Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
TURUNAN PARSIAL DAN ATURAN
RANTAI FUNGSI MULTI VARIABEL
Lia Yuliana, S.Si., MT.
Turunan Fungsi dua Variabel
Turunan Parsial.
Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel
independen x dan y. Karena x ...
Turunan Fungsi dua Variabel
Definisi
i) Turunan parsial terhadap variabel x
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z
meru...
Turunan Fungsi dua Variabel
ii) Turunan parsial terhadap variabel y
Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z
merupakan fu...
Menentukan nilai turunan
menggunakan limit
Contoh:
a. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap x jika
f(x,y) = x2
+ 2y
J...
Menentukan nilai turunan
menggunakan limit
b. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap y jika
f(x,y) = x2
+ 2y
y
)y,x()y...
Contoh: Jika z = ln (x2
+ y2
) tunjukkan bahwa
Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih
dahulu
Selanjutnya ten...
z = ln (x2
+ y2
) , turunan parsial terhadap x dan y
dan
maka :






y
z
y
x
z
x
22
22
yx
x2
x
)yxln(
x
z




...
Turunan Parsial Tingkat Dua
Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai turunan parsial di
setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka
...
Turunan Parsial Tingkat Dua
Turunan parsial tingkat dua dinyatakan sbb:
2
2
2
2
2
2
)(
)(
)(
)(
y
f
y
f
y
fff
y
yx
f
y
f
x...
Menentukan nilai turunan parsial tingkat dua
Contoh: Tentukan turunan parsial tingkat dua untuk
f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y...
Turunan Parsial Tingkat Tiga
Turunan parsial ketiga dan yang lebih tinggi
dinyatakan dalam bentuk yang sama.
yyxxyyyxy
xxy...
Turunan Parsial Fungsi Tiga Variabel
Untuk fungsi tiga variabel f(x,y,z), terdapat tiga turunan
parsial fx(x,y,z), fy(x,y,...
Turunan Parsial Fungsi n Variabel
• Secara umum, jika f(v1,v2,…,vn) adalah fungsi n
variabel, maka terdapat n turunan pars...
Contoh:
- Jika f(x,y,z) = x3y2z4 + 2xy + z, tentukan
fx , fy , fz , dan fz (-1, 1, 2)
- Jika
tentukan
 sincos),,( 2
...
Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Jika x=x(t) dan y=y(t) fungsi yang diferensiable
di t, dan jika z=f(x,y) diferensiabel d...
Contoh:
Misal , dimana x=cos , y=sin .
Gunakan aturan rantai untuk menentukan
saat
Contoh:
Andaikan dimana .
Gunakan atu...
Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Andaikan z=F(x,y), dan y adalah fungsi
diferensiable terhadap x, rumus aturan
rantainya ...
Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Tinjau fungsi dua variabel z=f(x,y), dimana x
dan y adalah fungsi dari u dan v, yakni
. ...
Aturan Rantai Fungsi dua Variabel
Teorema
Jika mempunyai turunan
parsial pertama di titik (u,v) dan jika z=f(x,y)
diferens...
Contoh:
dimana , dengan menggunakan
aturan rantai tentukan dan .
Contoh
Tentukan kecepatan perubahan luas persegi panjang
...
Aturan Rantai Fungsi Tiga Variabel
Theorema
Jika x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang
differensiable di t, dan w=f(x,y,z...
Contoh:
Misal w=ln (3x2-2y+4z3) dimana , ,
dan
Tentukan
2
1
tx  3
2
ty 
2
 tz
dt
dw
Aturan Rantai Fungsi n Variabel
Definisi di atas dapat diperluas untuk fungsi n
variabel. Jika v1, v2, … , vn adalah fungs...
Contoh:
Misal . Tentukan turunan
parsial pertama terhadap variabel-variabelnya.
Contoh:
Misal w=xy+yz, y=sin x, z=ex. Tent...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

8

Share

Download to read offline

Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai

Download to read offline

Turunan dan aturan rantai Kalkulus

Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai

  1. 1. TURUNAN PARSIAL DAN ATURAN RANTAI FUNGSI MULTI VARIABEL Lia Yuliana, S.Si., MT.
  2. 2. Turunan Fungsi dua Variabel Turunan Parsial. Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka : (i). x berubah-ubah sedangkan y tertentu. (ii). y berubah-ubah sedangkan x tertentu.
  3. 3. Turunan Fungsi dua Variabel Definisi i) Turunan parsial terhadap variabel x Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb : x yxfyxxf yxf x z x x       ),(),( lim),( 0
  4. 4. Turunan Fungsi dua Variabel ii) Turunan parsial terhadap variabel y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb : y yxfyyxf yxf y z y y       ),(),( lim),( 0
  5. 5. Menentukan nilai turunan menggunakan limit Contoh: a. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap x jika f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f(x,y) = x2 + 2y maka )xx2(lim 0x   x2 x )y,x()y,xx( lim)y,x( 0x x     ff f x )y2x()y2)xx(( lim 22 0x    
  6. 6. Menentukan nilai turunan menggunakan limit b. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap y jika f(x,y) = x2 + 2y y )y,x()yy,x( lim)y,x( 0Δy y     ff f y )y2x())yy(2x( lim 22 0Δy     22lim 0Δy  
  7. 7. Contoh: Jika z = ln (x2 + y2 ) tunjukkan bahwa Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu Selanjutnya tentukan nilai y z dan x z     2 y z y x z x       y z y x z x     
  8. 8. z = ln (x2 + y2 ) , turunan parsial terhadap x dan y dan maka :       y z y x z x 22 22 yx x2 x )yxln( x z        22 22 yx y2 y )yxln( y z        2 22 2222     yx y y yx x x
  9. 9. Turunan Parsial Tingkat Dua Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai turunan parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai turunan parsial yang disebut turunan parsial tingkat dua. ),( yxf x z x   )y,x( y z yf  
  10. 10. Turunan Parsial Tingkat Dua Turunan parsial tingkat dua dinyatakan sbb: 2 2 2 2 2 2 )( )( )( )( y f y f y fff y yx f y f x fff x xy f x f y fff y x f x f x fff x yyyyy yxxyy xyyxx xxxxx                                                            
  11. 11. Menentukan nilai turunan parsial tingkat dua Contoh: Tentukan turunan parsial tingkat dua untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2 Jawab : Turunan parsial tingkat satu dari fungsi: fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2 fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y Jadi turunan parsial tingkat dua fxx (x,y) = 2y + 4y2 fyy (x,y) = 4x2 fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3 fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3
  12. 12. Turunan Parsial Tingkat Tiga Turunan parsial ketiga dan yang lebih tinggi dinyatakan dalam bentuk yang sama. yyxxyyyxy xxyyxxxyx xyxxy xxxxx fff fff xyx f xy f x ff x x f x f x ff x                                 32 3 3 2 2
  13. 13. Turunan Parsial Fungsi Tiga Variabel Untuk fungsi tiga variabel f(x,y,z), terdapat tiga turunan parsial fx(x,y,z), fy(x,y,z), dan fz(x,y,z) • Turunan parsial fx diperoleh dengan menganggap variabel y dan z konstan dan menurunkan pada variabel x. • Turunan parsial fy diperoleh dengan menganggap variabel x dan z konstan dan menurunkan pada variabel y. • Turunan parsial fz diperoleh dengan menganggap variabel x dan y konstan dan menurunkan pada variabel z.
  14. 14. Turunan Parsial Fungsi n Variabel • Secara umum, jika f(v1,v2,…,vn) adalah fungsi n variabel, maka terdapat n turunan parsial dari f, dimana ada n-1 variabel tetap dan menurunkan pada variabel yang bersangkutan. • Jika w=f(v1,v2,…,vn), maka turunan parsialnya dinyatakan dengan dimana diperoleh dengan menganggap semua variabel kecuali vi tetap dan menurunkan pada variabel vi . nv w v w v w       ,,, 21  iv w  
  15. 15. Contoh: - Jika f(x,y,z) = x3y2z4 + 2xy + z, tentukan fx , fy , fz , dan fz (-1, 1, 2) - Jika tentukan  sincos),,( 2 f  fff dan,,
  16. 16. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Jika x=x(t) dan y=y(t) fungsi yang diferensiable di t, dan jika z=f(x,y) diferensiabel di titik (x(t), y(t)), maka z=f(x(t),y(t)) diferensiable di t, dan dt dy y z dt dx x z dt dz      
  17. 17. Contoh: Misal , dimana x=cos , y=sin . Gunakan aturan rantai untuk menentukan saat Contoh: Andaikan dimana . Gunakan aturan rantai untuk menentukan saat yxyz  d dz 2    tgrrw  2 ssr   , ds dw 4 1 s
  18. 18. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Andaikan z=F(x,y), dan y adalah fungsi diferensiable terhadap x, rumus aturan rantainya memenuhi dx dy y F x F dx dy y F dx dx x F dx dz            
  19. 19. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Tinjau fungsi dua variabel z=f(x,y), dimana x dan y adalah fungsi dari u dan v, yakni . Dengan mensubstitusikan fungsi x dan y diperoleh hubungan z=f(x(u,v),y(u,v)), sehingga z menjadi fungsi dua variabel u dan v. Dengan demikian kita dapat mencari turunan parsial pertama dan . ),();,( vuyyvuxx  u z   v z  
  20. 20. Aturan Rantai Fungsi dua Variabel Teorema Jika mempunyai turunan parsial pertama di titik (u,v) dan jika z=f(x,y) diferensiable di titik (x(u,v),y(u,v)), maka z=f(x(u,v),y(u,v)) mempunyai turunan parsial pertama di (u,v), yang memenuhi ),();,( vuyyvuxx  v y y z v x x z v z u y y z u x x z u z                         ,
  21. 21. Contoh: dimana , dengan menggunakan aturan rantai tentukan dan . Contoh Tentukan kecepatan perubahan luas persegi panjang yang panjangnya 15 inch berubah dengan kecepatan 3 inch/dt dan lebarnya 6 inch berubah dengan kecepatan 2 inch/dt. xy ez  v u yvux  ,2 u z   v z  
  22. 22. Aturan Rantai Fungsi Tiga Variabel Theorema Jika x=x(t), y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang differensiable di t, dan w=f(x,y,z) differensiable di titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t)) differensiable di t, dan dt dz z w dt dy y w dt dx x w dt dw         
  23. 23. Contoh: Misal w=ln (3x2-2y+4z3) dimana , , dan Tentukan 2 1 tx  3 2 ty  2  tz dt dw
  24. 24. Aturan Rantai Fungsi n Variabel Definisi di atas dapat diperluas untuk fungsi n variabel. Jika v1, v2, … , vn adalah fungsi-fungsi satu variabel t, maka w= f(v1, v2, … , vn) adalah suatu fungsi t, dan rumus aturan rantai untuk adalah: dt dw dt dv v w dt dv v w dt dv v w dt dw n n         ...2 2 1 1
  25. 25. Contoh: Misal . Tentukan turunan parsial pertama terhadap variabel-variabelnya. Contoh: Misal w=xy+yz, y=sin x, z=ex. Tentukan 2 4 2 3 2 2 2 1 4321 ),,,( vv vv vvvvf    dx dw
  • Soundsgood2

    Nov. 30, 2020
  • RahmaDilla4

    Oct. 27, 2020
  • ArfaniAsra

    Mar. 11, 2020
  • rosdiniseptemtia

    Nov. 19, 2019
  • AndreanPrasetiyo

    Nov. 13, 2019
  • Almaasah

    Jul. 4, 2019
  • YulitaAmi

    Oct. 22, 2017
  • Arief1010

    Sep. 4, 2017

Turunan dan aturan rantai Kalkulus

Views

Total views

62,000

On Slideshare

0

From embeds

0

Number of embeds

3

Actions

Downloads

103

Shares

0

Comments

0

Likes

8

×