1. Dokumen tersebut membahas tentang hasil kali triple vektor, termasuk definisi hasil kali triple skalar dan vektor serta hukum-hukum yang berlaku. 2. Ia juga menjelaskan tentang himpunan vektor resiprokal, di mana vektor-vektor terkait memenuhi kondisi tertentu. 3. Pembahasan mencakup contoh perhitungan dan bukti hukum tertentu terkait hasil kali triple vektor.

1. 1
BAB I
Pendahuluan
A. Latar belakang
Setelah mempelajari vector dan operasinya yang sebelumnya adalah hasil kali titik
dan hasil kali silang, untuk melanjutkan pelajaran ke tingkat berikutnya maka kami
mencoba membahas kajian selanjutnya yaitu HASIL KALI TRIPLE DAN
HIMPUNAN VEKTOR RESIPROKAL .
B. Rumusan masalah
1. Apakah pengertian dari hasil kali triple scalar ?
2. Apakah pengertian dari hasil kali triple vector ?
3. Hukum- hukum apa sajakah yang berlaku dalam hasil kali triple ?
4. Apa itu himpunan- himpunan vector resiprokal ?
C. Tujuan
1. Mengetahui pengertian dari hasil kali triple scalar.
2. Mengetahui pengertian dari hasil kali triple vector.
3. Mengetahui hokum – hokum hasil kali triple.
4. Mengetahui himpunan vector- vector resiprokal.

2. 2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Hasil kali triple
Hasil kali titik dan silang dari vektor A, B dan C akan berupa: (A.B)C,
A.(BxC) dan Ax(BxC)
Hasil kali A.(BxC) disebut hasil kali tripel skalar (hasil kali kotak) [ABC].
Hasil kali Ax(BxC) disebut hasil kali tripel vektor.
1. Hasil kali triple scalar ( triple scalar product )
Jika:
A= Ax i + Ay j + Az k
B= Bx i + By j + Bz k
C= Cx i + Cy j + Cz k
𝐴̅ 𝑋 𝐶̅ = [
𝐴 𝑌 𝐴 𝑍
𝐵 𝑌 𝐵 𝑍
]
𝑖
- [
𝐴 𝑋 𝐴 𝑍
𝐵 𝑋 𝐵 𝑍
]
𝐽
+ [
𝐴 𝑋 𝐴 𝑌
𝐵 𝑋 𝐵 𝑌
]
𝐾
𝐴̅ 𝑋 𝐵̅°𝐶̅ = [
𝐴 𝑌 𝐴 𝑍
𝐵 𝑌 𝐵 𝑍
]
𝐶 𝑋
- [
𝐴 𝑋 𝐴 𝑍
𝐵 𝑋 𝐵 𝑍
]
𝐶 𝑌
+ [
𝐴 𝑋 𝐴 𝑌
𝐵 𝑋 𝐵 𝑌
]
𝐶 𝑍
=⦋
𝐴 𝑋 𝐴 𝑌 𝐴 𝑍
𝐵 𝑋 𝐵 𝑌 𝐵 𝑍
𝐶 𝑋 𝐶 𝑌 𝐶 𝑍
⦌
hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar.
Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:
a) 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅°𝐶̅ = ( 𝐵̅ 𝑋 𝐶̅ )𝜊 𝐴̅ = ( 𝐶̅ 𝑋 𝐴̅ ) 𝜊 𝐵̅
sehingga:
( 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ )𝜊 𝐶̅ = 𝐴̅ 𝜊 ( 𝐵̅ 𝑋 𝐶̅ )
Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari
vektornya
Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.
Sehingga:
𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ 𝜊𝐶̅ = −𝐵̅ 𝑋 𝐴̅ 𝜊 𝐶 = −𝐵̅ 𝜊 𝐴̅ 𝑋 𝐶̅

3. 3
b) Hasil kali skalar tripel: 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ 𝜊𝐶̅ = 0 bila dan hanya bila
𝐴̅, 𝐵̅ 𝑑𝑎𝑛 𝐶̅ sebidang.
Bukti:
a. : 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ 𝜊𝐶̅ = 0 → 𝐴̅, 𝐵̅ 𝑑𝑎𝑛 𝐶̅ sebidang
Jika : 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ 𝜊𝐶̅ = 0 maka 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ ┴ 𝐶̅ atau
salah satu dari 𝐴̅, 𝐵̅ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶̅ vektor 0 berarti :
i. Apabila salah satu dari 𝐴̅, 𝐵̅ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶̅ vektor 0 maka pasti
bila 𝐴̅, 𝐵̅ 𝑑𝑎𝑛 𝐶̅ sebidang
ii. Apabila 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ ┴ 𝐶̅ maka 𝐶̅ bisa diletakkan sebidang
dengan 𝐴̅ 𝑑𝑎𝑛 𝐵̅ sehingga 𝐴̅ , 𝐵̅ 𝑑𝑎𝑛 𝐶̅ sebidang.
b. Jika 𝐴̅ , 𝐵̅ 𝑑𝑎𝑛 𝐶̅ sebidang maka : 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ 𝜊𝐶̅ = 0
Jika 𝐴̅ , 𝐵̅ 𝑑𝑎𝑛 𝐶̅ sebidang maka 𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ ┴ 𝐶̅ sehingga
𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ 𝜊𝐶̅ = 0
Contoh :
Buktikan bahwa (𝐴̅ + 𝐵̅ )𝜊(𝐴̅ 𝑋 𝐶̅ )𝑋 (𝐴̅ + 𝐵̅ ) = 0
Bukti:
Misalkan 𝐴̅ + 𝐵̅ = 𝑢̅
𝐴̅ + 𝐶̅ = 𝑉̅
Maka 𝑢̅ 𝜊 𝑣̅ 𝑋 𝑢̅ = volume parallel dari epipedum dengan sisi u, v, u .
karna kedua sisinya merupakan sisi yang sama maka ketiga vector tersebut
sebidang sehingga : 𝑢̅ 𝜊 𝑣̅ 𝑋 𝑢̅ =0
2. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)
Hasil kali vektor tripel adalah :
(𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ ) 𝑋 𝐶̅
𝐴̅ 𝑋 ( 𝐵̅ 𝑋 𝐶̅ )
Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak
kurangnya ditukar.
Misalkan :
(i × i) × j = 0 × j = 0
i × (i × j) = i × k = –j

4. 4
Sifat Hasil Kali Vektor Triple :
 (𝐴̅ 𝑋 𝐵̅ ) 𝑋 𝐶̅tidak sama dengan
𝐴̅ 𝑋 ( 𝐵̅ 𝑋 𝐶̅ )
 (𝐴̅̅̅ 𝑋 𝐵̅ ) 𝑋 𝐶̅ = ( 𝐴̅ 𝜊 𝐶̅) 𝐵̅ − (𝐴̅ 𝜊 𝐵̅)𝐶̅
𝐴̅ 𝑋 ( 𝐵̅ 𝑋 𝐶̅ ) = ( 𝐴̅ 𝜊 𝐶̅) 𝐵̅ − (𝐵̅ 𝜊𝐶̅) 𝐴̅
B. Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali tripel
1.(A · B)C ≠ A(B · C)
2. A · (B x C) = B · (C x A) = C · (A x B) = volume sebuah jajaran genjang
ruang yg memiliki sisi-sisi A, B dan C atau. negatif dari volume ini, sesuai
dengan apakah A, B dan C . membentuk sebuah sistem tangan kanan atau
tidak. Bila A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k dan C = C1i + C2j +
C3k , maka :
A · (B x C) = A1 A2 A3
. B1 B2 B3
. C1 C2 C3
3. A x (B x C) ≠ (A x B) x C Hukum Asosiatif
4. A x (B x C) = (A · C)B – (A · B)C
. A x (B x C) = (A · C)B – (B · C) A
5. Hasil-kali A · (B x C) seringkali disebut hasil-kali tripel skalar atau
hasil-kali kotak dan dapat dinyatakan dengan〔ABC 〕. Hasil-kali
A x (B x C) disebut hasil-kali tripel vektor
6. Dalam A · (B x C) seringkali tanda kurungnya dihilangkan, .
ditulis sebagai A · B x C. Sedangkan tanda kurung harus .
dipakai dalam A x (B x C).
C. . Himpunan vector – vector resiprokal
 Himpunan vektor-vektor a, b, c dan a’, b’, c’ disebut himpunan atau
sistem vektor-vektor resiprokal jika:
a.a’=b.b’=c.c’ = 1

5. 5
a’.b=a’.c=b’.a=b’.c=c’.a=c’.b=0
 Himpunan-himpunan a, b, c dan a’, b’, c’ adalah himpunan vektor-
vektor resiprokal jika dan hanya jika:
𝑎′
=
𝑏𝑥𝑐
𝑎.𝑏𝑥𝑐
, b’=
𝑐𝑥𝑎
𝑎.𝑏𝑥𝑐
, c’=
𝑎𝑥𝑏
𝑎.𝑏𝑥𝑐

6. 6
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Hasil kali titik dan silang dari vektor A, B dan C akan berupa: (A.B)C, A.(BxC)
dan Ax(BxC)
2. Hasil kali A.(BxC) disebut hasil kali tripel skalar (hasil kali kotak) [ABC].
3. Hasil kali Ax(BxC) disebut hasil kali tripel vector

7. 7
DAFTAR REFERENSI
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Universitas brawijaya