pewarnaan graf

Pewarnaan Titik(simpul)
2. Algotitma Welch-Powell
Permasalahan 4 warna
TEORI GRAF
PEWARNAAN GRAF
Rukmono Budi Utomo
30115301
March 9, 2016
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Pewarnaan Graf
1 Pewarnaan Titik(simpul)
2 2. Algotitma Welch-Powell
3 Permasalahan 4 warna

Deﬁnisi 1
Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.
Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbeda
kepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titik
yang bertetangga memiliki warna yang berbeda.

Deﬁnisi 1
Pewarnaan Titik
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai saja
dengan k warna yang berbeda

Deﬁnisi 1
Pewarnaan Titik
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai saja
dengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda

lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yang
diperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?

lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yang
diperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?
Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai dengan
hanya 2 warna berbeda saja

Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titik
pada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dan
dinotasikan dengan χ(G)

Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titik
pada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dan
dinotasikan dengan χ(G)
Contoh 1
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G) = 2

Contoh 2
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G) = 3

Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G, maka χ(G) ≤ k

Teorema1
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G, maka semua titik
pada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna

Teorema1
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G, maka semua titik
pada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknya
warna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada graf
G, sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,
maka terbukti χ(G) ≤ k

Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G, χ(G) = 3 < 7 = k

Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G, χ(G) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G, χ(G) = k = 3Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF

Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G, maka χ(H) ≤ χ(G)

Teorema 2
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G, maka
V (H) ⊆ V (G) dan E(H) ⊆ E(G)

Teorema 2
Bukti
V (H) ⊆ V (G) dan E(H) ⊆ E(G)
Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas ke
sebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G)

Teorema 2
Bukti
V (H) ⊆ V (G) dan E(H) ⊆ E(G)
Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas ke
sebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G)
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G dengan
χ(H) = 2 ≤ χ(G) = 3

Contoh 6
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G dengan χ(H) = χ(G) = 2

Teorema 3
Jika G1, G2, ..., Gk adalah komponen-komponen graf G, maka
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis dengan
G1, G2, ..., Gk adalah komponen-komponen graf G yang
memiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untuk
mewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnai
semua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikian
diperoleh sebuah pewarnaan t pada G

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
karena χ(G) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari G
serta χ(Gi ) = t, maka χ(G) ≥ χ(Gi ) = t

Teorema 3
χ (G) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
karena χ(G) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari G
serta χ(Gi ) = t, maka χ(G) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G) ≤ t, maka χ(G) = t

Contoh 7
Figure: Graf G dengan komponen-komponennya G1, G2 dan G3

Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G) = n

Teorema 4
Bukti
Karena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,
sesuai dengan deﬁnisi pewarnaan titik maka semua titik harus
diwarnai dengan warna yang berbeda.

Teorema 4
Bukti
Karena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,
sesuai dengan deﬁnisi pewarnaan titik maka semua titik harus
diwarnai dengan warna yang berbeda.
contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatik
χ(G) = 4

Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G) = 1

Teorema 5
Bukti
Karena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisi
yang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapat
memiliki warna yang sama.

Teorema 5
Bukti
Karena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisi
yang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapat
memiliki warna yang sama.
Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G) = 1

Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jika
χ(G) = 2

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G) = 2

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi dua
himpunan, katakan X dan Y

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X. Hal ini
diperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik di
Y dengan warna 2

Teorema 6
χ(G) = 2
Bukti
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik di
Y dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnai
graf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G) = 2

Contoh 10
Figure: Graf bipartisi G memiliki bilangan kromatik χ(G) = 2

Bukti
← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G) = 2 maka graf
tersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkan
dalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai dengan
warna 2 diletakkan dalam himpunan Y .

Bukti
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunan
X tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warna
sama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalam
himpunan Y

Bukti
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunan
X tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warna
sama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalam
himpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titik
yang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agar
terbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentuk
adalah bipartisi.

Contoh 11
Figure: Suatu graf dengan bilangan kromatik χ(G) = 2 dan graf tersebut
bipartisi

Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikel
Cn adalah n.

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Cn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkan
teorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Cn adalah n.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikian
Cn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3

Teorema 7
χ (Cn) =
2, n = genap
3, n = ganjil
Bukti
Cn adalah n.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikian
Cn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn

lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi dengan
warna 1.

lanjutan
warna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi dengan
warna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.

lanjutan
warna 1.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,
sehingga berdasarkan deﬁnisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3

lanjutan
warna 1.
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3

lanjutan
warna 1.
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik maka
untuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti

Contoh 12
Figure: graf C6 memiliki χ(C6) = 2 dan graf C5 memiliki χ(C5) = 3

Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G), maka
χ(G) ≤ ∆(G) + 1

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G)| = n

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
Untuk |V (G)| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehingga
χ(G) = 1 dan ∆(G) = 0. Akibatnya
χ(G) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G) + 1. Dengan demikian pernyataan
benar untuk n = 1

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
benar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan
|V (G)| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalam
pembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G)| = n

Teorema 8
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
benar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan
|V (G)| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalam
pembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G)| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebut
sehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.

lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapat
diwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.

lanjutan
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G)

lanjutan
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G)) terdapat 2 kasus,yaitu :

lanjutan
1 ∆(G − v) = ∆(G)

lanjutan
1 ∆(G − v) = ∆(G)
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 , menandakan semua titik di
G − v dapat diwarnai dengan ∆(G) + 1 warna sedemikian
hingga syarat pewarnaan terpenuhi

lanjutan
1 ∆(G − v) = ∆(G)
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 , menandakan semua titik di
G − v dapat diwarnai dengan ∆(G) + 1 warna sedemikian
hingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnai
NG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G), padahal
pewarnaan ∆(G) + 1 di graf G − v, maka terdapat paling
sedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v di
G, sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnai
titik v di G. diperoleh pewarnaan∆(G) + 1 pada graf G.

lanjutan
Akibatnya, berdasarkan deﬁnisi bilangan kromatik diperoleh
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1

lanjutan
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G), maka
χ(G − v) < ∆(G) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1 (karena
bilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).
Artinya ada pewarnaan ∆(G) pada graph G − v

lanjutan
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warna
yang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan
∆(G) + 1 pada graf G.

lanjutan
χ(G) ≤ ∆(G) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G)
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warna
yang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan
∆(G) + 1 pada graf G.
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G) + 1

Algoritma Welch Powell
Pewarnaan Titik pada suatu graf sederhana G dapat dilakukan
dengan menggunakan algoritma Welch-Powell

Algoritma Welch-Powell
Urutkan titik-titik dari G dalam derajat menurun
d(v1) > d(v2) > ... > d(vn). Pengurutan derajat titik dapat
menggunakan bantuan tabel

Gunakan warna 1 untuk mewarnai titik pertama (yang
memiliki derajat tertinggi (v1) )dan titik yang tidak
bertetangga dengan v1

Gunakan warna kedua untuk mewarnai titik dengan derajat
tertinggi berikutnya

Gunakan warna kedua untuk mewarnai titik dengan derajat
tertinggi berikutnya
U langi penambahan warna-warna sampai semua titik
terwarnai

Contoh 13
Berikan warna seminimal mungkin pada graf dibawah ini
sedemikian hingga setiap dua titik yang bertetangga berbeda warna

solusi
Kita dapat mewarnai titik-titik pada graf tersebut dengan
menggunakan algoritma Welch-Powell

solusi
Urutkan titik-titik pada graf G dari derajat yang paling tinggi.
Pengurutan derajat titik disajikan pada tabel di bawah ini:

solusi
Titik v1 v3 v5 v7 v2 v4 v6
Derajat 5 4 4 4 3 3 3
warna a b b c c a d

solusi
Titik v1 v3 v5 v7 v2 v4 v6
Derajat 5 4 4 4 3 3 3
warna a b b c c a d
Dari tabel diperoleh v1 mempunyai derajat tertinggi yaitu 5,
warnai titik v1 dengan warna a dan warnai titik lain (yaitu
titik v4) yang tidak berhubungan langsung dengan titik v1
dengan warna a.

lanjutan
Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi
berikutnya yaitu titik v3 (dengan derajat 4) dengan warna b,
dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan
titik v3 yaitu titik v5, kemudian warnai titik v5 dengan warna
yang sama dengan titik v3 yaitu warna b.

lanjutan
berikutnya yaitu titik v7 (dengan derajat 4) dengan warna c,
yang sama dengan titik v7 yaitu warna c.

lanjutan
berikutnya yaitu titik v7 (dengan derajat 4) dengan warna c,
yang sama dengan titik v7 yaitu warna c.
warnai titik terakhir yang belum terwarnai yaitu titik v6
dengan warna d.

lanjutan
Dengan demikian, hasil pewarnaan graf G dalam contoh ini adalah
sebagai berikut:
Figure: Graf G dalam contoh ini terwarnai dalam 4 warna

Contoh 14
Diberikan graf sederhana G di bawah ini
Figure: Graf G dalam contoh ini terwarnai dalam 3 warna

lanjutan
Pewarnaan graf sederhana G pada contoh 14 adalah sbb
Figure: Bilangan Kromatik dari Graf G dalam contoh ini adalah χ(G) = 3

Pada akhir abad kesembilan belas, seorang kepala sekolah
memberikan soal yang sangat menantang kepada murid-muridnya.
Soal itu sebagai berikut:
Tunjukkan bahwa semua peta hanya memerlukan empat warna,
sehingga negara-negara atau propinsi-propinsi yang bertetangga
mendapat warna yang berbeda

Kepala sekolah tersebut mengatakan hanya mau menerima
pembuktian tidak lebih dari 30 baris tulisan dan satu halaman
diagram.

Kepala sekolah tersebut mengatakan hanya mau menerima
pembuktian tidak lebih dari 30 baris tulisan dan satu halaman
diagram.
Tampaknya soal ini sederhana sekali, tetapi sebenarnya tidak
demikian. Soal ini menjadi masalah besar di dunia
matematika, yang kemudian terkenal dengan nama Konjektur
Empat Warna.

lanjutan
Baru pada Tahun 1976 ditemukan penyelesaian masalah ini.
Pada tahun tersebut Kenneth Appel dan Wolfgang Haken,
dua matematikawan dari Universitas Illionis di Amerika
Serikat, dapat membuktikan (dengan bantuan komputer)
dugaan empat warna dengan menyita waktu sekitar 1.200 jam
komputer untuk menghasilkan beratus-ratus halaman kertas
hasil analisis menyeluruh terhadap sekitar 2.000 graph dengan
jutaan kemungkinan bentuknya.

lanjutan
Baru pada Tahun 1976 ditemukan penyelesaian masalah ini.
Pada tahun tersebut Kenneth Appel dan Wolfgang Haken,
dua matematikawan dari Universitas Illionis di Amerika
Serikat, dapat membuktikan (dengan bantuan komputer)
dugaan empat warna dengan menyita waktu sekitar 1.200 jam
komputer untuk menghasilkan beratus-ratus halaman kertas
hasil analisis menyeluruh terhadap sekitar 2.000 graph dengan
jutaan kemungkinan bentuknya.
Salah satu cara yang digunakan adalah menggunakan graph
yang titiknya menunjukkan propinsi dan garis menunjukkan
hubungan dua propinsi itu sebagai tetangga.

Teorema 9
Graf Planar G dapat terwarnai dengan 4 warna
Bukti Sederhana
Menurut De Morgan tidak ada lebih dari 4 wilayah pada
sebuah bidang dapat saling kontak satu sama lain

Teorema 9
Bukti Sederhana
Peta yang terdiri dari tiga wilayah adalah sebuah segitiga dan
bila ditambahkan satu wilayah lagi maka hal tersebut akan
ditunjukkan oleh sebuh titik lagi

Teorema 9
Bukti Sederhana
Peta yang terdiri dari tiga wilayah adalah sebuah segitiga dan
bila ditambahkan satu wilayah lagi maka hal tersebut akan
ditunjukkan oleh sebuh titik lagi
Titik ini harus diletakan di dalam segitiga agar menunjukkan
setiap wilayah saling berdampingan(adjoint)

lanjutan Hasil penggambaran kondisi ini adalah graf planar
dibawah ini:
Figure: Graf Planar dengan V = 4 dan E = 6
Bila titik kelima ditambahkan, maka titik tersebut hanya akan
mencapai tiga dari empat titik laninnya, dan akan terwarnai
sama dengan warna untuk titik yang sudah ada dikarenakan
keempat simpul tadi sudah terhubung dengan tiga sisi secara
menyeluruh, sehingga membangun akses ke setiap simpul
lainnya.

lanjutan
Namun, tidak adanya graf dengan lima simpul yang
berdampingan tidak otomatis meniadakan graf yang
membutuhkan lima warna berbeda
Bila kita membuat jumlah maksimum hubungan antar simpul
pada sebuah graf planar, selalu didapatkan bidang graf yang
terbagi menjadi wilayah bersegitiga (triangular), yaitu wilayah
yang dibatasi oleh tiga sisi dan berhubungan hanya dengan
tiga simpul.
Dengan demikian benarlah bahwa empat warna cukup untuk
semua graf seperti ini

Bukti Lebih Kompleks
Apabila jumlah simpul, sisi dan wilayah berturut-turut
disimbolkan dengan V , E dan F, maka rumus Euler untuk
bidang (atau ruang) adalah V − E + F = 2

Bukti Lebih Kompleks
Apabila jumlah simpul, sisi dan wilayah berturut-turut
disimbolkan dengan V , E dan F, maka rumus Euler untuk
bidang (atau ruang) adalah V − E + F = 2
Setiap wilayah pada graf planar dibatasi oleh tiga sisi, dan
setiap sisi dibatasi oleh 3 wilayah, sehingga F = 2E
3 dan rumus
Euler untuk graf planar sederhana menjadi 2E = 6V − 12,
dan rata-rata sisi terhubung persimpul adalah 6 − 12
v
Selanjutnya untuk semua graf, jumlah rata-rata sisi terhubung
persimpul kurang dari 6. Hal ini memberi arti berdasarkan
rumus Euler, tidak ada graf yang membutuhkan lebih dari
enam warna

lanjutan
Dengan pembuktian lanjutan, akan dapat ditemui bahwa
tidak ada graf yang memiliki bilangan kromatik lebih dari 5
(jika ada, maka graf tersebut pasti memiliki lebih dari 5 titik)

lanjutan
Dengan pembuktian lanjutan, akan dapat ditemui bahwa
tidak ada graf yang memiliki bilangan kromatik lebih dari 5
(jika ada, maka graf tersebut pasti memiliki lebih dari 5 titik)
perhatikan graf yang mengandung sebuah simpul dengan lima
simpul tetangga dengan lima warna yang berbeda, seperti
ilustrasi dibawah

lnajutan
Karena simpul tengah tak berwarna memiliki lima tetangga
dengan warna yang berbeda, maka sepertinya kita
membutuhkan warna ke enam. Akan tetapi, kita bisa
mengubah urutan (transpose) warna biru dan hijau pada
cluster 2 biru/hijau pada sisi kiri atas pentagon, sehingga
warna biru menjadi hijau dan hijau menjadi biru.

lnajutan
Karena simpul tengah tak berwarna memiliki lima tetangga
dengan warna yang berbeda, maka sepertinya kita
membutuhkan warna ke enam. Akan tetapi, kita bisa
mengubah urutan (transpose) warna biru dan hijau pada
cluster 2 biru/hijau pada sisi kiri atas pentagon, sehingga
warna biru menjadi hijau dan hijau menjadi biru.
Setelah melakukan ini, simpul tengah tak berwarna akan
memiliki tetangga dengan empat warna berbeda dan kita
dapat memberinya warna biru
Jadi butuh 4 warna atau 5 warna? Perhatikan graf berikut.

Figure: Graf mengandung simpul yang dikelilingi empat simpul tetangga
dengan warna berbeda
Simpul tak berwarna yang berada di tengah memiliki empat
simpul tetangga dengan empat warna yang berbeda. Ini
memperlihatkan bahwa dibutuhkan warna ke lima. Tetapi,
dengan mengubah susunan warna biru dan kuning pada
cluster-2 diatas simpul tengah (ditunjukkan dengan garis
outline merah), kita akan mendapatkan simpul-simpul
tetangga hanya memiliki tiga warna berbeda (merah, hijau,
biru)

lanjutan
Simpul tak berwarna dapat diberi warna kuning (χ = 4). Kita
sudah melihat bahwa tidak ada graf yang membutuhkan lebih
dari lima warna berbeda, menurut rumus Euler. Dengan
menambah sisi, kita juga dapat membuat planar semua graf
pada simpul V sehingga seluruh wilayahnya bersegitiga dan
memiliki jumlah sisi terhubung tepat sebanyak 6V − 12

lanjutan
Simpul tak berwarna dapat diberi warna kuning (χ = 4). Kita
sudah melihat bahwa tidak ada graf yang membutuhkan lebih
dari lima warna berbeda, menurut rumus Euler. Dengan
menambah sisi, kita juga dapat membuat planar semua graf
pada simpul V sehingga seluruh wilayahnya bersegitiga dan
memiliki jumlah sisi terhubung tepat sebanyak 6V − 12
Graf ini pastinya masih merupakan graf minimal lima warna
karena kita belum menaikkan jumlah simpulnya, dan
menambah sisi tidak dapat mengurangi jumlah warna yang
dibutuhkan, mengingat tidak ada graf yang membutuhkan
lebih dari lima warna.

lanjutan
Karena itu, misalkan a5, a6, a7, ... menunjuk jumlah simpul
dengan 5, 6, 7 ,sisi terhubung berturut-turut, kita memiliki
sebuah graf minimal lima warna sedemikian rupa sehingga
6V − 12 = 5a5 + 6a6 + 7a7 + 8a8 + 9a9...(1) dengan
V = a5 + a6 + a7 + a8 + a9 Substitusi ekspresi ini ke dalam
persamaan (1) diatas dan meyusunnya kembali, kita
mendapatkan 12 = a5 − a7 − 2a8 − 3a9...(2)
Ini menetapkan batasan yang cukup sulit terhadap berbagai
graf minimal lima warna

lanjutan
Sebagai contoh, bila kita memperhatikan sebuah gaf serupa
yang tidak memiliki lebih dari enam sisi terhubung pada setiap
simpulnya, maka persamaan (2) menyatakan secara tidak
langsung bahwa a5 = 12. Dengan kata lain, sebuah graf
planar minimal lima warna dengan tidak lebih dari enam sisi
terhubung per simpul, dipastikan memiliki tepat 12 simpul
dengan lima buah sisi terhubung pada setiap simpulnya
Ini mengindikasikan bahwa 12 simpul ini disusun secara global
dalam bentuk sebuah icosahedron, dan sisa simpul lainnya
yang memiliki enam sisi terhubung per simpul tersusun dalam
bentuk segienam beraturan, mengisi wilayah dari icosahedron
Graf yang fundamental untuk tipe seperti ini, dengan a6 = 0,
ditunjukkan oleh gambar berikut.

Figure: Graf icosahedron dengan a6 = 0
Kita dapat melakukan secara eksplisit, empat pewarnaan pada
setiap pola serupa, sehingga juga dapat ditunjukkan dengan
jelas bahwa graf serupa tidak memerlukan lebih dari empat
warna berbeda. Hal ini membuktikan kebenaran dari Teorema
Empat Warna.

pewarnaan graf

More Related Content

What's hot

Similar to pewarnaan graf

More from rukmono budi utomo

pewarnaan graf