materi 2 vektor

1. 3.2.2 Vektor-VektorTak Sejajar
Vektortak sejajar
Karena dua vektortidak sejajar, jadi konstanta (gradien) keduavektoradalah berbeda.
Jika ox+ py = 0, jadi ox= -py, dan bisa dinyatakan bahwa o = p = 0.
Mencermati aturan vektor-vektortaksejajar
Diberikan 𝒖⃗⃗ = 5𝒂⃗⃗ +4𝒃⃗⃗ , 𝒗⃗⃗ =3𝒂⃗⃗ – 𝒃⃗⃗ , dan 𝒘⃗⃗⃗ = h𝒂⃗⃗ + (h+k+3) 𝒃⃗⃗ dengan h dan k konstanta serta 𝒂⃗⃗ dan 𝒃⃗⃗ dua vektor
tidak saling sejajar . jika w = 2u - 3v,hitunglah nilai h dan k.
Pembahasan :
𝒘⃗⃗⃗ = 2𝑢⃗ – 3𝒗⃗⃗
h𝒂⃗⃗⃗ +(h+k+3)𝒃⃗⃗⃗ = 2(5𝒂⃗⃗⃗ + 4𝒃⃗⃗ )- 3(3𝒂⃗⃗ -𝒃⃗⃗ )
=10𝒂⃗⃗ +8𝒃⃗⃗ -9𝒂⃗⃗ +3𝒃⃗⃗
h𝒂⃗⃗ +(h+k+3) 𝒃⃗⃗ = 𝒂⃗⃗ +11𝒃⃗⃗
berdasarkan kesamaan kooefisien, di peroleh :
.. . h = 1 dan h+k+3 = 11
K=11-1-3
.. . K=7
Jadi,nilai h=1 dan k=7

2. K
2 𝒂⃗⃗⃗
6 𝒂⃗⃗⃗
B
D
6 𝒃⃗⃗⃗
C
2𝒃⃗⃗
0
A
MEMAHAMI ATURAN BEBERAPATITIKSEGARIS
Di ketahui bahwa 𝑶𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝒂⃗⃗ + 𝒃⃗⃗ , 𝑶𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝒂⃗⃗ - 2𝒃⃗⃗ , dan 𝑶𝑹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = h𝒂⃗⃗ + 5𝒃⃗⃗ . Tentukan dalam bentuk 𝑎 dan 𝑏⃗ untuk setiap
vaktorberikut.
a. 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b. 𝑷𝑹⃗⃗⃗⃗⃗⃗
jika titik P,Q,dan R segaris, tentukan nilai h.
Pembahasan :
a. 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
= (3𝑎 - 2𝑏⃗ ) – (2𝑎 + 𝑏⃗ )
= 𝑎 -3𝑏⃗
Karena P,Q,dan R segaris, maka :
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = k𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 -3𝑏⃗ =k[(h -2) 𝑎 + 4𝑏⃗ ] = k(h -2) 𝑎 + 4k𝑏⃗
Berdasarkan kesamaan koefisien , di peroleh :
k(h -2)= 1 dan 4k = -3
=-
3
4
Subtitusi k = -
3
4
ke persamaan = k(h -2) = 1, di peroleh :
-
3
4
(h-2) = 1
h-2 = -
4
3
h = -
4
3
+ 2
.. . h =
2
3
MENGGUNAKANVEKTORUNTUKMENENTUKAN TITIK-TITIKKOLINEAR
Titik – titik A,B,C, dan D mempunyai vectorposisi 6𝒂⃗⃗ , 8𝒂⃗⃗ ,2𝒃⃗⃗ , dan 8𝒃⃗⃗ terhadap titik pusat 0. Titik K membagi
garis AD dan BC dengan perbandingan 1 : m dan 1 : n. Carilah dua ekspresi untuk vectorposisi 𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , kemudian
tentukan nilai m dan n.
Pembahasan :
𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝒂⃗⃗ , 𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 8𝒂⃗⃗ , 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝒃⃗⃗ , dan 𝑶𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 8𝒃⃗⃗ .
A, K , DanD kolineardenganAK: KD = 1 : m.
.. . n𝑨𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑲𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗
m ( 𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑶𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(1 + m) 𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 8𝒃⃗⃗ + 6m𝒂⃗⃗
𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝟔𝒎
𝟏+𝒎
𝒂⃗⃗⃗ +
𝟖
𝟏+𝒎
𝒃⃗⃗⃗
B, K, DanC jugakoliniardan BK: KC = 1 : n
.. . n𝑩𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑲𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗
n(𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝟖
𝟏+𝒏
𝒂⃗⃗⃗ +
𝟐
𝟏+𝒎
𝒃⃗⃗⃗
𝟔𝒎
𝟏+𝒎
𝒂⃗⃗⃗ +
𝟖
𝟏+𝒎
𝒃⃗⃗⃗ =
𝟖𝒏
𝟏+𝒎
𝒂⃗⃗⃗ +
𝟐
𝟏+𝒎
𝒃⃗⃗⃗ ……………..(1)
b. 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
= (h𝑎 + 5𝑏⃗ ) – (2𝑎 + 𝑏⃗ )
= (h-2) 𝑎 + 4𝑏⃗
d
e

3. Karena 𝒂⃗⃗⃗ dan 𝒃⃗⃗ tidaksejajar,maka:
𝟔𝒎
𝟏+𝒎
=
𝟖
𝟏+𝒏
6m + 6mn = 8n + 8nm
2mn - 6m + 8n = 0
mn – 3m + 4n = 0 ……………(2)
dan
𝟖
𝟏+𝒎
=
𝟐
𝟏+𝒏
8 + 8n = 2 + 2n
m = 4n+3………………(3)
subtitusi (3) ke(2) , di peroleh:
(4n + 3)n – 3(4n + 3) + 4n= 0
4n2 – 5n – 9 = 0
(4n – 9)(n+ 1) = 0
Dari persamaan(1), 1 + n ≠ 0 → 4n – 9 = 0
n = 2
𝟏
𝟒
dari persamaan(3), di peroleh:
m = 4(2
𝟏
𝟒
) + 3 = 12
jadi,nilai m = 12dan n=2
𝟏
𝟒
.
Contoh 13.
Vector posisi A, B, dan C relatifterhadaptitikpusat O masing – masingadalah 2p⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 3q⃗⃗⃗⃗ , dan 4p⃗⃗⃗⃗ +
9q⃗⃗⃗⃗ sedemikian sehinggaAP⃗⃗⃗⃗⃗ 2
3
AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Tuliskan OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dalam bentuk p⃗⃗⃗ dan q⃗ .titik Q⃗⃗⃗ sedemikian sehingga OQ⃗⃗⃗⃗⃗ = λ hingga OQ⃗⃗⃗⃗⃗
= λ. OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dengan λ > 1 . 𝑁𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dalam bentuk p⃗ ,q⃗ , dan λ.Deberikan BQ⃗⃗⃗⃗⃗
= μ. BC , carilah nilai λ,μ, dan rasio BQ ;QC .
Pembahasan
AP⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
AB⃗⃗⃗⃗⃗
3(OP⃗⃗⃗⃗⃗ − OA⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 2(OB⃗⃗⃗⃗⃗ − OA⃗⃗⃗⃗⃗ )
3 OP⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 OB⃗⃗⃗⃗⃗ + OA⃗⃗⃗⃗⃗ = 6q + 2p
OP⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
OB⃗⃗⃗⃗⃗ + OA⃗⃗⃗⃗⃗
OQ⃗⃗⃗⃗⃗ = λ OP⃗⃗⃗⃗⃗
=
2
3
λ p⃗ + 2λ q⃗
BQ⃗⃗⃗⃗⃗ = OQ⃗⃗⃗⃗⃗ − OB⃗⃗⃗⃗⃗
=
2
3
λ p⃗ + 2λ q⃗ − 3 q⃗
BQ⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
λ p⃗ + (2λ − 3)q⃗ … .. (1)
BC⃗⃗⃗⃗⃗ = OC⃗⃗⃗⃗⃗ − OB⃗⃗⃗⃗⃗
= 4 p⃗ + 9 q⃗ − 3 q⃗
BQ⃗⃗⃗⃗⃗ = μ BC⃗⃗⃗⃗⃗
⇒ BQ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4μ p⃗ + 6μ .….. (2)
O
B
B
4 𝑝 + 9 𝑞
P
A
O
O
C

4. Kesamaan (1) dan (2) untuk BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ,diperoleh ∶
2
3
λ = 4μ
⇔ λ = 6μ … …(3)
dan 2λ − 3 = 4μ p + 6μ q
⇔ 2λ − 6μ = 3 …. .. (4)
Subsitusikan (3)ke (4), diperoleh :
12μ − 6μ = 3
μ =
1
2
λ = 6(
1
2
) = 3
∴ BQ⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan BQ⃗⃗⃗⃗⃗ = QC⃗⃗⃗⃗⃗
∴ BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :QC⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 = 1
3.3. AljabarVektor
3.3.1. Vektordi bidang (R2)dan Ruang (R3)
A. Vektorduabidang(R2 )
1. VektorKolom
PerhatikansebuahbidangdengankoordinatCartesius. VektorPQ⃗⃗⃗⃗⃗ pada gambar di samping
menunjukkan perpindahan sebuah mobil dari titik P menuju titik Q. Perpindahan titik P menuju titik Q
menunjukkan 4 sataun ke kanan dan 3 satuan ke atas.
Penulisan vectorpadagambar 3.14, dapatditulissecarakolomsebagaiberikut:
PQ⃗⃗⃗⃗⃗ = (
4
3
)
(
4
3
)disebut vectorkolom. 4 dan 3 merupakan komponen dari vector (
4
3
).
2. Panjangsebuah vectorkolom
Panjangsebuah vectorkoloma⃗ = (
u
v
)dinotasikan oleh |a⃗ |, ditentukan oleh
|a⃗ | =√u2 + v2
(Berdasarkanteorema Pythagoras)
3. Vektorsatuandalam vectorkolom
Padapembahasansebelumnya, vectorsatuandaria⃗ didefinisikan oleh:
ea⃗ =
a⃗
|a⃗ |
atau â
Dalam vector kolom,jikaa⃗ = (
u
v
), maka â =
1
√u2+v2
. (
u
v
).
4. Sifat-sifatoperasi vectorkolom
Jikaa⃗ =(x1
y1
)dan b⃗ (x1
y1
), maka:
(i) a⃗ + b⃗ = (x1
y1
) + (x2
y2
) = (x1 +
y1 +
x2
y2
)
(ii) a⃗ - b⃗ = (x1
y1
) - (x2
y2
) = (x1 −
y1 −
x2
y2
)
(iii) a⃗ =a⃗ ⇔ x1 = x1 dan y1 = y2
(iv) ka⃗⃗⃗⃗ =k(x1
y1
) = (kx1
ky1
) dengan k sebuah konstanta
5. Vektor-vektordi R2 dalam bentuk Cartesian
Y
Y
Y
O
Y
4
Y
Y
Q
Y
P
Y
𝑎
Y
3
Y
Gambar
3.14
O
𝑎
u
Y

5. Perhatikangambar 3.16 di samping. Koordinat-koordinatdarititik-titik A(4,3), B(-2,2),I(1,0),
dan J(0,1)merupakantitikujungdari vector-vektorposisiOA, OB,OI, dan OJ terhadaptitik O(0,0).
Vektor-vektorposisiiniditulissebagai vector-vektorkolom:
OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a⃗ = (
4
3
), OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b⃗⃗⃗ (
−2
2
), OI⃗⃗⃗⃗⃗ = i⃗ = (
1
0
), dan OJ⃗⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
).
PerhatikanOI⃗⃗⃗⃗⃗ dan OJ⃗⃗⃗⃗⃗ mempunyai panjang 1 satuan, i⃗ dan j⃗ sejajar terhadap sumbu X dan
sumbu Y. i⃗ danj⃗ disebut vectorsatuan (vectorbasis R2 ) dalam arah positip dari sumbu X dan sumbu Y.
Sembarang vector R2 dapat dinyatakan dalam bentuk i⃗⃗⃗ danj⃗ , seperti:
OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dan
OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−2
2
)= -2(
1
0
) + 2(
0
1
) = -2 i⃗ + 2j⃗
Secaraumum, jika p sebuahtitik (x,y)dan O(0,0),maka vector OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dapat ditulis sebagai:
(i) vectorkolom:
OP⃗⃗⃗⃗⃗ = P⃗⃗ = (
x
y
)
(ii) Kombinasi linear daridua vectorsatuan:
OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (
x
y
) = x(
1
0
) + y(
0
1
)= x i⃗ + yj⃗
(iii) Panjang vectorOP:
OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|(
x
y
)| = |x i⃗ + y j⃗ | = √x2 + y2
Contoh 14.
Jikaa⃗⃗ = 5i⃗ + 4j⃗ , b⃗⃗⃗ = 2i⃗ - j⃗ , dan c⃗⃗ , = 4j⃗ + 7j⃗ . Tuliskan (i) dalam bentuk i⃗ dan j⃗ , dan (ii) sebagai vector
kolom setiap setiap vectorberikut.
a. (i) a⃗⃗ + b⃗⃗⃗ b. 3b⃗⃗⃗ + 2c⃗⃗ c. 2a⃗⃗ - c⃗⃗
Pembahasan:
a. (i) a⃗⃗ + b⃗⃗⃗ = (5i⃗ + 4j⃗ ) + (2i⃗ - j⃗ ) = 7i⃗ + 3j⃗
(ii) a⃗⃗ + b⃗⃗⃗ = (7
3
)
b. (i) 3b⃗⃗⃗ + 2b⃗⃗⃗ = 3 (2i⃗ -j⃗ )+ 2(4i⃗ + 7j) = 14i+ 11j⃗
(ii) 3b⃗⃗⃗ + 2c = (14
11
)
c. (i) 2a⃗⃗ - c⃗⃗ = 2 (5i⃗ + 4j⃗⃗⃗⃗ ) - (4i⃗ + 7j) = 6i+ j⃗
(ii) 2a⃗⃗ - c⃗⃗ ) = (6
1
)
Contoh 15.
KoordinattitikP(1,2),Q(7,3) dan R(4,7). Carilahkoordinattitik S apabila PQRS sebahjajargenjang,
Pembahasan :
MisalkantitikS(h,k).
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
1
2
) , 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ (7
3
), 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = (
4
7
), 𝑑𝑎𝑛 𝑂𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = (
ℎ
𝑘
)
Karena PQRS sebuahjajargenjang, 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = (
7
3
) –(
1
2
) = (
6
1
)
𝑆𝑅 = 𝑂𝑅 − 𝑂𝑃 = (
4
7
) − (
ℎ
𝑘
) = (
4 − ℎ
7 − 𝑘
)
∴ (
4 − ℎ
7 − 𝑘
) = (
6
1
)
4 – h = 6 dan 7 – k = 1
h = -2 dan k = 6
jadi, koordinattitikS(-2,6).