke waktu). Jadi = (x,y,z,t). Misalkan v(x,y,z) =
v1i + v2j + v3k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu
titik (x, y, z)
Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil
dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut.

Program Semi Que 49
z
y
x
2vρρρρ
33 vv ρρρρρρρρ ∆∆∆∆++++
3vρρρρ
1vρρρρ
z∆∆∆∆
x∆∆∆∆
y∆∆∆∆
)W
Karena terdapat aliran fluida yang compressible dalam ruangan
tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa
fluida. Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam volume
W, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya selisih massa fluida
sebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu.
Jika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari W
Selama ∆t ≈ [komponen vektor kecepatan yang ⊥ dengan masing-
masing sisi W] × ρ × [luas permukaan sisi tersebut] × [∆t)
= fluks massa fluida pada masing-masing sisi W.
Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melalui
W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa yang keluar
dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masing-masing sisi
W.
" Fluks massa yang masuk selama ∆t melalui:
– sisi kiri = ρv2 ∆x ∆z ∆t
– sisi belakang = ρv1 ∆y ∆z ∆t
– sisi bawah = ρv3 ∆x ∆y ∆t
" Fluks massa yang keluar selama t melalui:

Program Semi Que 50
– sisi kanan = (ρv2 + ρv2) ∆x ∆z ∆t
– sisi depan = (ρv1 + ρv1) ∆y ∆z ∆t
– sisi atas = (ρv3 + ρv3) ∆x ∆y ∆t
Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan
Volume = (Σ yang keluar - Σ yang masuk)/volume/waktu
=
)t(zyx
tyxvtzxvtzyv 321
∆∆∆∆
∆∆∆ρ∇+∆∆∆ρ∇+∆∆∆ρ∇
=
z
v
y
v
x
v 321
∆
ρ∇
+
∆
ρ∇
+
∆
ρ∇
Karena volume W diambil sangat kecil, maka ∆x → 0
∆y → 0
∆z → 0
Jadi, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan
volume dalam ruangan =
z
v
y
v
x
v
z
v
y
v
x
v 321321
0
0
0
lim ∂
∇
+
∂
∇
+
∂
∇
=





∆
∇
+
∆
∇
+
∆
∇
→∆
→∆
→∆
ρρρρρρ
z
y
x
= )vvv(
zyx
321 kjikji ρ∇+ρ∇+ρ∇





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
!
= vρ∇!
= )v(div ρ
Sementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa
fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju
perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau =
t∂
ρ∂
Jadi,
t
vdiv
∂
ρ∂
=ρ
Atau

Program Semi Que 51
0
t
vdiv =
∂
ρ∂
+ρ
———→ merupakan persamaan kontinuitas dari aliran
non-steady state dari fluida termampatkan
Jika alirannya tunak (steady state), yang berarti bahwa densitas
massanya tidak tergantung pada t (tidak berubah dari waktu ke waktu),
maka:
0
t
=
∂
ρ∂
—→ 0vdiv =ρ ——→ merupakan kontinuitas untuk aliran steady
state dari fluida termampatkan (compressible).
Untuk aliran steady-state dari fluida tak termampatkan (in compressible
fluid), berarti nya konstan (tidak tergantung pada x, y, dan z) maka,
div ρv = div v = 0 (ρ ≠ 0)
0vdiv = ——→ persamaan koninuitas dari aliran steady-state
dari fluida tak termampatkan (incompressible fluid).
Penggunaan Curl
Dalam gerak rotasi
Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut –
(konstan) mengelilingi sumbu & .

Program Semi Que 52
O
ΩΩΩΩ
R
P
v
r
θθθθ
&
Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω yang panjangnya , sejajar
sumbu & dengan arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan
terhadap gerakan benda.
Jika R adalah vektor dari titik 0 di & ke sembarang titik P pada benda,
maka
" radius putar titik P:
r = | R | | sin θ |
sehingga,
" kecepatan linier titik P
| v | = ω | R | | sin θ| = |Ω| |R | | sin θ | = | Ω × R |
Vektor v ini mempunyai arah ⊥ bidang yang dibentuk oleh Ω dan R,
sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan. Jadi hasil
dari perkalian Ω × R, selain memberikan besarnya nilai v juga akan
menentukan arah dari v.

Program Semi Que 53
Jika titik 0 diambil sebagai titik asal koordinat, maka:
R = xi + yj + zk dan
Ω = Ω1i + Ω2 j + Ω k
sehingga, v = Ω × R bisa ditulis
v = (Ω2z + Ω3 y)i – (Ω1z - Ω2x)j + (Ω1y - Ω1x) k
dan
curl v = ∇ × v =
)x()x()y(
zyx
213132 Ω−ΩΩ−ΩΩ−Ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
kji
= 2 Ω1 i +2 Ω2 j + 2 Ω3 k = 2 Ω
Jadi,
Kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform =
½ curl dari kecepatan lintas sembarang titik.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Misalkan f = x2 + 9y2 + 4z2
g = xy3 z2
v = xz i + (y – z)2 j + 2xyz k
w = 2y i + 4z j + x2z2 k
Tentukan
a. grad f di titik (3, -1, 0) Jawab : 6i – 18j
b. ∇2f Jawab : 28
c. gf ∇∇ ! Jawab : 72 xy3 z2
d.
yx
2
∂∂
∂ g
Jawab : 3 y2 z2
e. vf!∇ Jawab : 2x2 z + 18y (y – z)2+ 16 xyz2
f. div w Jawab : 2 x2 z
g. div v (curl v) Jawab : –11
h. div (v × k) Jawab : 0
i. curl (v × k) Jawab : –xi – 2(y – z)j – (2y – z)k

Program Semi Que 54
j. Dwf di (1, 1, 1) Jawab : 518
k. Dwg di (3, 0, –2) Jawab : 0
l. div (v + w) Jawab : 2y – z + 2xy + 2x2z
2. Jika r(t) menyatakan persamaan kurva lintasan, dengan t = waktu.
Tentukan vektor kecepatan, besarnya laju (speed) dan vektor
percepatan di P[x(t); z(t)], jika
a. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j
Jawab: v = i + 12 j + k ; | v | = 145 ; a = 6 j
b. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j + tk, di titik P (4,12,4)
Jawab: v = i + 3j + k ; | v | = 11 ; a = 0
3. Jika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinyatakan dalam r = r(t)
= t2i – 2tj + (t2 + 2t)k, t waktu.
a. Kapan (pada saat berapa) partikel akan melintas di titik (4,-
4,8). Jawab: t = 2
b. Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel di saat melintasi
titik (4,-4,8).
Jawab: v = 4i – 2j + 6k; | v | = 142
c. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva lintasan
partikel tersebut, dan bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8)
Jawab: (x – 4)/4 = (y + 4)/(-2) = (z – 8)/6
2x – y + 3z = 36
4. Jika berangkat dari titik (1,1) dalam arah manakah fungsi φ = x2 –
y2 + 2xy akan menurun dengan cepat (menurun secara
maksimum).
Jawab = –i

Program Semi Que 55
5. Jika diberikan medan skalar r = 22
yx + dan
R = 222
zyx ++ , tentukan
a. Laplace ∇2 dari ln r Jawab : 0
b. Laplace ∇2 dari R Jawab : 2/R
6. Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(x,y) = 110 +
30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan arah garis-garis ekipotensialnya di titik
P (2,5).
Catatan: garis ekipotensial adalah garis yang tegak lurus
dengan garis gaya elektrotatis.

Program Semi Que 56
BAB IV
IINNTTEEGGRRAALL VVEEKKTTOORR
4.1 Integral Garis (Line Integrals)
Konsep integral garis merupakan generalisasi (perluasan) dari
konsep integral tertentu ∫
a
b
dx)x(f .
Dalam integral tertentu ∫
a
b
dx)x(f , fungsi f(x) diintegrasikan sepanjang
sumbu x dari x = a sampai x = b, dengan f(x) adalah fungsi yang terdefinisi
pada setiap titik pada sumbu x antara sampai b.
Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva C
dalam ruang atau bidang, dan fungsi F adalah fungsi yang terdefinisi
pada setiap titik di C. Kurva C, oleh sebab itu disebut sebagai ‘lintasan
integrasi’. Lintasan integrasi C merupakan kurva licin (smooth curve) yang
bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor:
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; a ≤ t ≤ b
dan r(t) mempunyai derivatif kontinu,
)t('r = kji
dt
dz(t)
dt
dy(t)
dt
)t(dx
dt
dr
+=
= x' (t) i + y'(t) j + z'(t) k
yang tidak nol
Dalam hal ini C merupakan kurva berarah dengan:
A : r(a) = titik awal dari C
B : r(b)= t akhir dari C
Arah dari A ke B sepanjang C disebut arah positif dari C dan dalam
gambar, arah ini ditunjukkan dengan tanda panah.
POKOK BAHASAN :
! Integral garis
! Teorema Green
! Medan Gaya Konservatif
! Integral luasan
! Teorema divergensi Gauss
! Teorema Stokes

Program Semi Que 57
Jika A = B C disebut kurva tertutup.
Definisi Integral Garis
Integral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva C yang
terdefinisikan pada a ≤ t ≤ b, didefinisikan sebagai:
dr)r(FC !∫ = ∫
b
a
dt
dt
dr
)t(r[F !
= ∫
b
a
dt)t('r)t(r[F !
Jika,
r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
kji
dt
)t(dz
dt
)t(dy
dt
)t(dx
dt
dr
)t('r ++==
dr = dx(t) i + dy(t) j + dz(t) k
F(r) = F1 i + F2 j + F3 k
maka:
dr)r(FC !∫ = [ ])t(dzF)t(dyF)t(dxF 321C ++∫
= ∫ 





++
b
a
321 dt
dt
dz
F
dt
dy
F
dt
dx
F
= [ ]∫ ++
b
a
321 dt)t('zF)t('yF)t('xF
" Integral garis sepanjang lintasan C yang tertutup dinotasikan
dengan ∫C
dr)r(F !
Contoh
)t(r:C
)b(rB =
)a(rA =
)a(rA =
)b(rB =
C

Program Semi Que 58
1. Tentukan integral garis ∫C
dr)r(F ! , jika
F(r) = – y i + xy j
C : adalah busur lingkaran seperti dalam gambar berikut dari titik A
ke titik B.
⇒
C : r(t) = cost i + sint j
Sehingga,
x(t) = cost t
y(t) = sin t
0 ≤ t ≤
2
π
dan F[r(t)]= – sin t i + sin t cos t j
f' = – sin t i + cos t j
∴ ∫C
dr)r(F ! = ∫
b
a
dt)t('r)]t(r[F !
= ∫
π
+
2/
a
22
dt]tcostsint[sin
= ∫∫
ππ
−
−
2/
0
2
2/
0
tcosdtcosdt
2
t2cos1
=
2/
o
3
tcos
3
1
t2sin
4
1
t
2
1
π
−−
=
3
1
43
1
00t
4
+
π
=+−−
π
2. Tentukan nilai integral garis pada contoh 1, jika
C : garis lurus yang menghubungkan A dan B
⇒
)0,1(A
)1,0(B
C
0
)1,0(B
C

Program Semi Que 59
C : r(t) = (1 – t) i + t j
x(t)= 1 – t
= t
0 ≤ t ≤ 1
F[r(t)] = –t i + t(1 – t) j
r'(t) = –i + j
∴ ∫C
dr)r(F ! = ∫∫ −=−+
1
0
1
0
dt]tt2[dt)]t1(tt[
=
3
2
3
1
1t
3
1
t
1
0
32
=−=−
" Dari dua contoh di atas terlihat bahwa nilai integral garis selain
tergantung pada batas integrasi, juga tergantung pada
lintasannya.
3. Tentukan ∫c
dr)r(F ! , jika
F(r)= z i + j + y k
C : r(t) = cos t i + sin t j + 3t k, 0 ≤ t ≤ 2
⇒
x(t)= cos t
y(t)= sin t
z(t)= 3t
F[r(t)] = 3t i + cos t j + sin t k
r'(t) = –sin t i + cos t j + 3 k
∴ ∫C
dr)r(F ! = [ ]∫
π
++−
2/
0
2
dttsin3tcostsint3
= ∫ ∫ ∫
π π π
+
+
+
2/
0
2/
0
2/
0
dttsin3dt
2
t2cost1
tcost3
= tcos3t2sin
4
1
t
2
1
]tdtcostcost[3 −++− ∫

Program Semi Que 60
=
π2
−++−
0
tcos3t2sin
4
1
t
2
1
tsin3tcost3
Interpretasi Integral Garis
Dalam MEKANIKA
Usaha yang dilakukan oleh guru konstan F yang bergerak sepanjang
vektor lurus d adalah dFW !=
Jika gaya F tidak konstan (merupakan fungsi variabel), dan bergerak
sepanjang kurva C = r(t), maka besarnya usaha yang dilakukan oleh
gaya F bisa ditentukan dengan menghitung nilai limit dari jumlah
usaha yang dilakukan oleh F sepanjang segmen kecil dari C, jika C
dibagi menjadi n buah segmen kecil-kecil sehingga setiap segmen
mendekati garis lurus.
Untuk sembarang m; 1 ≤ m ≤ n, maka
)]t(r)t(r[)]t(r[FW mmmm −=∆ !
Sementara,
m
m
mm
t
)t(r)t(rlim
0t)t('r
∆
−
→∆=
tm = tm + 1 – tm
Jadi,
mmmmmm t)t('r]t)t('r)]t(r[FW ∆∆≅∆ !!
karena ∞→n , maka:
∑∑ =
∞→
=
∞→
∆=∆=
n
1m
mmm
n
n
1m
m
n
t)t('r)]t(r[FlimWlimW !
C
ntb =
1mt +mt0ta =
1t
2t 3t

Program Semi Que 61
= ∫
b
a
dt)t('r)]t(r[F !
∫=∴
C
dr)r(FWUsaha !
" Karena )t(v
dt
dr
= = vektor kecepatan
maka: W = ∫ ∫=
C
b
a
dt)t(v)]r[(Fdr)r(F !!
" Dari hukum Newton II : F = ma, bisa diturunkan F = m r''(t) = m v' (t)
Sehingga,
W = ∫∫ 





=
b
a
'
b
a
dt
2
vv
mdt)t(v)t('vm
!
!
= [ ]
b
a
2b
a
'2
v
2
m
dtv
2
m
=∫
= [ ]22
)a(vv(b)
2
m
−
dengan
2
v
2
m
= energi kinetik
Bentuk-bentuk lain Integral Garis
Bentuk-bentuk berikut merupakan kejadian khusus dari integral garis
∫C
dr)r(F ! ,
Jika F = F1 i ∫C
dr)r(F ! = ∫C
1dxF
F = F2 j ∫C
dr)r(F ! = ∫C
2dyF
F = F3 k ∫C
dr)r(F ! = ∫C
3dzF
Bentuk : dt)]t(r[fdt)r(f
b
a
C ∫∫ =!
C : r(t); a ≤ t ≤ b
Merupakan bentuk khusus dari ∫C
dr)r(F ! , jika

Program Semi Que 62
F = F1 i dan F1 =
dt/dx
)]t(r[f
, sehingga
)t('xF
dt
dx
Ff 11 ==
Jadi,
∫C
dr)r(F ! = ∫C
1 dxF ! = ∫C
dx
dt/dx
)]t(r[f
= ∫
b
a
dt)t(r[f
Contoh
Tentukan ∫ ++
C
2222
dt)zyx( jika
C : r (t) = cos t i + sin t j 3t k ; 0 ≤ t ≤ 2
⇒
f = (x2 + y2 + z2)2
r(t) = cos t i + sin t j + 3t k
x(t)= cos t
y(t)= sin t
z(t)= 3t
f[r(t)] = [cos2t + sin2t + 9t2]2 = (1 + 9t2)2
∫ ++∴
C
2222
dt)zyx( = ∫
π
+
2
0
22
dt)t91(
= ∫
π
++
2
0
42
dt]t81t181[
= t2 + 6t3 +
π2
0
t
5
81
= 53
25
2592
482 π+π+π

Program Semi Que 63
Sifat-sifat
a. ∫ ∫=
C C
dr)r(kdrF(r)k !! ; konstanta
b. [ ]∫ ∫∫ +=+
C CC
dr)r(Gdr)r(FdrG(r)F(r) !!!
c. ∫ ∫∫ +=
C CC 21
dr)r(Fdr)r(FdrF(r) !!! ; jika lintasan C dibagi menjadi
dua busur, yaitu C1, dan C2 dengan arah yang sama dengan arah
C.
Contoh Soal
1. Tentukan ∫C
drF(r) ! ; jika
a. F = y2 i – x4 j
C : r(t) = t i + t–1 j ; 1 ≤ t ≤ 3
b. F = y2 i
C : sepanjang kurva x2 + 4y = 4 dari (2, 0) ke (0, 1)
c. F = 3y i + x j
C : segmen garis lurus dari (0, 0) ke (2, 2½ )
⇒
a.



=
=
−1
t)t(y
t)t(x
ji
ji
2
42
t)t('r
ttF
−
−
−=
−=
∫∴
C
drF(r)! = [ ]
3
1
31
3
1
22
t
3
1
tdttt +−=+ −−
∫
=
3
28
3
1
1
3
27
3
1
=





+−−





=−
b. ∫C
drF(r)! = ∫C
2
dxy ; 2 ≤ x ≤ 0
C : x2 + 4y2 = 4
4y2 = 4 – x2
y2 =
4
x4 2
−

Program Semi Que 64
∫C
drF(r)! =
0
2
0
2
3
2
x
3
1
x4
4
1
dx
4
x4
∫ 





−=
−
=
3
4
)
3
8
8(0
4
1
−=





−−
c.
Persamaan segmen
garis dari (0, 0) ke (2, ½),
adalah:
y =
4
1
, 0 ≤ x ≤ 2



=
t
4
1
)t(y
t)t(x
r(t) = t i +
4
1
t j
F[r(t)] =
4
3
t i – t j
r'(t) = i +
4
1
j
1t
4
1
dtt
2
1
dtt
4
1
t
4
3
drF(r)
2
0
2
0
2
2
0C
===





−=∴ ∫∫∫ !
2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh harga F = xi – zj + 2yk yang
bergerak sepanjang C : z = y4, x = 1;
dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 1)
⇒





=
=
=
4
tz
ty
1x
r(t) = i + tj + t4k ; 0 ≤ t ≤ 1
F[r(t)] = i – t4j + 2t k
r'(t) = j + 4t3k
2
1 ),2( 2
1
20),0(
y
x

Program Semi Que 65
∫=∴
C
drFW ! = [ ] ∫∫ ==+−
1
0
1
0
54
1
0
44
t
5
7
dtt4dtt8t
=
5
7
3. Tentukan ∫ +
C
22
ds)y(x , jika
C : lintasan y = 2x dari (0, 0) ke (1, 2)
⇒
ds = 22
dydx +
y = 2x dy = 2dx
ds = 5dx)dx2(dx 22
=+ ; 0 ≤ x ≤ 1
∫ +∴
C
22
ds)y(x = ∫∫ =+
1
0
2
1
0
22
dxx55dx5)x4(x
=
3
55
x
3
55 1
0
3
=
4. Tentukan ∫ +
C
22
dyxdxy ; jika
C : Lintasan trapezium seperti dalam gambar berikut
⇒
∫ +
C
22
dyxdxy = ++++ ∫∫ )dyxdxy()dyxdxy(
2C
22
C
22
1
)dyxdxy()dyxdxy(
4C
22
C
22
3
∫∫ +++
" Lintasan C1:
)2,2(
)2,0(0),0(
y
x
1),0(
3C
2C
4C
1C

Program Semi Que 66
2t0
0dy..........0y
dtdx..........tx
≤≤
=→=
=→=
∫∫
∫
==+
=+
2
0
2
0
2
C
22
0dt0)0tdt0(
)dyxdxy(
1
" Lintasan C2:
2t0
0dy..........0y
dtdx..........tx
≤≤
=→=
=→=
∫
∫∫
==
+=+
2
0
2
0
2
0
2
C
22
84tdt4
)dt40t()dyxdxy(
1
" Lintasan C3:
0t2
dt
2
1
dy1
2
1
y
dtdxtx
≤≤
=→+=
=→=
6)2
2
4
4
8
(0
tt
2
1
t
12
3
)1tt
4
3
(
dt
2
1
.t)dt)1t
2
1
()dyxdxy(
0
2
232
0
2
22
C
22
3
−=++−
=++=++
++=+
∫
∫∫
" Lintasan C4:
0t1
dtdy..........ty
0dx..........0x
≤≤
=→=
=→=
∫
∫
=++
=+
0
1
22
C
22
0)dt00t(
)dyxdxy(
4
20680dyxdxy 2
C
2
=+−+=+∴∫
5. Tentukan besarnya usaha dalam gerakan partikel yang menjalani
lintasan satu putaran elips C dibuang dibidang XOY, jika elips
tersebut berpusat di titik 0 dengan sumbu panjang 4 dan sumbu
pendek 3, dan jika medan gayanya diberikan oleh:
F = (3x – 4y + 2z)i + (4x + 2y – 3z2)j + (2xz – 4y2 + z3) k
Persamaan ellips :
1
4
y
3
x
2
2
2
2
=+

Program Semi Que 67
1
16
y
9
x 22
=+ ; z = 0
Misalkan





=
=
=
0z
tsin4y
tcos3x
π≤≤
+=
2t0
tsin4tcos3)t(r ji
F[r(t)] = [9 cost – 16 sint] i + [12 cost + 8 sint] j + [–16 sint] k
r'(t) = –3 sint i + 4 cost j
∴W = ∫
π2
++−−
0
dt)tsin8tcos12(tcos4)tsin16tcos9(tsin3
= ∫
π2
+++−
0
22
dt)tcostsin32tcos48tsin48tcostsin27(
= ∫
π2
++
0
dt)tcostsin548(
= ∫ ∫
π2 π2
+
0 0
)tsin(dtsin5dt48(
= π=+π=
ππ
96096tnsi
2
5
t48
2
0
22
0
Soal-Soal
1. Hitunglah ∫C
dr]r[F jika:
F[r]= [x + y] i + [y – x] j
a. C : Parabola y2 = x dari [1, 1] sampai [4, 2]
b. C : Garis lurus dari [1, 1] sampai [4, 2]
c. C : Garis lurus dari [1, 1] ke [1, 2] dan dilanjutkan ke [4, 2]
2. Hutunglah rd.]r[F
C∫ jika
z
y
x
3
4

Program Semi Que 68
F[r]= [2x – y + 4] i + [5y + 3x – 6] j
a. C : Sekeliling segitiga di bidang xoy dengan titik-titik sudut [0,0]
[3,0], [3,2] yang dijalani berlawanan arah jaru jam.
b. C : Sekeliling lingkungan berjari-jari 4 dan berpusat di [0, 0]
3. Hitunglah ds]yx[
C
22
∫ + jika
a. C : Sepanjang busur lingkaran x2 + y2 = 4 dari [2, 0] sampai [0,2]
b. C : Sepanjang sumbu x dari [0, 0] ke [1, 0] kemudian dilanjutkan
ke [1, 1]
Jawab
1. a.
3
34
; b. 11 ; c. 0
2. a. 12 ; b. 64
3. a. 4 ; b.
3
5

Program Semi Que 69
4.2. Teorema Green
Transformasi Integral Rangkap Dua Ke Integral Garis
Integral rangkap dua yang meliputi suatu daerah dalam bidang
XOY bisa ditransformasikan ke dalam integral garis sepanjang batas dari
daerah tersebut atau sebaliknya. Transformasi tersebut dilakukan dengan
teorema Green pada bidang. Transformasi dengan teorema Green ini
penting karena bisa digunakan untuk membantu mengevaluasi
perhitungan integral dengan lebih mudah.
Teorema Green :
Misalkan R adalah daerah tertutup dan terbatas pada bidang XOY
yang batas C nya erdiri atas sejumlah kurva licin (smooth curve) yang
berhingga, misalkan F1(x,y) dan F2(x,y) adalah fungsi-fungsi yang kontinu
dan mempunyai derivatif parsial
y
F
∂
∂ 1
dan
x
F
∂
∂ 2
dalam domain yang
memuat R, maka :



∂
∂



−
∂
∂
∫∫ y
F
x
F
R
12
dx dy = ∫ ∫=+
C C
drFdyFdxF !][ 21
Integrasi ini dilakukan sepanjang batas C di R.
y
C
R
x
Apabila ditulis dalam bentuk vektor menjadi :
∫∫R
kCurlF !][ dxdy

Program Semi Que 70
= ∫C
drF !
F = F1(x,y) i + F2(x,y)
CONTOH :
Misalkan : F = (y2 - 7y) i + (2xy + 2x) j
F1 = y2 - 7y
F2 = 2xy + 2x
C : lingkaran x2 + y2 = 1
y
1
-1 1 x
-1
Ruas Kiri :
∫∫ 


∂
∂
−


∂
∂
R y
F
x
F 12
dx dy = ][∫∫ −−+
R
yy )72()22( dxdy
= 9 ∫∫R
dxdy = 9 x luas lingkaran x2 + y2 = 1
= 9π
Ruas Kanan :
r(t) = cos t i + sin t j ; 0≤t≤2π
x(t) = cos t
y(t) = sin t
F1[r(t)] = sin2 t - 7 sin t
F2[r(t)] = 2 cos t sin t + 2 cos t
r'(t) = - sin t i + cos t j
∫C
drF ! = [ ]∫ ++−−
π2
0
2
))(coscos2sincos2()sin)(sin7(sin ttttttt dt

Program Semi Que 71
= [ ]∫ +++−
π2
0
2223
cos2sincos2sin7sin ttttt dt
= [∫ −
π2
0
2
cos)cos1( tdt + 2
7
[ ]∫ −
π2
0
cos1 t dt - 2 ∫
π2
0
2
coscos ttd +
∫ +
π2
0
)2cos1( dtt
= cos t - +t3
3
1
cos ttttt 2sincos2sin 2
13
3
2
4
7
2
7
++−−
π2
0
Ι
= πππ 9222
7
=+⋅
Bukti Teorema Green :
y y
C** d
p(y)
v(x)
q(y)
C* c
u(x) x x
a b
Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh lengkung C = C* ∪ C**
seperti dalam gambar, maka :
a ≤ x ≤ b ; u(x) ≤ y ≤ v(x)
c ≤ y ≤ d ; p(y) ≤ x ≤ q(y)
∫∫ ∂
∂
R y
F1
dx dy = [∫
b
a
∫ ∂
∂
)(
)(
1
xv
xu
y
F
dy ] dx = ),(1 yxF
b
a
∫
)(
)(
xvy
xuy
=
=
= [ ]∫ −
b
a
xuxFxvxF )](,[)](,[ 11 dx
= dxxvxF
b
a
)](,[1∫ - dxxuxF
b
a
)](,[1∫
= - dxxvxF
a
b
)](,[1∫ - dxxuxF
b
a
)](,[1∫
= - dxyxF
C
],[
**
1∫ - dxyxF
C
],[
*
1∫

Program Semi Que 72
= - ∫C
yxF ),(1 dx
Secara sama :
∫∫ ∂
∂
R x
F2
dx dy = [∫
d
c
∫ ∂
∂
)(
)(
2
yq
yp
x
F
dx ] dy = ),(2 yxF
d
c
∫
)(
)(
yqx
ypx
=
=
= [ ]∫ −
d
c
yypFyyqF ]),([]),([ 22 dy
= dyyyqF
d
c
]),([2∫ - dyyypF
d
c
]),([2∫
= dyyyqF
d
c
]),([2∫ + dyyypF
c
d
]),([2∫
= dyyxF
C
],[
*
2∫ + dyyxF
C
],[
**
2∫
= ∫C
yxF ),(2 dy
∴ ∫∫ ∂
∂
R x
F2
dx dy - ∫∫ ∂
∂
R x
F2
dx dy = ∫C
yxF ),(2 dy + ∫C
yxF ),(1 dx
atau :



∂
∂



−
∂
∂
∫∫ y
F
x
F
R
12
dx dy = ∫ ∫=+
C C
drFdyFdxF !][ 21
Luas Daerah Pada Bidang Sebagai Integral Garis Dalam Lintasan Tertutup
Jika F1 = 0
F2 = x , maka ∫∫R
dxdy = ∫C
xdy
dan
jika F2 = y
F1 = 0 , maka ∫∫R
dxdy = - ∫C
ydx
sehingga,
∫∫R
dxdy = 2
1
∫ −
C
ydxxdy )(
Karena ∫∫R
dxdy = A = luas daerah yang dibatasi oleh bidang R
maka,

Program Semi Que 73
A = ∫∫R
dxdy = 2
1
∫ −
C
ydxxdy )(
Luas Daerah Pada Bidang Dalam Koordinat Polar.
Misalkan :
x = r cos θ dx = cosθ dr - r sinθ dθ
y = r sin θ dy = sinθ dr + r cosθ dθ
A = ∫∫R
dxdy = 2
1
∫ −
C
ydxxdy )(
= 2
1
)]sin(cossin)cos(sincos[ θθθθθθθθ drdrrdrdrr
C
−−+∫
= 2
1
]sincossincossincos[ 2222
θθθθθθθθ drdrrdrdrr
C
−−+∫
= 2
1
]sincos[ 2222
θθθθ drdr
C
+∫ = 2
1
θdr
C
2
∫
A = 2
1
θdr
C
2
∫
CONTOH :
1. Dengan menggunakan teorema Green tentukan drrF
C
!)(∫
sepanjang lintasan C, jika F = 3x2 i - 4xy j
C : sekeliling segi 4 dengan batas 0 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 1 dengan arah
berlawanan dengan arah jarum jam.
Penyelesaian :
y
(0,1) (4,1)
x
(0,0) (4,0)
F = 3x2 i - 4xy j
F1 = 3x2 →
y
F
∂
∂ 1
= 0
F2 = 4xy →
y
F
∂
∂ 2
= -4y
drrF
C
!)(∫ = ∫ +
C
dyFdxF ][ 21

Program Semi Que 74
Teorema Green :
∫ =+
C
dyFdxF ][ 21 


∂
∂



−
∂
∂
∫∫ y
F
x
F
R
12
dx dy
= ∫
4
0
∫ −−
1
0
)04( y dy dx = ∫
4
0
-2y dx
1
0
= ∫
4
0
-2 dx = -2x
1
0
= -8
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi ellips 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
Penyelesaian :
y
b
x = a cosθ → dx = - a sinθ dθ
-a a x y = b sinθ → dy = b cosθ dθ
A = 2
1
∫ −
C
ydxxdy )( = 2
1
)]sin(sin)coscos[
2
0
θθθθθθ
π
dabdba −−∫
= 2
1
θθθ
π
dabab ]sincos[ 2
2
0
2
+∫ = 2
1
θ
π
bda∫
2
0
= 2
1
ab θ
π2
0
= π ab
3. Tentukan luas Kardioida r = a(1 - cos θ) ; 0 ≤ θ ≤ 2π
Penyelesaian :
y
a
2a x
-a
Luas Kardioida = ∫C2
1
r2 dθ
= ∫ −
π
θ
2
0
2
2
1
)]cos1([a dθ

Program Semi Que 75
= ∫ +−
π
θθ
2
0
22
2
1
)]coscos21([a dθ
= 




 +
+− ∫
π
θ
θ
θθ
2
0
2
2
2cos1
sin2
2
d
a
= [ ]
π
θθθθ
2
0
4
1
2
1
2
2sinsin2
2
++−
a
= ]
π
θ
θ 2
0
4
1
2
2sin
2
3
2 





−
a
= ][ 03
2
2
−π
a
=
2
3 2
aπ
SOAL-SOAL :
1. Dengan teorema Green tentukan ])2()[( 222
dyxyydxxyx
C
−+−∫
dengan C : lintasan bujur sangkar dengan titik-titik sudut (0,0); (2,0);
(2,2); (0,2)
Jawab : 8
2. Dengan teorema Green tentukan ])[( 223
dyxydxyxx
C∫ +−
dengan C : daerah yang dibatasi lingkaran x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 =
16
Jawab : 120π
3. Dengan teorema Green tentukan ∫C
drrF !)( , jika
F = xy2 i - x2y j
C : batas daerah yang dibatasi oleh x ≥ 0 ; 0 ≤ y ≤ 1-x2
Jawab : -1/3
4. Tentukan luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = x dan y = x3
Jawab : 1/4
5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh hiposikloida 3/23/23/2
ayx =+
Persamaan parameternya adalah : x = a cos3t
y = a sin3t ; 0 ≤ t ≤ 2π
Jawab : 3π
8
2
a

Program Semi Que 76
4.3. Medan Gaya Konservatif.
Integral Garis yang tidak tergantung pada bentuk lintasan
Dalam bidang (R2) :
Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Teorema :
Syarat perlu dan cukup untuk dyFdxFdrF
CC
21 += ∫∫ ! tidak
tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua
titik pada daerah R dalam bidang R2 adalah :
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
atau jika bisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y) sedemikian hingga :
2
1
F
y
F
x
=
∂
∂
=
∂
∂
φ
φ
Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
maka
0=∫ drF
C
!
BUKTI :
F!dr = F1(x,y) dx + F2(x,y) dy
Karena
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
, maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y)
sedemikian hingga :






=
∂
∂
=
∂
∂
2
1
F
y
F
x
φ
φ
, sebab
xyy
F
∂∂
∂
=
∂
∂ φ2
1
=
yxx
F
∂∂
∂
=
∂
∂ φ2
2

Program Semi Que 77
Jadi : F◦dr =
x∂
∂φ
dx +
y∂
∂φ
dy = dφ
Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1) ke titik (x2, y2), maka
∫C
F◦dr = ∫
),(
),(
22
11
yx
yx
dφ = φ
),(
),(
22
11
yx
yx
= φ (x2, y2) - φ (x1, y1)
Terbukti bahwa nilai integralnya hanya tergantung pada batas
integrasinya (batas C) dan tidak tergantung pada bentuk lintasannya.
Jika C lintasan tertutup, maka x1 = x2 dan y1 = y2 sehingga
∫C
F◦dr = 0
CONTOH :
1. a. Buktikan bahwa ∫ −++−
)1,2(
)0,1(
324
])4()32[( dyxyxdxyxy tidak tergantung
pada lintasan yang menghubungkan (1,0) dan (2,1).
b. hitung nilai integral garisnya.
Penyelesaian :
a. F1 = 2xy - y4 + 3 → 31
42 yx
y
F
−=
∂
∂
F2 = x2 - 4xy3 → x
x
F
22
=
∂
∂
- 4y3
Karena
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
, jadi integral garis tersebut tidak tergantung pada
bentuk lintasan.
b. Dari 1F
x
=
∂
∂φ
maka φ = dxyxy
x
)32( 4
+−∫ = x2y - xy4 + 3x + g(y)
..............(i)
Dari 2F
y
=
∂
∂φ
maka φ = dyxyx
y
)4( 32
∫ − = x2y - xy4 + h(x)
..............(ii)
Fungsi φ = dyFdxF
yx ∫∫ = 21
(i) = (ii) → x2y - xy4 + 3x + g(y) = x2y - xy4 + h(x)

Program Semi Que 78
g(y) = 0
h(x) = 3x
∴φ = x2y - xy4 + 3x
∴ ∫ −++−
)1,2(
)0,1(
324
])4()32[( dyxyxdxyxy = φ
)1,2(
)0,1(
= x2y - xy4 + 3x
)1,2(
)0,1(
= (22.1 - 2.14 + 3.2) - (12.0 - 1.0
+ 3.1)
= 8 - 3 = 5
2. Hitung ∫C
F◦dr , jika :
F = (2xy3 - y2 cos x) i + (1 - 2y sin x + 3x2y2) j
C : sepanjang parabola 2x = πy2 dari (0,0) ke (
2
π
, 1)
Penyelesaian :
F1 = 2xy3 - y2 cos x ----------------- xyxy
y
F
cos26 21
−=
∂
∂
F2 = 1 - 2y sin x + 3x2y2 -------------------------- 22
6cos2 xyxy
x
F
+−=
∂
∂
Karena
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
, jadi integral garis tersebut tidak tergantung
pada bentuk lintasan.
Mencari fungsi φ :
Dari 1F
x
=
∂
∂φ
maka φ = dxxyxy
x
)cos2( 23
∫ − = x2y3 - y2sinx + g(y)
............(i)
Dari 2F
y
=
∂
∂φ
makaφ = dyyxxy
y
)3sin21( 22
∫ +− = y- y2sinx + x2y3 + h(x)
..........(ii)
Fungsi φ = dyFdxF
yx ∫∫ = 21
(i) = (ii) → x2y3 - y2sinx + g(y) = y - y2sinx + x2y3 + h(x)
g(y) = y
h(x) = 0
∴φ = x2y3 - y2sinx + y

Program Semi Que 79
∴ ∫C
F◦dr = φ
)1,(
)0,0(
2
π
= x2y3 - y2sin x + y
)1,(
)0,0(
2
π
= ( 1
2
sin.11.
4
23
2
+−
ππ
) - (0
- 0 + 0)
= 11
4
2
+−
π
=
4
2
π
3. Hitung ∫C
F◦dr , jika
F = (x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex) i + (x2 sinx - 2y ex) j
C : keliling hiposikloida 3/23/23/2
ayx =+
Penyelesaian :
F1 = x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex ------- x
yexxxx
y
F
2sin2cos21
−+=
∂
∂
F2 = x2 sinx - 2y ex ------ x
yexxxx
x
F
2cossin2 22
−+=
∂
∂
Karena
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
, jadi integral garis tersebut tidak tergantung
pada bentuk lintasan.
Dan karena C lintasan tertutup maka ∫C
F◦dr = 0
Dalam Ruang (R3) :
Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j + F3(x,y) k
r = x i + y j + z k
dr = dx i + dy j + dz k
Teorema :
Syarat perlu dan cukup untuk dzFdyFdxFdrF
CC
321 ++= ∫∫ ! tidak
tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua titik
pada daerah R dalam ruan R3 adalah :

Program Semi Que 80
Atau :
atau jika
bisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y)
sedemikian hingga :
1F
x
=
∂
∂φ
; 2F
y
=
∂
∂φ
;
3F
z
=
∂
∂φ
BUKTI :
F!dr = F1(x,y,z) dx + F2(x,y,z) dy + F3(x,y,z) dz
Karena
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
;
x
F
z
F
∂
∂
=
∂
∂ 31
;
y
F
z
F
∂
∂
=
∂
∂ 32
, maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y,z) sedemikian hingga :
3
2
1
F
z
F
y
F
x
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
φ
φ
φ
, sebab
yzy
F
zyz
F
xzx
F
zxz
F
yxx
F
xyy
F
∂∂
∂
=
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
φφ
αφφ
φφ
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
1
Jadi : F ◦ dr =
x∂
∂φ
dx +
y∂
∂φ
dy +
z∂
∂φ
dz = dφ
Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1, z1) ke titik (x2, y2, z2), maka
∫C
F◦dr = ∫
),,(
),,(
222
111
zyx
zyx
dφ = φ
),,(
),,(
222
111
zyx
zyx
= φ (x2, y2, z2) - φ (x1, y1, z1)
Terbukti bahwa nilai integralnya hanya tergantung pada batas
integrasinya (batas C) dan tidak tergantung pada bentuk
lintasannya.
x
F
y
F
∂
∂
=
∂
∂ 21
x
F
z
F
∂
∂
=
∂
∂ 31
y
F
z
F
∂
∂
=
∂
∂ 32
Curl F =∇ x F = 0

Program Semi Que 81
Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan Curl F = 0 maka
0=∫ drF
C
!
Jika F adalah medan gaya yang bekerja pada suatu obyek yang
bergerak sepanjang lintasan C, maka medan gaya F disebut
medan gaya konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya F
untuk menggerakkan obyek sepanjang lintasan C tadi tidak tergantung
pada bentuk lintasannya, tetapi hanya tergantung pada titik awal dan
titik akhirnya saja.
CONTOH :
1.a. Buktikan bahwa F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 - y2) k
adalah medan gaya konservatif.
b. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk menggerakkan
benda dari titik P(1,-1,1) ke titik Q(2,1,-1)
Penyelesaian :
a. F medan gaya konservatif jika ∇ x F = 0 atau Curl F = 0
Curl F =
2223
32662 yzxyxxyxz
zyx
kji
−−+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= (-2y + 2y)i-(6xz2 -6xz2)j+(6-6)k
= 0
Karena curl F = 0 , maka F merupakan medan gaya konservatif.
b. yxz
x
62 3
+=
∂
∂φ
→ φ = ∫x
(2xz3 + 6y) dx = x2z3 + 6xy + g(y,z) ........... (i)
yzx
y
26 −=
∂
∂φ
→ φ = ∫y
(6x - 2yz) dy = 6xy - y2z + h(x,z) . .......... (ii)
222
3 yzx
z
−=
∂
∂φ
→ φ = ∫z
(3x2z2 - y2) dz = x2z3 - y2z + k(x,y ........... (iii)
(i) = (ii) → x2z3 + 6xy + g(y,z) = 6xy - y2z + h(x,z)
g(y,z) = - y2z
h(x,z) = x2z3
(i) = (iii) → x2z3 + 6xy + g(y,z) = x2z3 - y2z + k(x,y)

Program Semi Que 82
g(y,z) = - y2z
k(x,y) = 6xy
φ = x2z3 + 6xy - y2z
∴W = drF
C∫ ! = φ
Q
P
= x2z3 + 6xy - y2z
)1,1,4(
)1,1,1(
−
−
= [ 42.(-1)3 + 6.(4).1 - 12.(-1)] - [ 12.(-1)3 + 6.1.(-1) - (-1)2. 1] = 15
2. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = y i + (x+y) j + z5 k yang
bekerja sepanjang lintasan C : x2 + y2 = 1 dan z = y ,
dari titik (0,1,1) sampai titik (1,0,0)
Penyelesaian :
Curl F =
5
zyxy
zyx
kji
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= (0 - 0)i - (0 - 0) j + (1-1)k = 0
Karena curl F = 0 , maka F medan gaya konservatif → W = drF
C∫ ! = φ
)0,0,1(
)1,1,0(
Mencari fungsi φ :
y
x
=
∂
∂φ
→ φ = ∫x
y dx = xy + g(y,z) ............... (i)
yx
y
+=
∂
∂φ
→ φ = ∫y
(x + y) dy = xy +
2
1
y2 + h(x,z) ............... (ii)
5
z
z
=
∂
∂φ
→ φ = ∫z
z5 dz =
6
1
z6 + k(x,y) ............... (iii)
(i) = (ii) → xy + g(y,z) = xy +
2
1
y2 + h(x,z)
g(y,z) =
2
1
y2 + h(x,z)
(i) = (iii) → xy + g(y,z) =
6
1
z6 + k(x,y)

Program Semi Que 83
k(x,y) = xy + g(y,z) -
6
1
z6 = xy +
2
1
y2 + h(x,z) -
6
1
z6
(ii) = (iii) → xy +
2
1
y2 + h(x,z) =
6
1
z6 + k(x,y)
k(x,y) = xy +
2
1
y2
h(x,z) =
6
1
z6
φ = xy +
2
1
y2 +
6
1
z6
W = drF
C∫ ! = φ
)0,0,1(
)1,1,0(
= (xy +
2
1
y2 +
6
1
z6)
)0,0,1(
)1,1,0(
= (0 + 0 + 0) - (0 +
2
1
+
6
1
)
= -
3
2
SOAL-SOAL :
1. Tentukan besarnya usaha W yang dilakukan oleh gaya F = yz i + xz j +
xy k untuk menggerakkan suatu partikel sepanjang garis lurus
dari P(1; 1,1; 1) ke Q(3; 3; 2).
Jawab : 17
2. Hitung drF
C∫ ! , jika
F = 2xy i + (x2 + z) j + y k
C : lintasan x2 + y2 = 1 ; z = x dari (1,0,1) ke (0,1,0)
Jawab = 0
3. Hitung drF
C∫ ! , jika
F = 3x2 e3y i + 3x3 e3y j - 3e-3z k
C : keliling ellips 25x2 + y2 = 25 ; z = 0 berlawanan arah dengan jarum
jam.
Jawab = 0

Program Semi Que 84
4.4. Integral Luasan / Integral Permukaan ( Surface Integrals)
A. Penyajian Persamaan Luasan / Permukaan
a. Penyajian Dalam Koordinat Kartesius
z = f(x,y) atau g(x,y,z) =
0
Misalnya :
z = 222
zyx ++ atau x2 + y2 + z2 - a2 = 0
x2 + y2 + z2 = a2
merupakan luasan dari bola dengan jari-jari a dan berpusat di titik
O(0,0,0).
z
a
a y
a
x
b. Penyajian dalam bentuk fungsi vektor
r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k , (u,v) ∈ R
CONTOH :
1. Luasan berupa bidang segi empat 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; z = c
z
c x(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ a
y(u,v) = v ; 0 ≤ v ≤ b
z(u,v) = c
b y r(u,v) = u i + v j + c k
a
2. Luasan berupa bidang 0 ≤ z ≤ (a-x) ; 0 ≤ x ≤ a ; y = c

Program Semi Que 85
z
a
x(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ a
a-x y(u,v) = c
y z(u,v) = v ; 0 ≤ v ≤ (a-u)
a c r(u,v) = u i + c j + v k
3. Luasan berupa bidang 1=++
c
z
b
y
a
x
di oktan I
z
c
b x(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ a
y y(u,v) = v ; 0 ≤ v ≤
)/1( aub −
a z(u,v) = c(1 - u/a - v/b)
r(u,v) = u i + v j + c(1-u/a-v/b) k
4. Luasan berupa bidang y2 ≤ z ≤ c2 ; 0 ≤ y ≤ c ; x = a
z
c
x(u,v) = a
y(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ c
z(u,v) = v ; u2 ≤ v ≤ c2
z = c2 r(u,v) = a i + u j + v k
c y
a
5. Luasan berupa bidang lingkaran y2 + z2 = a2 di x = c ;
z
x(u,v) = c
y(u,v) = u cos v ; 0 ≤ u ≤ a
c y z(u,v) = u sin v ; 0 ≤ u ≤ 2π
r(u,v) = c i + u cosv j + u sinv k
x

Program Semi Que 86
6. Luasan berupa silinder putar : x2 + y2 = a2 ; -c ≤ z ≤ c
x(u,v) = a cos u
y(u,v) = a sin u ; 0 ≤ u ≤ 2π
z(u,v) = v ; -c ≤ v ≤ c
r(u,v) = a cos u i + a sin u j + v k
z
c
a y
a
x -c
7. Kerucut Putar : z = 22
yx +
z2 = x2 + y2 ; 0 ≤ z ≤ c
z
c x(u,v) = u cos v
y(u,v) = u sin v ; 0 ≤ u ≤ c
z(u,v) = u ; 0 ≤ v ≤ 2π
-c c y r(u,v) = u cos v i + u sin v j + u k
x
8. Luasan Bola : x2 + y2 + z2 = a2 ; di oktan I dan II
a.
z
P
u v
y
x P'
x(u,v) = a cos v cos u ; 0 ≤ u ≤ π

Program Semi Que 87
y(u,v) = a cos v sin u ; 0 ≤ v ≤ π/2
z(u,v) = a sin v
r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k
b. z
P
v
u y
x
x(u,v) = a cos u cos v ; 0 ≤ u ≤ π
y(u,v) = a sin u sin v ; 0 ≤ v ≤ π/2
z(u,v) = a cos u
r(u,v) = a cos u cos v i + a sin u sin v j + a cos u k
B. Bidang Singgung Dan Normal Luasan
Untuk menghitug Integral Garis digunakan vektor singgung dari lintasan C,
yaitu r'(t), sehingga integral garis bisa didefinisikan sebagai :
∫ ∫=
C
b
a
dttrrFdrrF )(')()( !!
Secara sama , dalam menghitung Integral Luasan akan digunakan vektor
normal luasan, yang akan ditentukan dari bidang singgungnya. Bidang
singgung suatu luasan S di titik P di S yang dinotasikan dengan T(P),
adalah bidang yang memuat garis singgung di titik P dari semua kurva di
S yang melalui P.
Untuk menentukan bidang singgung T(P) dari suatu luasan S yang
dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(u,v), bisa diturunkan dari
kenyataan bahwa suatu kurva di S bisa dinyatakan dalam bentuk
pasangan fungsi-fungsi kontinu sebagai berikut :
║ u = u(t) dan
║ v = v(t)

Program Semi Que 88
Fungsi-fungsi u(t) dan v(t) tersebut menyatakan kurva atau lintasan yang
terletak pada luasan S, sehingga u(t) dan v(t) akan memenuhi
persamaan r(u,v), yaitu :
r~ (t) = r[u(t),v(t)] → persamaan kurva yang terletak pada luasan
S : r(u,v)
Misalnya :
Karena Helix putar r~ (t) = a cos t i + a sin t j + ct k terletak pada luasan
S yang berbentuk silinder dengan persamaan r(u,v) = a cos u i + a sin u j
+ v k .
maka kurva atau lintasan yang berbentuk helix putar tersebut bisa
dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi kontinu :
║ u = t
║ v = ct
yang memenuhi persamaan r(u,v) dari silinder di atas.
Selanjutnya vektor singgung dari kurva r~ (t) = r[u(t),v(t)] bisa ditentukan
dengan dalil rantai :
r~ '(t) =
dt
dv
v
r
dt
du
u
r
dt
dr
∂
∂
+
∂
∂
=
~~
= ru u' + rv v'
Dengan mengambil satu titik P pada luasan S, perhatikan semua kurva
pada S yang melalui P, yang masing-masing kurva tersebut bisa
dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi-fungsi kontinu u(t) dan v(t).
Selanjutnya dari semua kurva yang melalui P tersebut bisa ditentukan
vektor singgung atau r~ '(t) nya. Vektor-vektor singgung ini akan
membentuk satu bidang, yaitu bidang singgung T(P), asal ru dan rv ada
dan keduanya tidak tergantung secara linier (tidak segaris), sehingga :
N = ru x rv ≠ 0
yang berarti bahwa N ⊥ pada bidang singgung T(P), oleh karena itu N
merupakan Vektor Normal dari luasan / permukaan S di titik P.

Program Semi Que 89
n
ru
T(P) rv
S
∴Vektor Normal satuan dari luasan S = n =
vu
vu
xrr
xrr
N
N
=
Jika S disajikan dalam persamaan g(x,y,z) = 0 maka : n =
ggrad
ggrad
.
.
CONTOH :
1. Tentukan vektor normal satuan dari luasan r(u,v) = (u+v) i + (u-v) j
Penyelesaian :
ru =
u
r
∂
∂
= i + j
rv =
v
r
∂
∂
= i - j
N = ru x rv =
011
011
−
kji
= i (0) - j (0) + k(-2) = -2 k
∴ n = k
k
−=
−
4
2
2. Tentukan vektor normal satuan dari ellipsoida putar
r(u,v) = cos v cos u i + cos v sin u j + 2 sin v k ; di sembarang titik.
Penyelesaian :
ru =
u
r
∂
∂
= - cos v sin u i + cos v cos u j
rv =
u
r
∂
∂
= - sin v cos u i - sin v sin u j + 2 cos v k

Program Semi Que 90
N =
vuvuv
uvuv
kji
cos2sinsincossin
0coscossincos
−−
−
= i (2cos2v cosu - 0) - j (-2cos2 v sinu - 0) + k (cosv sinv sin2u + cosv
sinv cos2u)
= 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k
| N| = vvuvuv 222424
sincossincos4coscos4 ++
= vvuuv 22224
sincos)sin(coscos4 ++
= vvv 224
sincoscos4 +
= cosv vv 22
sincos4 +
∴ n = ( 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k) / cosv
vv 22
sincos4 +
= (2cosv cosu i + 2cosv sinu j + sinv k) / vv 22
sincos4 +
3. Tentukan vektor normal satuan dari bola : x2 + y2 + z2 - a2 = 0
di titik P(x,y,z) sembarang.
Penyelesaian :
g = x2 + y2 + z2 - a2 = 0 →
grad g = ( k
z
j
y
i
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
) (x2 + y2 + z2 - a2) = 2x i + 2y j + 2z k
| grad g | = 222
444 zyx ++ = 2a
∴ n =
a
zkyjxi
2
222 ++
=
a
1
(x i + y j + z k)
4. Tentukan vektor normal satuan dari kerucut putar :
f(x,y,z) = -z + 22
yx + = 0

Program Semi Que 91
Penyelesaian :
grad f =
22
yx
x
+
i +
22
yx
y
+
j - k
| grad f | = 122
2
22
2
+
+
+
+ yx
y
yx
x
= 122
22
+
+
+
yx
yx
= √2
∴ n =
2
1








−
+
+
+
kj
yx
y
i
yx
x
2222
C. Integral Luasan / Integral Permukaan
Diberikan persamaan luasan S :
r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k ; (u,v) ∈ R
dengan vektor normal luasan : N = ru x rv
dan vektor normal satuan : n =
N
N
Integral Luasan dari suatu fungsi vektor F = F(x,y,z) meliputi luasan S (over
S) didefinisikan sebagai berikut :
∫∫ ∫∫=
S R
dudvvuNvurFdAnF ),()],([ !!
Dengan : N(u,v) du dv = n |N| du dv ; karena n =
N
N
|N| = | ru x rv | = luas jajaran genjang (segi empat) yang
dibentuk oleh ru dan rv
( dengan sisi ru dan rv )
Sehingga |N| du dv = elemen luas dA dari S
Jadi : n dA di S = n |N| du dv di R atau N dudv di R.

Program Semi Que 92
CONTOH :
1. Tentukan integral luasan dari F = y i + 2 j + 2z k , meliputi luasan S yang
berbentuk silinder parabolis y = x2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ z ≤ 3.
Penyelesaian : z
3
4 y
2
x
Persamaan S dalam bentuk fungsi vektor : x(u,v) = u
y(u,v) = u2 ; 0 ≤ u ≤ 2
z(u,v) = v ; 0 ≤ v ≤ 3
S : r(u,v) = u i + u2 j + v k
ru = i + 2u j
rv = k
N = ru x rv =
100
021 u
kji
= 2u i - j
F[r(u,v)] = u2 i + 2 j + 2v k
F[r(u,v)] ! N(u,v) = (u2 i + 2 j + 2v k ) ! (2u i - j) = 2u3 - 2
∫∫ ∫∫=
S R
dudvvuNvurFndAF ),()],([ !! = ∫∫ −
3
0
2
0
3
)22( dudvu
= ∫∫ −−=−
3
0
2
0
4
3
0
)048()2
4
2
( dvdvuu = 4v
3
0
= 4.3 - 0 = 12
2. Tentukan integral luasan dari F = x2 i + 3y2 k ; meliputi luasan S yang
merupakan bidang dengan persamaan x = y + z = 1 pada oktan I.

Program Semi Que 93
Penyelesaian : z
Persamaan fungsi vektor : 1
x(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ 1
y(u,v) = v ; 0 ≤ v ≤ 1-u 1 y
z(u,v) = 1-u-v x 1
r(u,v) = u i + v j + (1-u-v) k
ru = i - k
rv = j - k
N = ru x rv =
110
101
−
−
kji
= i + j + k
F[r(u,v)] = u2 i + 3v2 j
F[r(u,v)] ! N(u,v) = (u2 i + 3v2 j ) ! ( i + j + k) = u2 + 3v2
∫∫ ∫∫=
S R
dudvvuNvurFndAF ),()],([ !! = ∫ ∫
−
+
1
0
1
0
22
)3(
u
dvduvu
=
duuuuduuuuduvvu
u
])1([])1()1([)( 3
1
0
1
0
3232
1
0
32
1
0
−+−=−+−=+ ∫ ∫∫
−
=
1
0
443
)1(
4
1
4
1
3
1
uuu −−− =
3
1
4
1
4
1
3
1
=−−
Nilai dari integral luasan ini akan tergantung dari pemilihan vektor normal
satuan luasan integrasinya ( ingat, untuk vektor normal satuan, selain n
bisa juga dipilih -n). Sehingga integral luasan atau integral suatu fungsi
terhadap / meliputi luasan S yang berarah, bisa dilakukan dengan
memilih salah satu kemungkinan dari dari arah vektor normal satuannya.
Arah dari n =
vu
vu
xrr
xrr
dikatakan arah positif, sebaliknya -n disebut arah
negatif.

Program Semi Que 94
Jika kita mengubah arah dari S, yang berarti merubah n menjadi -n ,
maka setiap komponen dari n dikalikan dengan -1, sehingga hasil
integralnya juga akan berubah menjadi -1 kali integral semula.
Integral luasan ini biasanya muncul dalam masalah-masalah aliran fluida
(flow problem).
Jika F(x,y,z) = ρ(x,y,z) v(x,y,z) = ρv
dengan : ρ = densitas massa fluida
v = vektor kecepatan aliran fluida
karena F! n adalah komponen F dalam arah normalnya, maka :
∫∫S
dAnF ! = fluks massa fluida yang melintasi luasan S.
= besarnya massa fluida persatuan waktu yang melintasi
luasan S.
CONTOH :
Hitung besarnya fluks massa dari air yang mengalir melintasi silinder
parabolis S : z = x2 , 0 ≤ x ≤ 2 ; 3 ≤ y ≤ 5. Jika vektor kecepatan aliran air
tesebut adalah v = -xyz i - 3z2j - k ; besarnya laju (speed) dihitung dalam
meter perdetik dan densitas massa air ρ = 1 kg/liter.
Penyelesaian :
Persamaan fungsi vektor dari S : x(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ 2
y(u,v) = v ; 3 ≤ v ≤ 5
z(u,v) = u2
r(u,v) = u i + v j + u2 k → ru = i + 2u k ; rv = j
N = ru x rv =
010
201 u
kji
= (0-2u) - j (0) + k (1-0) = -2u i + k
F(x,y,z) = ρ v = 1 (-xyz i - 3z2j - k) = -xyz i - 3z2j - k
F[r(u,v)] = -u3v i - 3u4 j - k

Program Semi Que 95
F[r(u,v)] ! N(u,v) = (-u3v i - 3u4 j - k ) ! (-2u i + k) = 2u4v -1
∫∫ ∫∫=
S R
dudvvuNvurFndAF ),()],([ !! = ∫ ∫= =
−
2
0
5
3
4
)12(
u v
dvduvu
=
{ } duuduuuduvvu ]216[]3)9([]5)25([)(
2
0
2
0
444
5
3
24
2
0
∫ ∫∫ −=−−−=−
=
2
0
5
)2
5
16
( uu − = 4,984
5
512
=−
v dalam meter/detik
ρ dalam kg/liter = 1000 kg/m3
A dalam m2
Jadi besarnya fluks massa air di atas = (98,4 m/dt)(1000 kg/m3)(m2)
= 98.400 kg/detik.
D. Integral Meliputi Luasan Tak Berarah
a. Jika Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi
merupakan Fungsi Vektor.
Bentuk Integral Luasan :
∫∫ ∫∫=
S R
dudvvuNvurGdArG ),()],([)(
G(r) = fungsi skalar
dA = |N| dudv = | ru x rv| dudv ; yaitu elemen luas dari luasan S
yang dinyatakan dalam persamaan r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k
dengan arah tidak diperhatikan.
Jika G(r) = 1 ; diperoleh :
A(S) = dudvrxrdA v
A R
u∫∫ ∫∫=
yang merupakan luas permukaan dari luasan S.

Program Semi Que 96
b. Jika Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi S
merupakan Fungsi Skalar z = f(x,y).
Sehingga : x = u
y = v
z = f(u,v)
r(u,v) = u i + v j + f(u,v) k = [ u, v, f(u,v)]
ru = [1, 0, fu]
rv = [0, 1, fv]
N = [1, 0, fu] x [0, 1, fv] = [ - fu ; -fv ; 1]
|N| = | [ - fu ; -fv ; 1] | =
22
1 vu ff ++
Karena : fu = fx =
x
f
∂
∂
fv = fy =
y
f
∂
∂
, maka :
Dengan : R* =
proyeksi S ke
bidang XOY
Dan arah vektor normal N di S adalah arah positif.
Jika G(r) = 1 , maka :
dxdy
y
f
x
f
dASA
S R
∫∫ ∫∫ 





∂
∂
+





∂
∂
+==
*
22
1)(
S = proyeksi luasan S di bidang XOY
CONTOH :
1. Tentukan ∫∫S
dArG )( ; jika G(r) = x + 1
S : r(u,v) = cos u i + sin u j + v k ; 0 ≤ u ≤ 2π ; 0 ≤ v ≤ 3
dxdy
y
f
x
f
yxfyxGdArG
S R
∫∫ ∫∫ 





∂
∂
+





∂
∂
+=
*
22
1)],(,,[)(

Program Semi Que 97
Penyelesaian :
x(u,v) = cos u ; y(u,v) = sin u ; z(u,v) = v
G[r(u,v)] = cos u + 1
ru = -sin u i + cos u j
rv = k
N = ru x rv =
100
0cossin uu
kji
− = i (cos u) - j (-sin u) + k (0) = cos u i +
sin u j
|N| = uu 22
sincos + = 1
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ===+=+=∴
= =
3
0
3
0
3
0
2
0
3
0
2
0
622)(sin)1(cos)( πππ
π π
vdvdvuududvudArG
S v u
2. Tentukan ∫∫S
dArG )( ; jika G (r) = 1
S : persamaan bola dengan jari-jari a sebagai berikut
r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k ; 0 ≤ u ≤ 2π ;
-
2
π
≤ v ≤
2
π
Penyelesaian :
ru = -a cos v sin u i + a cos v cos u j
rv = -a sin v cos u i - a sin v sin u j + a cos v k
N(u,v) = ru x rv = a2 cos2v cos u i + a2cos2v sin u j + a2 cos v sin v k
|N| = a2 vvuvuv 222424
sincossincoscoscos ++
= a2 vvv 224
sincoscos + = a2 v2
cos = a2 cos v
Karena G(r) = 1, maka ∫∫S
dArG )( = A(S)
∴ A(S) = ∫ ∫∫ ∫ − −−
==
2/
2/
2/
2/
2
2
0
2
2/
2/
2
0
2
cos2coscos
π
π
π
π
ππ
π
π
π vdvadvvuadudvva
= 2πa2 sin v
2/
2/
π
π−
= 2πa2 (1+1) = 4πa2

Program Semi Que 98
3. Tentukan momen inersia I dari lapisan bola yang homogen dengan
persamaan :
S : x2 + y2 + z2 = a2 ; massanya M, sepanjang sumbu z.
Penyelesaian :
Jika μ = densitas massa luasan bola (massa persatuan luas)
maka : I = dAD
S
∫∫
2
µ
D = D(x,y,z) = jarak titik P(x,y,z) dipermukaan bola ke sumbu z.
Jadi D2 = x2 + y2
Luas permukaan bola A = 4πa2 → μ = 2
4 a
M
A
M
π
=
r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k
x = a cos v cos u
y = a cos v sin u
z = a sin v
D2 = x2 + y2 = a2 cos2v cos2u + a2 cos2v sin2u = a2 cos2v
dA = |N| du dv = | ru x rv| dudv = a2 cos v du dv
dudvva
a
M
dADI
S
∫ ∫∫∫ −
==∴
2/
2/
2
0
34
2
2
cos
4
π
π
π
π
µ = dudvv
M
∫ ∫−
2/
2/
2
0
3
cos
4
π
π
π
π
= ∫∫ −−
==
2/
2/
2
3
2/
2/
3
3
2
cos
2
cos2
4
π
π
π
π
π
π
Ma
dvv
M
dvv
M
4. Tentukan ∫∫S
dArG )( ; jika G (r) = x2 + y2
S : Kerucut putar z = 22
yx + ; x2 + y2 ≤ 4
Penyelesaian :
z2 = x2 + y2
z2 ≤ 4 → -2 ≤ z ≤ 2
Untuk z = 2 → x2 + y2 = 4
Jadi proyeksi luasan S di bidang XOY berupa lingkaran : x2 + y2 = 4
Batas Integrasi :
-2 ≤ x ≤ 2 ;

Analisis Vektor untuk Mahasiswa Teknik

Analisis Vektor untuk Mahasiswa Teknik

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Analisis Vektor untuk Mahasiswa Teknik

Similar to Analisis Vektor untuk Mahasiswa Teknik (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Analisis Vektor untuk Mahasiswa Teknik