Dokumen tersebut membahas tentang integral dan aplikasinya, meliputi: 1. Definisi integral dan anti turunan 2. Metode penghitungan integral dengan substitusi, integral parsial, dan integral tertentu 3. Penerapan integral untuk menghitung luas daerah dan isi benda putar

1. INTEGRAL
1. ANTI TURUNAN
Definisi
Contoh :
1. F(x) = cos x anti turunan dari f (x) = −sin x sebab F’
(x) = −sin x
2. a(x) = 2x2
anti turunan dari f (x) = 4x sebab a’
(x) = 4x
3. v(x) =
1
3
x3
anti turunan dari g(x) = x2
sebab v’
(x) = x2
Definisi
Definisi
Bentuk ∫f (x) dx dinamakan integral tak tentu dari fungsi y = f (x)
Lambang “ ∫” dinamakan “ integral ” yaitu merupakan operasi “anti differensial”
Dalil 1
Irvan Dedy, S.Pd Page 1 of 8 SMA Dwiwarna
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’
(x) = f (x)
pada I dinamakan anti turunan atau fungsi primitif dari fungsi f pada I.
Anti diferensial dari fungsi f pada selang terbuka I adalah bentuk yang paling
umum dari anti turunan atau fungsi primitif dari f pada selang tersebut. Jika F'(x)
= f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada I adalah y
= F(x) + C, C konstanta.
Misalkan y = F(x) + C adalah anti turunan dari y = f (x) maka : f (x)dx∫ = F(x) + C
1. a∫ dx = ax + C 5. ∫
x
1 dx = ln x + C
2. nxa∫ dx =
1nx
1+n
a + + C ; n ≠ −1 6. ∫
xe dx = x
e + C
3. sin x∫ dx = − cos x + C 7. sec 2 x∫ dx = tg x + C
4. cos x∫ dx = sin x + C 8. cos ec x2
∫ dx = − ctg x +
C

2. Dalil 2
Contoh :
1. Hitung ( )∫ +− dx5x3x2
Jawab :
2(x 3x 5) dx− +∫ = 2x dx 3 x dx 5 dx− ∫ + ∫∫ = 3 231x x
3 2
− + 5x + C
2. Tentukan ∫ +−+ dx)2xxexcosx(sin
Jawab :
x(sin x cos x e + 2x) dx− −∫ = xsin x dx + cos x dx e dx+ 2x dx∫ −∫ ∫∫
= x 2
cos x sin x-e x C− + + +
3. Tentukan ( x x)( x 1) dx− −∫
Jawab :
( x x)( x dx− −∫ 1) = ∫ +−− dx)xxxx(x
=
∫ +−∫+− dx)x22
3
x2
1
(-x=dx)x2xxx(-
= C2xx2x
5
2xx
3
2-=C2x2
5
x
5
22
3
x
3
2 ++−++−−
4. Tentukan dx
xx
2x+2x3x +−∫
Jawab :
dx
2
3
x
22
1
x+2x3x +−∫ = dx)2
3
2x+
x
1+2
1
2x2
3
x(
−−
−∫ =
C+2
1-
4xxln+2
1
4x2
5
x
5
2 −−
= C
x
4xlnx4x2x
5
2 +−+−
5. Tentukan ∫ − 2x)x( dx
Jawab :
∫ − 2x)x( dx = ∫ +− )2xx2xx( dx = ∫ +− dxxx2x 22/3
= Cx
3
1
x
5
4
x
2
1 32/52
++−
= Cx
3
1
xx
5
4
x
2
1 322
++−
Irvan Dedy, S.Pd Page 2 of 8 SMA Dwiwarna
1. [f(x) g(x)]±∫ dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
2. k. f(x)∫ dx = k. ∫f (x) dx ; k suatu konstanta.

3. 6. Gradien garis singgung pada grafik y = (x) di setiap titik (x , y) dinyatakan
oleh bentuk dy/dx = 2x − 5. Bila grafik y = f (x) melalui titik A (1 , 7),
tentukan persamaan fungsi y = f (x) !
Jawab :
dy
dx
= 2x − 5 ⇔ dy = (2x - 5) dx
⇔ dy = (2x − 5) dx ⇔ y = ∫ −5)dx2x( = x2
− 5x + C
Grafik melalui titik A(1 , 7), jadi 7 = 12
− 5(1) + C didapat C = 11
Akibatnya persamaan y = f (x) adalah y = f (x) = x2
− 5x + 11
2. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Misalkan u = u (x) dan y = f (u) masing-masing anti turunan dari u'(x) dan f ' (u),
maka :
Bentuk integral di atas, dikenal dengan bentuk integral dengan subtitusi.
Dalil 3
Contoh :
1. ( ) ( ) ( )11 12 111 1 1
3x 6 dx . . 3x 6 C . 3x 6 C
3 12 36
+ = + + = + +
∫
2. ( ) ( )1 / 4 5 / 44 1 4
5x 2dx 5x 2 dx . . 5x 2 C
5 5
− = − = − +
∫ ∫
3. 1sin(2t )dt cos(2t )
2
− π = − − π
∫
4.
sinx d(1 cosx)
dx 2 1 cosx C
1 cos x 1 cos x
−
= = − +
− −∫ ∫
5. 4 2 2 2 2
tan xdx tan x tan xdx tan x(sec x 1)dx= = −
∫ ∫ ∫
= 2 2 2
tan x sec xdx tan xdx−
∫ ∫ = 2 2
tan xd(tanx) (sec x 1)dx− −
∫ ∫
= 31
tan x tanx x C
3
− + +
Irvan Dedy, S.Pd Page 3 of 8 SMA Dwiwarna
1. ( ) ( )n n 11 1
ax b dx . . ax b C
a n 1
+
+ = + +
+∫ 5. ax b ax b1
e dx e
a
+ +
=
∫
2. ( )
1
sin(ax b)dx cos ax b C
a
+ = − + +
∫
3. ( )
1
cos(ax b)dx sin ax b C
a
+ = + +
∫
4.
1 1
dx .ln(ax b) C
ax b a
= + +
+∫
∫ += C)u(fdu)u('f

4. 3. INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u = u(x) dan v = v(x) fungsi-fungsi yang differensiabel pada daerahnya,
maka
dinamakan bentuk integral parsial.
Contoh :
1. Tentukan ∫ dxxx sin
Jawab :
Misalkan u = x dan dv = sin x dx, maka didapat du=dx dan v = −cos x
∫ dxxx sin = − x cos x − ∫ − dxx)cos( = …….. dst.
2. Tentukan ∫ +1x
xdx
dengan rumus integrasi parsial
Jawab :
Misalkan u = x dan dv =
1x
dx
+
maka du = dx dan v = 2 1x +
∫ +1x
xdx
=2x 1x + − ∫ =+ dx1x2 ……… dst.
4. INTEGRAL TERTENTU
Definisi
Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dari y = f(x)
a dan b disebut batas integral dengan a merupakan batas bawah dan b merupakan
batas atas.
Irvan Dedy, S.Pd Page 4 of 8 SMA Dwiwarna
∫ ∫−= vduuvudv
Misalkan y = F(x) anti turunan dari y = f(x) dan masing-masing terdefinisi
pada daerah :
a ≤ x ≤ b, maka
b
a
f(x) dx
∫ = F(x) 
a
b
= F(b) – F(a)

5. Dalil 4
Contoh :
1. Hitung
2
2
0
(x x) dx−
∫
Jawab :
2
2
0
(x x) dx−
∫ = 1/3 x3
– ½ x2

0
2
=
1 1 1 1 8 2
( 8 4) ( 0 0) 2
3 2 3 2 3 3
− − − = − =
2. Hitung
0
cos (2t ) dt
π
− π
∫
Jawab :
0
cos (2t ) dt
π
− π
∫ = ½ .sin (2t −π) 
0
π
= ½ [sin (2π − π) – sin (0 − π)]
= ½ [sin π – sin (− π)] = 0
3. Hitung
1
2
2
0
(3x 4) dx+
∫
Jawab : ∫ +
2
0
dx)4x3( 2
3
= 3
1 2
5
)43(5
2
+x 
0
2
= ])40()46[( 2
5
2
5
15
2
+−+
= )3210100(])410[ 15
2
15
2 2
5
2
5
−=−
5. LUAS DAERAH
Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ≤ x ≤ b dan kontinu pada daerah
tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x
= a ke x = b adalah
Irvan Dedy, S.Pd Page 5 of 8 SMA Dwiwarna
1. Bila f(a) terdefinisi, maka ∫ =
a
a
0dx)x(f
2. ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
3. ∫ ∫ ∫=+
b
a
c
b
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
f
a b x
y
0

6. Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi
oleh y = f(x) dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah
Misalkan f(x) ≥ g (x) pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh
grafik y = f(x) dan y = g(x) adalah
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = −x2
+ 2x dengan sumbu x
Jawab : L = ∫
2
0
dxy
= ∫ +=+−
2
0
23
3
12
xxdx)x2x( 
0
2
= (− 3
1
. 8 + 4) – 0 =
3
4
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2
dengan garis y = x + 8
Jawab :
y = x2
……... (1)
y = x + 6 ……… (2)
Dari (1) dan (2) didapat
x2
= x + 6
x2
– x – 6 = 0
x1 = 3 ; x2 = −2
Irvan Dedy, S.Pd Page 6 of 8 SMA Dwiwarna
L = ∫
b
a
dxxf )(
L = − ∫
b
a
dxxf )(
L = ∫ −
b
a
dx])x(g)x(f[
x
y
a b
f
0
a b x
g
f
y
L
0 2 X
Y
3-2 0
y = x + 6
y = x
2

7. Luas daerah, L =
3
2
3
3
12
2
12
x)(x6xdx)x6x( −−+=−+∫
= ( 2
9
+ 18 – 9) − (2 – 12 + 3
8
) = 4 ½ + 51/3 = 21 2
1
6. ISI BENDA PUTAR
Misalkan y = f(x) terdefinisi dan integrabel pada daerah a ≤ x ≤ b, bila daerah yang
dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x,
maka isi benda putar yang terjadi adalah :
Contoh :
1. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2
dari x = 0
ke x =1 diputar mengeliling sumbu x
Jawab :
Isi benda putar yang terjadi
I = π ∫∫ ===
1
0
5
15
5
14
1
0
2
0
1
πππ xdxxdxy
2. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2
dan garis
y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x
Jawab :
Batas integral



+=
=
2xy
xy 2
⇔ x2
= x + 2
x2
– x – 2 = 0 didapat x1 = −1 dan x2 = 2. Isi benda putar yang terjadi :
Irvan Dedy, S.Pd Page 7 of 8 SMA Dwiwarna
I = π
∫∫ = dxxfdxy 22
)]([π
X
Y
a b
X
Y
0 I
2-1 0
y=x+2
y= x2
X
Y

8. I= π ∫ ∫
− −
−++=−+
2
1
2
1
42222
dx]x)4x4x[(dx)x()2x( π
=
2
1
5
5
123
)xx4x2x
3
1
( −−++π = π
15
174
LATIHAN SOAL
1. ∫ +− dx)1x)(1x(
2. dx
x
xx2x 2
∫







 −+
3. ∫ − dx)1x( 2
4. ∫ − θθθ d)sin(cos 22
5. ∫ + dxx21x 35
6. ∫ +3
xcos1
xdxsin
7. Hitung luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh parabola f(x) = 4x − x2
, garis x=1
dan sumbu X.
8. Tunjukkan bahwa 3
3
1
dxxsec12
3
1 3/
0
ππ
π
≤+≤ ∫
Irvan Dedy, S.Pd Page 8 of 8 SMA Dwiwarna