Penjelasan materi dapat dilihat di https://youtu.be/mAZvBCl8CWM

1. Gelombang Berjalan
(Travelling Waves)
Pertemuan ke-11
Persamaan Diferensial Parsial
Jurusan Matematika
UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id
April 13, 2020
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 1 / 18

2. Gelombang Berjalan (Travelling Waves)
Gelombang Berjalan
Gelombang berjalan (travelling waves) memiliki representasi matematis
sebagai
U(x, t) = f (x − ct)
dengan f adalah fungsi satu variabel dan c adalah konstanta tak nol.
Animasi dari fungsi U(x, t) dimulai dari nilai awal U(x, 0) = f (x).
Jika c > 0 maka U(x, t) = f (x − ct) ketika t meningkat secara
kontinu merupakan translasi dari syarat awal U(x, 0) sebesar ct ke
arah sumbu x positif.
Jika c < 0 maka U(x, t) = f (x − ct) merepresentasikan fungsi f (x)
yang bergerak ke arah sumbu x negatif dengan kecepatan |c|.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 2 / 18

3. Contoh 1a
Fungsi U(x, t) = e−(x−5t)2
merupakan representasi gelombang berjalan
dari syarat awal U(x, 0) = e−(x2) yang bergerak searah sumbu x positive
dengan kecepatan 5. Empat buah frame animasi dari gelombang ini
tampak pada gambar di bawah ini.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 3 / 18

4. Contoh 1b
Fungsi U(x, t) = cos(2x + 6t) dapat dilihat sebagai gelombang berjalan
dengan menuliskan U(x, t) = cos(2(x + 3t)). U(x, t) merupakan
representasi gelombang berjalan dari syarat awal U(x, 0) = cos(2x) yang
bergerak searah sumbu x negatif dengan kecepatan 3. Plot solusi U(x, t)
untuk t = 0, 1, 2, 3 tampak pada gambar di bawah ini.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 4 / 18

5. Solusi berbentuk gelombang berjalan
Travelling Waves Solution
Solusi gelombang berjalan dari suatu PDP adalah solusi dari persamaan
differensial yang berbentuk
U(x, t) = f (x − ct)
Untuk mendapatkan solusi gelombang berjalan, diawali dengan
mengasumsikan bahwa solusi umum dari PDP tersebut berbentuk
U(x, t) = f (x − ct)
kemudian menentukan fungsi f dan konstanta c yang sesuai dengan
PDP yang diberikan.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 5 / 18

6. Contoh Soal 2a
Tentukan solusi gelombang berjalan dari persamaan gelombang
Utt = aUxx , a > 0 (1)
JAWAB :
Asumsikan bahwa solusi dari persamaan (1) tersebut berbentuk
U(x, t) = f (x − ct)
. Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
Ut(x, t) = [f (x − ct)](x − ct)t = −cf (x − ct)
Ux (x, t) = [f (x − ct)](x − ct)x = f (x − ct)
Penggunaan aturan rantai untuk kedua kalinya menghasilkan
Utt(x, t) = [−cf ”(x − ct)](x − ct)t = c2f ”(x − ct)
Uxx (x, t) = [f ”(x − ct)](x − ct)x = f ”(x − ct)
(2)
Substitusi kedua persamaan (2) ke dalam persamaan (1) menghasilkan
c2
f ”(x − ct) = af ”(x − ct) (3)
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 6 / 18

7. Misalkan bahwa z = x − ct, maka persamaan (3) dapat ditulis sebagai
(c2 − a)f ”(z) = 0
(c2 − a) = 0 atau f ”(z) = 0
(4)
Ingat bahwa kita ingin menentukan c dan f (z) yang memenuhi persamaan
(3) tersebut. Terdapat dua faktor dari persamaan (3) yakni
f ”(z) = 0. Fungsi f (z) yang memenuhi hanyalah fungsi linier
f (z) = A + Bz dengan B tdk boleh nol agar f (z) bukanlah fungsi
konstan. Untuk kondisi ini
U(x, t) = A + B(x − ct)
adalah solusi gelombang berjalan dari persamaan (1) untuk suatu
A, B = 0, dan c = 0.
c = ±
√
a. Pada kondisi ini, fungsi f (z) adalah fungsi yang dapat
diturunkan dua kali dan tak konstan. Dengan mengambil c = ±
√
a,
maka kedua fungsi berikut
U(x, t) = f (x −
√
at), U(x, t) = f (x +
√
at)
adalah solusi gelombang berjalan dari persamaan gelombang (1).
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 7 / 18

8. Contoh Soal 2b
Tentukan solusi gelombang berjalan dari Persamaan Adveksi
Ut + aUx = 0 (5)
dengan a adalah konstanta tak nol !
JAWAB :
Asumsikan solusi berbentuk U(x, t) = f (x − ct) sehingga substitusi solusi
umum tersebut ke persamaan (5) dan misalkan z = x − ct menghasilkan
−cf (z) + af (z) = (a − c)f (z) = 0
Terdapat dua faktor dari persamaan tersebut yakni
f (z) = 0. Fungsi f (z) yang memenuhi adalah f (z) = A. Karena kita
tidak ingin f (z) sebagai fungsi konstan, maka solusi ini diabaikan.
c = a. Pada kondisi ini, solusi gelombang berjalan untuk U(x, t)
berbentuk
U(x, t) = f (x − at)
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 8 / 18

9. Latihan Soal 1 (TUGAS)
Tentukan solusi gelombang berjalan dari Persamaan Klein-Gordon
Utt = aUxx − bU dengan a dan b adalah konstanta positif
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 9 / 18

10. Persamaan Sine-Gordon
Persamaan Sine-Gordon dituliskan sebagai Utt = Uxx − sin(U)
1 Tunjukkan bahwa solusi gelombang berjalan harus memenuhi
(1 − c2
)f ”(z) = sin(f (z)) dengan z = x − ct (6)
2 Persamaan diferensial dari bagian (a) merupakan persamaan orde dua
nonlinier. Karena persamaan tersebut tidak mengandung f (z) secara
eksplisit, maka persamaan bag (a) dapat direduksi menjadi
persamaan order satu dengan mengalikan kedua ruas dengan f (z)
lalu mengintergralkan kedua ruas terhadap z. Tunjukkan bahwa
persamaan (6) ekuivalen dengan
(1 − c2
)(f (z))2
= A − 2cos(f (z))
dengan A adalah konstanta.
3 Ketika A = 2 dan 0 < c < 1, tunjukka bahwa persamaan order 1
bagian (b) dapat dituliskan sebagai
(f (z))2
=
4
1 − c2
sin2 f (z)
2
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 10 / 18

11. kemudian verifikasi bahwa
f (z) = 4 arctan exp
z
√
1 − c2
adalah solusi dari persamaan tersebut. Dengan demikian, untuk kecepatan
0 < c < 1, maka solusi gelombang berjalan dari persamaan Sine-Gordon
berbentuk
U(x, t) = f (x − ct) = 4 arctan exp
x − ct
√
1 − c2
c=0.25 c=0.5 c=0.75
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 11 / 18

12. Fronts dan Pulse
Wave Fronts
Gelombang berjalan U(x, t) disebut sebagai wave fronts jika untuk suatu
nilai t,
lim
x→−∞
U(x, t) = k1, lim
x→∞
U(x, t) = k2
untuk suatu konstanta k1 dan k2.
Ketika nilai U sama di kedua sisi (k1 = k2) maka wave front ini disebut
sebagai pulse.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 12 / 18

13. Contoh Soal
1 Gelombang berjalan U(x, t) = e−(x−5t)2
merupakan pulse karena
limx→ e−(x−5t)2
= 0 dan limx→∞ e−(x−5t)2
= 0
2 Gelombang berjalan U(x, t) = 4 arctan exp x−ct√
1−c2
merupakan
fronts karena limx→ e−(x−5t)2
= 0 dan limx→∞ e−(x−5t)2
= 2π
3 Gelombang berjalan U(x, t) = cos(2x + 6t) bukanlah wave fronts
ataupun pulse karena limx→∞ U(x, t) tidak ada.
Apakah jenis gelombang berjalan dari U(x, t) = cos(2x + 6t)?
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 13 / 18

14. Wave Trains and dispersion
Wave Trains
Gelombang berjalan yang dapat dituliskan dalam bentuk
U(x, t) = f (kx − ωt) atau U(x, t) = f (kx + ωt)
dengan f (z) fungsi periodik disebut sebagai wave train
Misalkan U(x, t) = A cos (kx − ωt), maka U(x, t) dapat ditulis ulang
sebagai U(x, t) = A cos k x − ω
k t sehingga dapat dilihat sebagai
fungsi f (z) = A cos(kx) yang bergerak dengan kecepatan c = ω
k
k disebut sebagai bilangan gelombang yakni banyaknya siklus dari
gelombang periodik yang muncul di layar dengan panjang x
sebesar 2π.
ω disebut sebagai frekuensi sirkular yakni banyaknya siklus dari
gelombang yang melewati sebarang titik x yang tetap pada sumbu x
selama selang waktu 2π.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 14 / 18

15. Relasi Dispersi
Untuk mencari solusi berbentuk wave train dari suatu PDP, maka langkah
awal yang harus dilakukan adalah
1 Asumsikan bahwa solusi PDP tersebut berbentuk
U(x, t) = A cos(kx − ωt)
2 Sederhanakan persamaan yang diperoleh menjadi persamaan yang
merumuskan relasi antara k dan ω. Relasi ini disebut sebagai relasi
dispersi yang menyatakan nilai k dan ω yang memenuhi PDP agar
solusi berbentuk wave trains
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 15 / 18

16. Contoh Soal 3a
Tentukan solusi wave train dari persamaan adveksi berikut
Ut + aUx = 0 (7)
JAWAB :
Misalkan solusi wave train berbentuk U(x, t) = A cos(kx − ωt). Substitusi
turunan partial Ut dan Ux dari solusi umum tersebut ke persamaan (7)
menghasilkan
ωA sin(kx − ωt) + a[−kA sin(kx − ωt)] = 0
A(ω − ak) sin(kx − ωt) = 0
(8)
Karena A = 0 dan sin(kx − ωt) = 0 maka haruslah
ω − ak = 0
ω = ak
(9)
Persamaan (9) adalah relasi dispersi. Dengan demikian, solusi wave train
dari persamaan (7) adalah U(x, t) = cos [k(x − at)] yang bergerak ke arah
kanan dengan kecepatan c = a untuk sebarang bilangan gelombang k.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 16 / 18

17. Contoh Soal 3b
Persamaan Klein-Gordon berbentuk Utt = aUxx − bU dengan a, b positif.
Wave train U(x, t) = A cos(kx − ωt) adalah solusi dari PDP tersebut jika
−ω2A cos(kx − ωt) = a[−k2A cos(kx − ωt)] − bA cos(kx − ωt)
↔ A(ω2 − ak2 − b) cos(kx − ωt) = 0
Dengan demikian, U(x, t) = A cos(kx − ωt) adalah solusi dari Persamaan
Klein-Gordon jika k dan ω memenuhi relasi dispersi ω2 = ak2 + b. Ketika
ω =
√
ak2 + b maka solusi wave train menjadi solusi travelling wave
berbentuk
U(x, t) = A cos kx − ak2 + bt = A cos k x −
ak2 + b
k2
t
dengan kecepatan
c =
ak2 + b
k2
= a +
b
k2
= a +
ab
ω2 − b
Karena kecepatannya (c) bergantung kepada frekuensi ω maka solusi ini
bersifat dispersif.
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 17 / 18

18. Latihan Soal
1 Tentukan relasi dispersi dari solusi wave train yang berbentuk
U(x, t) = A cos(kx − ωt) dan tentukan apakah persamaan tersebut
dispersif atau tidak. Asumsikan bahwa a adalah konstanta positif
Utt = aUxx (TUGAS) Persamaan Gelombang
Utt + aUxxxx = 0 Persamaan beam
Ut + Ux + Uxxx = 0 Persamaan KdV Linier
2 Relasi dispersi terkadang lebih mudah untuk ditentukan menggunakan
complex wave train berikut
U(x, t) = cos(kx − ωt) + i sin(kx − ωt) = ei(kx−ωt)
(10)
dengan i adalah satuan imajiner. Pada kasus ini,
Ux (x, t) = ikei(kx−ωt) dan Ut(x, t) = −iωei(kx−ωt). Gunakan bentuk
complex wave train tersebut untuk menentukan relasi dispersi dari
PDP berikut ini. Asumsikan bahwa a dan d adalah konstanta positif
Ut + aUx = dUxx (TUGAS) Persamaan Burger linier
iUt + Uxx = 0 Persamaan Schrodinger
Utt = aUxx Persamaan Gelombang
Pertemuan ke-11 (PDP) Travelling Waves April 13, 2020 18 / 18