Mata kuliah Mekanika Getaran dan Gempa membahas tentang dasar-dasar mekanika getaran dan analisis dinamik struktur. Topik utama mata kuliah ini meliputi persamaan kesetimbangan dinamik untuk struktur satu derajat kebebasan baik untuk getaran tak teredam maupun teredam, serta pengenalan awal tentang analisis dinamik struktur dengan derajat kebebasan majemuk.

1. Mekanika Getaran dan Gempa

Dosen pengampu matakuliah:
Himawan Indarto
Ilham Nurhuda

2. Mengapa perlu belajar matakuliah
Mekanika Getaran dan Gempa?

3. Dasar-dasar mekanika getaran

4. Isi

Persamaan kesetimbangan dinamik untuk struktur berderajat
kebebasan tunggal (SDOF)
• Getaran tak teredam
• Getaran dengan redaman


Respon terhadap beban berdurasi singkat
Dasar-dasar analisis dinamik struktur dengan banyak derajat
kebebasan (MDOF)

5. Tujuan pembelajaran
Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu:


Memahami persamaan kesetimbangan dinamik
pada getaran bebas teredam dan tak teredam
Mampu melakukan analisis perpindahan struktur
berderajat kebebasan tunggal

6. Struktur berderajat kebebasan tunggal

7. Persamaan kesetimbangan dinamik
Getaran tak teredam
Gaya inersia

mu
percepatan

u
m
ku
Gaya elastis
Persamaan kesetimbangan dinamik :

mu + ku = 0

8. Persamaan kesetimbangan dinamik
Getaran tak teredam

mu + ku = 0
Penyelesaian dari persamaan dinamik
ambil u = A.e st dimana s adalah variabel, t adalah waktu,
dan A adalah sebuah konstanta

u = s. A.e st

; u = s 2 . A.e st
(ms2 + k ) A.est = 0 ⇒
(ms2 + k ) = 0 ⇒
s memiliki 2 akar : + iωn and - iωn
Amplitude of vibration
Angular velocity
k
where ωn =
⇒
m
u ( t ) = A1eiω n t + A2 e − iωn t ⇒
u ( t ) = C cos ωnt + D sin ωnt atau u ( t ) = A sin ( ωnt − φ )
Phase angle

9. Getaran tak teredam
u ( t ) = A sin ( ωnt − φ ) atau u ( t ) = C sin ( ωnt ) + D cos( ωnt )
Angular velocity
u(t)
1.5
Phase angle
Free Undamped Vibration
A
0
Tn = 1 sec
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
time (secs)
Tn = 1 sec ; ω n = 2π/Tn = 6.28 radian/sec
Angular velocity
(frekwensi natural)

10. Persamaan kesetimbangan dinamik
Getaran teredam
Gaya inersia

mu
percepatan

u
ku
Gaya redam
m
Gaya elastis

cu
Persamaan kesetimbangan dinamik :
 
mu + cu + ku = 0

11. Penyelesaian persamaan kesetimbangan dinamik
Getaran teredam
Persamaan kesetimbangan :
 
mu + cu + ku = 0
ambil u = A.e st dimana s adalah variabel dan t adalah waktu
(ms2 + cs + k ) A.est = 0 ⇒
 2 c
2
 s + s + ωn  = 0 ⇒
m


2
c
2
Determinan persamaan di atas : D =   − 4.ωn
m
Kondisi kritis terjadi bila D = 0, pada kondisi ini :
2
c
2
  = 4.ωn atau c = 2.m.ωn
m
sehingga ccr = 2.m.ωn

12. Koefisien damping C
Ketika C mencapai nilai kritis CCR = 2 m ω n
Struktur tidak ber-osilasi (karena teredam).
Pada struktur yang bergetar, nilai redaman biasanya
dinyatakan dalam prosentase terhadap redaman kritisnya
(C/CCR (atau ζ )).
Contoh: struktur beton bertulang ζ = 0.05 atau 5 %

13. Persamaan kesetimbangan dinamik pada struktur teredam
 
mu + cu + ku = 0
c
diketahui :
= ξ dan ccr = 2mωn ⇒ c = 2ξmωn
c cr


mu + 2ξmωnu + ku = 0
Persamaan dapat disusun kembali menjadi :
2


u + 2ξωnu + ωn u
=0

14. Persamaan kesetimbangan dinamik pada getaran teredam


u + 2ξωnu + ω u = 0
2
n
ambil u = Ae st dimana s adalah variabel dan t adalah waktu
(s2 + 2ξωn s + ωn2 ) Aest = 0 ⇒
(s2 + 2ξωn s + ωn2 ) = 0 ⇒
s memiliki 2 akar : ωn  - ξ + i 1 − ξ 2  dan ωn  - ξ − i 1 − ξ 2  ⇒








u ( t ) = e −ξωn t { C cos ω D t + D sin ω D t } atau e −ξωn t Asin ( ω D t − φ )
dimana ω D = ωn 1 − ξ 2 ≈ ωn bila ξ kecil

15. Damped Vibration (cont’d)
Solution of equation :
u ( t ) = e −ξωnt A sin ( ω D t − φ )
or e −ξωnt [ C sin ( ω D t ) + D cos( ω D t ) ]
Damped angular velocity
ω D = ωn 1 - ξ 2
Example :
For Tn = 1 sec ; ω n = 2π/Tn = 6.28 radian/sec
Example
ξ
ωD
0.05
0.10
0.20
0.50
1.00
6.28
6.25
6.16
5.44
0
Difference between
ω n and ω D may be
ignored for ζ < 0.2

16. Bagaimana menghitung respon
struktur berderajat kebebasan tunggal
m
k
c=2.m.ωn.ξ
u ( t ) = e −ξωn t [ C sin ( ω Dt ) + D cos( ω D t ) ]
pada t = 0
u = u(0)
 
u = u(0)
u ( 0) = e −ξωn .0 [ C sin ( ω D .0) + D cos( ω D .0) ]
u ( 0) = D

u ( t ) = − ξωn e −ξωn t C sin ( ω Dt ) + e −ξωn t C ω D cos( ω D t )
− ξωnte −ξωn t D cos( ω D t ) − e −ξωn t ω D D sin ( ω D t )

u ( 0) = − ξωn e −ξωn 0C sin ( ω D 0) + e −ξωn 0C ω D cos( ω D 0 )
− ξωn e −ξωn 0 D cos( ω D 0 ) − e −ξωn 0ω D D sin ( ω D 0)

u ( 0) = 0 + C ω D − ξωn D − 0

u ( 0) + ξωn u ( 0)
=C
ωD

17. Bagaimana menghitung respon
struktur berderajat kebebasan tunggal
U(0)=1 m
 u ( 0) + ξωn u ( 0 )


u ( t ) = e −ξωn t 
sin ( ω D t ) + u(0) cos( ω D t ) 
ωD


m=8 T
k=316 kN/m
ξ=0.05
ωn =
k
315.5
=
= 6.28 rad / det
m
8
ω D = ωn 1 - ξ 2 = 6.28 rad/det
u ( t ) = e −0.05 (6.28)t [ 0.05 sin ( 6.28 t ) + cos( 6.28 t ) ]

18. Viscously damped vibration
u ( t ) = e −0.05 (6.28)t [ 0.05 sin ( 6.28 t ) + cos( 6.28 t ) ]
2π
ξ = 0.05 ; ωD ≈ ωn ; Tn =
= 1 detik
ωn
u(t)
1.5
Viscously damped vibration
0
-1.5
0
1
envelope = ±e
2
time (secs)
−ξωn t
3
4

19. Viscously damped vibration (light damping)
u(t)
1.5
ζ = 5%
Viscously damped vibration
0
-1.5
0
ζ = 10%
u(t)
1.5
2
time (secs)
3
4
3
4
3
4
Viscously damped vibration
0
-1.5
0
u(t)
1.5
ζ = 20%
1
1
2
time (secs)
Viscously damped vibration
0
-1.5
0
ζ = 50%
u(t)
1.5
1
2
time (secs)
Viscously damped vibration
0
-1.5
0
1
2
time (secs)
3
4

20. Damping kritis
ζ = 100%
u(t)
1.5
Tidak ada osilasi
Viscously damped vibration
0
-1.5
0
1
2
time (secs)
When ξ = 1.0
C = Ccr = 2ωn m
u( t ) = e
−ω n t
3
4

21. Akhir kuliah pertama