Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
1
Aplikasi Vektor untuk
Medan dan Gelombang EM
2
Dasar-dasar Vektor
( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA ++=

Konvensi:
Vektor ditulis dengan anak
panah d...
3
Penjumlahan vektor
( ) zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC +++++=

Pengurangan ekivalen dng penjumlahan
A dng negatif dari B: D = ...
4
Vektor posisi dan vektor jarak
z2y2x22
z1y1x11
azayaxR
azayaxR
++=
++=


Vektor R12 adalah vektor dari
P1 ke P2 dan ja...
5
Vektor posisi dan vektor jarak
Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1)
Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az
Vektor po...
6
Perkalian titik (perkalian skalar)
( )ABBABA θcos

=⋅
• Selalu menghasilkan bilangan skalar
• A cos(θAB) adalah komp...
7
Perkalian titik (perkalian skalar)
( )
332211
z3y2x1
z3y2x1
AB
BABABABA
aBaBaBB
aAaAaAA
θcosBABA
++=⋅
++=
++=
=⋅



...
8
Perkalian silang (perkalian vektor)
Aturan sekrup putar bisa dipakai:
Pemutaran A ke B menggerakkan
sekrup ke arah vekto...
9
Perkalian silang (ljt)
Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil
perkalian silang positif, sebaliknya, per...
10
Triple Products
Hasil operasi lain yang penting:
( ) ( ) ( )BACACBCBA

×⋅=×⋅=×⋅
Scalar triple product
Vector t...
11
VECTOR REPRESENTATION
3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS:
• RECTANGULAR
• CYLINDRICAL
• SPHERICAL
Choice is based on
symmetry...
12
Sistem Koord. Kartesian
x
y
z
(x, y, z) Kuantitas diferensial:
dV, dS and d!
yxz
zyx
aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd
aˆdzaˆdyaˆdx...
13
Sistem Koord. Kartesian
yxz
zyx
aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd
aˆdzaˆdyaˆdxld
dzdydxdv
===
++=
=


14
Sistem Koord. Tabung atau Silindris
z
y
x
φ
ρ
(ρ, φ, z)
Perhatikan kuantitas diferensial:
dV, dS and d!
dzdddv
aˆdzdsd...
15
Sistem Koord. Tabung atau Silindris
dzdddv
aˆdzdsd
aˆdzaˆdaˆdld z
φρρ=
φρ=
+φρ+ρ=
ρ
φρ


16
Sistem Koordinat Bola
z
y
x
r
φ
θ
(r, θ, φ)
nb : harga θ adalah 0 sampai π
, bukan 0 sampai 2π
Lihat lagi kuantitas dif...
17
Sistem Koordinat Bola
ddθdrsinθrdv
aˆddθsinθrsd
aˆdsinθraˆdθraˆdrld
2
r
2
θr
φ=
φ=
φ++= φ


18
Transformasi Koordinat
Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem
koordinat: mis. dlm teori antena kita...
19
Soal2
1. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3)
Cari :
– Vektor dari A ke C
– Vektor satuan dari B ke A
– Jarak da...
20
Soal2
2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh
W=4x2
y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2
) az
Cari :
– Besar medan di P(2,-3,4)
...
21
Soal2
3. Diketahui F = 2ax-5ay-4az; G = 3ax+5ay+2az
Cari :
3. F.G
4. Sudut antara F dan G
5. Panjang proyeksi F pada G
...
22
Soal2
4. Diketahui F = -45ax+70ay+25az; G = 4ax-3ay+2az
Cari :
4. F x G
5. ax (ay x F)
6. (ay x ax ) x F
7. Vektor satu...
23
Soal2
5. Diketahui P(ρ=6,φ=1250
, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)
Cari :
– Jarak dari P ke titik asal
– Q tegak lurus pada su...
24
Soal2
6. a. Nyatakan T=240+z2
-2xy dalam koordinat
tabung
b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika
kerapatannya ( )ϕρ...
25
Soal2
7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam
koordinat tabung
b. Cari medan F dalam koord cartesian jika
F= ρ cos...
26
Operator Del = ∇
( )
( )
( )Bolaa
sinr
a
r
a
r
Tabunga
z
aa
Cartesiana
z
a
y
a
x
r
z
zyx
φθ
φρ
φ∂θ
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=∇
∂
...
27
Grad, Div dan Curl
an vektormenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Curl
AAA
zyx
aaa
ACurlA
skalaranmenghasilkuntukvektorpa...
28
Gradien dari medan skalar
Jika ϕ(x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut
medan skalar. Gradien dari...
29
Contoh gradien
( )
( )
2
2
, ,
ˆ ˆ ˆMaka 2
z
z z
x y z x y xe
x e x x y xe z
ϕ
ϕ
= −
∇ = − + −
Evaluasi gradien pada ti...
30
Rapat fluks
Operator divergensi dinyatakan sbg ∇ dan selalu beroperasi
pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperas...
31
Divergensi
Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan
volume pada (sepanjang) permukaan tertutup....
32
Contoh divergensi
x6x
x0x6E
zˆzxyˆz2xˆx3E
2
2
22
+=
++=⋅∇
++=


Di titik (2,-2,0)
( )
16
0,2,2
=⋅∇
−
E

Karena nilai...
33
Curl (Rotasi=Pusaran)
Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari
medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandan...
34
Perhitungan curl
( )
teksbookpadaditemukanbisalainkoordinatsistemUntuk
Cartesian
BBB
zyx
aaa
BCurlB
zyx
zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂...
35
Operator penting lainnya
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
z
2
y
2
x
22
2
z
V
y
V
x
V
V
AAA
0
0
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
∇+∇+∇=∇
=×∇⋅∇
=φ...
36
Operator Laplacian (1)
Ingat: ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆx y z
x y z
x y z
A x A y A z
ϕ ϕ ϕ
ϕ
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
= + +
Sekarang ( )
2...
37
Laplacian (2)
Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor
ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE= + +

Jika
Maka,
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
ˆ ...
38
Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl
zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
z
A
y
A
x
A
z
z
y
y
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
∂
∂
+
∂
∂...
39
Teorema integral
(teorema divergensi)
v S
E dv E dS∇× = ×∫ ∫
 
Ñ
Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume...
40
Integral garis/permukaan
Contoh: teorema Stoke
rn ˆˆ =
( ) (teorema Stoke)
S C
B dS B dl∇× × = ×∫ ∫
rrr r
Ñ
Hitung inte...
41
Permasalahan nilai batas
Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial)
yg menggambarkan medan EM adal...
42
Syarat batas jenis Dirichlet
S

Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan
suatu kuantitas (variab...
43
Syarat batas jenis Neumann
Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas
diberikan pada batasnya, mis, pada ....
44
Contoh (1) batas bidang (planar)
Hi EiEr
Hr
x
θr θi
θtHt
Et
ε2µ2
ε1µ1
Kita perlu pernyataan mengenai medan normal
dan t...
45
Contoh (2): bumbung gelombang
( ) 0y,xEk
yx
z
2
c2
2
2
2
=








+
∂
∂
+
∂
∂
( ) 02
2
2
2
2
=





+
...
46
Syarat batas dalam EM
Et1 nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Et2
E tangensial kontinyu
nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Ht2
Ht1
n × (H1-H2)=Js
nε1µ1σ1
ε2µ2σ2...
47
Lihat contoh berikut
Et1 nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Et2
E tangensial kontinyu
Hal ini menyatakan bahwa
medan (listrik) tangensial d...
48
Dan satu contoh lagi
nε1µ1σ1
ε2µ2σ2 Ht2
Ht1
n × (H1-H2) = Js
Hal ini menyatakan bahwa medan
magnetik pada kedua sisi ti...
49
Contoh:
( )
( )
0
0
2 2
0
2 2
ˆ
memenuhi 0
ˆ
ˆ memenuhi 0d
j z
i i
j z
r r
j z
t t d
E xE e
E
E xE e
E xE e E
β
β
β
β
β...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Medan vektor

5,993 views

Published on

Penjelasan medan vektor pada mata kuliah Matriks dan Ruang Vektor

Published in: Education
  • Be the first to comment

Medan vektor

  1. 1. 1 Aplikasi Vektor untuk Medan dan Gelombang EM
  2. 2. 2 Dasar-dasar Vektor ( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA ++=  Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial Konvensi: vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z) ke arah sumbu-y A A aˆora  = ( )2 1 2 z 2 y 2 x AAAA ++= 
  3. 3. 3 Penjumlahan vektor ( ) zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC +++++=  Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)
  4. 4. 4 Vektor posisi dan vektor jarak z2y2x22 z1y1x11 azayaxR azayaxR ++= ++=   Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d: ( ) ( ) ( ) z12y12x12 1212 azzayyaxx RRR −+−+−= −=  ( ) ( ) ( )[ ] 212 12 2 12 2 12 12 zzyyxx Rd −+−+−= = 
  5. 5. 5 Vektor posisi dan vektor jarak Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1) Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az Vektor posisi OQ = rQ= 2ax - 2ay + az Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az
  6. 6. 6 Perkalian titik (perkalian skalar) ( )ABBABA θcos  =⋅ • Selalu menghasilkan bilangan skalar • A cos(θAB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. • Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: • A·A=|A|2 =A2 0ˆˆ =⋅ yx
  7. 7. 7 Perkalian titik (perkalian skalar) ( ) 332211 z3y2x1 z3y2x1 AB BABABABA aBaBaBB aAaAaAA θcosBABA ++=⋅ ++= ++= =⋅    
  8. 8. 8 Perkalian silang (perkalian vektor) Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal. !!!!PENTING!!!
  9. 9. 9 Perkalian silang (ljt) Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif. xa yaza yzx yxz zyx aaa aaa aaa −=× =× =× zyx zyx zyx BBB AAA aaa BA =× 
  10. 10. 10 Triple Products Hasil operasi lain yang penting: ( ) ( ) ( )BACACBCBA  ×⋅=×⋅=×⋅ Scalar triple product Vector triple product (aturan bac-cab) ( ) ( ) ( )BACCABCBA  ⋅−⋅=×× Menghasilkan skalar Menghasilkan vektor
  11. 11. 11 VECTOR REPRESENTATION 3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: • RECTANGULAR • CYLINDRICAL • SPHERICAL Choice is based on symmetry of problem Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL
  12. 12. 12 Sistem Koord. Kartesian x y z (x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d! yxz zyx aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd aˆdzaˆdyaˆdxld dzdydxdv === ++= =   xaˆ yaˆ zaˆ
  13. 13. 13 Sistem Koord. Kartesian yxz zyx aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd aˆdzaˆdyaˆdxld dzdydxdv === ++= =  
  14. 14. 14 Sistem Koord. Tabung atau Silindris z y x φ ρ (ρ, φ, z) Perhatikan kuantitas diferensial: dV, dS and d! dzdddv aˆdzdsd aˆdzaˆdaˆdld z φρρ= φρ= +φρ+ρ= ρ φρ   zaˆ φaˆ ρaˆ
  15. 15. 15 Sistem Koord. Tabung atau Silindris dzdddv aˆdzdsd aˆdzaˆdaˆdld z φρρ= φρ= +φρ+ρ= ρ φρ  
  16. 16. 16 Sistem Koordinat Bola z y x r φ θ (r, θ, φ) nb : harga θ adalah 0 sampai π , bukan 0 sampai 2π Lihat lagi kuantitas diferensial: dV, dS and d! ddθdrsinθr aˆddθsinθr aˆdsinθraˆdθraˆdrld 2 r 2 θr φ φ φ φ = = ++= dv sd   θaˆ φaˆ raˆ
  17. 17. 17 Sistem Koordinat Bola ddθdrsinθrdv aˆddθsinθrsd aˆdsinθraˆdθraˆdrld 2 r 2 θr φ= φ= φ++= φ  
  18. 18. 18 Transformasi Koordinat Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola : φ+θ−= θ−φθ+φθ= θ+φθ+φθ= φ θ cosAsinAA sinAsincosAcoscosAA cosAsinsinAcossinAA yx zyx zyxr Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan
  19. 19. 19 Soal2 1. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3) Cari : – Vektor dari A ke C – Vektor satuan dari B ke A – Jarak dari B ke C •-ax+8ay-4az •0,762ax-0,127ay-0,635az •12,45
  20. 20. 20 Soal2 2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x2 y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2 ) az Cari : – Besar medan di P(2,-3,4) – Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P – Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan • 53,4 • -0,899ax-0,412ay+0,150az • +- 0,455
  21. 21. 21 Soal2 3. Diketahui F = 2ax-5ay-4az; G = 3ax+5ay+2az Cari : 3. F.G 4. Sudut antara F dan G 5. Panjang proyeksi F pada G 6. Proyeksi vektor F pada G • -27,0 • 130,8 o • -4,38 • -2,13ax-3,55ay-1,42az
  22. 22. 22 Soal2 4. Diketahui F = -45ax+70ay+25az; G = 4ax-3ay+2az Cari : 4. F x G 5. ax (ay x F) 6. (ay x ax ) x F 7. Vektor satuan yang tegak lurus F pada G • 215ax+190ay-145az • -45ay • -70ax-45ay • +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)
  23. 23. 23 Soal2 5. Diketahui P(ρ=6,φ=1250 , z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4) Cari : – Jarak dari P ke titik asal – Q tegak lurus pada sumbu z – P ke Q • 6,71 • 3,16 • 11,20
  24. 24. 24 Soal2 6. a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya ( )ϕρ 23 cos2 2 +−z e • 240+z2 –ρ2 sin 2φ • 8,66
  25. 25. 25 Soal2 7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung b. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= ρ cosφ aρ • ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ • ( )yx yaxa yx x +         + 22
  26. 26. 26 Operator Del = ∇ ( ) ( ) ( )Bolaa sinr a r a r Tabunga z aa Cartesiana z a y a x r z zyx φθ φρ φ∂θ ∂ + θ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ∂ ∂ + φ∂ ∂ + ρ∂ ∂ =∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇
  27. 27. 27 Grad, Div dan Curl an vektormenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Curl AAA zyx aaa ACurlA skalaranmenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Div z A y A x A ADivergensiA an vektormenghasilkuntukskalarfungsipadaberoperasi:Grad a z a y a x Gradien EMmedanteoridalammendasarsangatyang halmerupakandanldiferensiaoperatoradalahKetiganya zyx zyx zyx zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ==×∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ==⋅∇ ∂ φ∂ + ∂ φ∂ + ∂ φ∂ =φ=φ∇
  28. 28. 28 Gradien dari medan skalar Jika ϕ(x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari ϕ, dinyatakan sbg grad ϕ atau ∇ϕ Adalah vektor menurut aturan berikut: dibaca “del phi” Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu- kaan yang digambarkan oleh ϕ(x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor. a z a y a x Grad zyx ∂ φ∂ + ∂ φ∂ + ∂ φ∂ ==φ∇
  29. 29. 29 Contoh gradien ( ) ( ) 2 2 , , ˆ ˆ ˆMaka 2 z z z x y z x y xe x e x x y xe z ϕ ϕ = − ∇ = − + − Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan ( ) ˆ ˆ ˆ5 4 2P x y zϕ∇ = − + − Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah ( ) 28 21 Pϕ − ∇ = turunan berarah
  30. 30. 30 Rapat fluks Operator divergensi dinyatakan sbg ∇ dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan seragam medan tak seragam
  31. 31. 31 Divergensi Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar. z E y E x E EDivergensiE zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ==⋅∇
  32. 32. 32 Contoh divergensi x6x x0x6E zˆzxyˆz2xˆx3E 2 2 22 += ++=⋅∇ ++=   Di titik (2,-2,0) ( ) 16 0,2,2 =⋅∇ − E  Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.
  33. 33. 33 Curl (Rotasi=Pusaran) Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. Medan B seragam, curl-nya nol. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol.
  34. 34. 34 Perhitungan curl ( ) teksbookpadaditemukanbisalainkoordinatsistemUntuk Cartesian BBB zyx aaa BCurlB zyx zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ==×∇
  35. 35. 35 Operator penting lainnya ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 z 2 y 2 x 22 2 z V y V x V V AAA 0 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ∇+∇+∇=∇ =×∇⋅∇ =φ∇×∇ ∇−⋅∇∇=×∇×∇ A A AAA Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembaha- san mendatang. Operator Laplacian
  36. 36. 36 Operator Laplacian (1) Ingat: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z x y z x y z A x A y A z ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ = + + Sekarang ( ) 2 2 2 2 2 2 yx z AA A x y z x y y ϕ ϕ ϕ ϕ ∂∂ ∂ ∇× ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ Untuk praktisnya ditulis: ( )2 ϕ ϕ∇ = ∇× ∇ baca “del kuadrat”
  37. 37. 37 Laplacian (2) Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE= + +  Jika Maka, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆx y z E E x y y x E y E z E  ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ÷ ∂ ∂ ∂  = ∇ + ∇ + ∇   Dapat juga ditunjukkan bahwa: ( )2 E E E∇ = ∇ ∇× −∇×∇×    “curl curl dari E”
  38. 38. 38 Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl zyx zyx AAA zyx zyx z A y A x A z z y y x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =×∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ˆˆˆ ˆˆˆ A A φφφ φ
  39. 39. 39 Teorema integral (teorema divergensi) v S E dv E dS∇× = ×∫ ∫   Ñ Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan. ( ) (teorema Stokes) S C B dS B dl∇× × = ×∫ ∫   Ñ Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup
  40. 40. 40 Integral garis/permukaan Contoh: teorema Stoke rn ˆˆ = ( ) (teorema Stoke) S C B dS B dl∇× × = ×∫ ∫ rrr r Ñ Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan. Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen.
  41. 41. 41 Permasalahan nilai batas Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: •Syarat batas jenis Dirichlet •Syarat batas jenis Neumann •Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)
  42. 42. 42 Syarat batas jenis Dirichlet S  Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada . gV = Persyaratan V = g pada  disebut sbg syarat batas Dirichlet.
  43. 43. 43 Syarat batas jenis Neumann Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada .f dn dV = S  f dn dV = Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.
  44. 44. 44 Contoh (1) batas bidang (planar) Hi EiEr Hr x θr θi θtHt Et ε2µ2 ε1µ1 Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus- kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0). y incidentreflected transmitted
  45. 45. 45 Contoh (2): bumbung gelombang ( ) 0y,xEk yx z 2 c2 2 2 2 =         + ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) 02 2 2 2 2 =      + ∂ ∂ + ∂ ∂ yxHk yx zc , X Y a b ε, µ Perlu Ez=0 pada semua dinding ⇒ syarat batas Dirichlet perlu pada dinding. ⇒ syarat batas Neumann dan 0z zH H x y ∂ ∂ = ∂ ∂
  46. 46. 46 Syarat batas dalam EM Et1 nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Et2 E tangensial kontinyu nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Ht2 Ht1 n × (H1-H2)=Js nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Bn1 Bn2 B normal kontinyu nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 D2n D1n n·(D1-D2)=ρs Ekivalen
  47. 47. 47 Lihat contoh berikut Et1 nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Et2 E tangensial kontinyu Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E. Jika kita punya: ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE= + + r Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!ˆn E× r
  48. 48. 48 Dan satu contoh lagi nε1µ1σ1 ε2µ2σ2 Ht2 Ht1 n × (H1-H2) = Js Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi: 1 ˆ sn H J× = r rIni berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan. “permukaan”
  49. 49. 49 Contoh: ( ) ( ) 0 0 2 2 0 2 2 ˆ memenuhi 0 ˆ ˆ memenuhi 0d j z i i j z r r j z t t d E xE e E E xE e E xE e E β β β β β − + − =  ∇ + = =  = ∇ + = r r r r r zε0 εd Ei atau Er Et Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu. ( ) 0 1 i r t t i r d E E E E E E Z Z + = − =

×