TEORI MEDAN TEKNIK ELEKTRO

1. Bab 1
Analisis Vektor

2. Introducing
 Nama : Sitti Nurrahmi, S.Si, M.Sc
Panggilan : Rahmi
TTL : Palu, 21 November 1988
S1 : 2006 – 2011 FMIPA Jurusan Fisika UNTAD,
KBK Fisika Material dan Energi.
S2 : 2012 – 2015 (Januari) FMIPA Jurusan Fisika
UGM Yogyakarta, KBK Fisika Material dan
Instrumentasi.
CP : 085241406390
Any questions??
Introducing

3. Kontrak Perkuliahan
 Kontrak Perkuliahan :
UTS 35 %
UAS 35 %
Tugas 20 %
Kehadiran 10 %
Kontrak Perkuliahan

4. Notasi Vektor
 Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen
vektor satuan sebagai
A = Axax + Ayay + Azaz
 Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A
didefinisikan sebagai
|A| =A=
 Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh
222
AzAyAx ++
'|| A
A
A
A
aA ==

5. Notasi Vektor
 Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen
vektor satuan sebagai
A = Axax + Ayay + Azaz
 Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A
didefinisikan sebagai
|A| =A=
 Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh
222
AzAyAx ++
'|| A
A
A
A
aA ==

6.  Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan
Aljabar Vektor
A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz)
= (Ax±Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)az
Sifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif
berlaku
dalam aljabar vektor
C = A+B=B+A
×A + (B + C) = (A + B) + C
×k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A
×A+B = B+A
A+(B+C) = (A+B)+C
Komutatif
Assosiatif

7. B
Komutatif & Assosiatif
Contoh : C= A+B=B+AKomunikatif
Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+CAssosiatif
B
A
A
B
C
C
C
A
B+C
D=A+(B+C)
A+B
D=(A+B)+C
A
C

8.  Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor
 Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar)
dari nilai vektor asli
 Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal
bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila a < 0
 Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu
a (A +B ) = aA + aB
Perkalian Vektor dengan Skalar
Contoh :
B = aA
a<0,
B berlawanan A
B = aA
a > 0,
B searah A

9.  A • B = AB cos θ (dibaca sebagai "A titik B")
 Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar
 Perkalian titik adalah komutatif
 Perkalian titik adalah distributif
 Perkalian titik memenuhi perkalian skalar
A.(B+C) = A.B + A.C
θcos. BABA =
Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor
A.B = B.A
A • kB = k(A •B)
θcosBAC =
A • B = AxBx + AyBy + AzBz
di mana θ adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil.
Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan
Contoh :

10.  Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor
yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan
tangan kanan.
 Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif
 Perkalian silang adalah distributif
θsinBAAXBC ==
θsinBAAXBC ==
θ = sudut antara A dan B yang lebih kecil.
an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan
B
Hasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran
skrup
Perkalian Silang Dua Buah Vektor
AX(B+C) = AXB + AXC
AXB = -BXA
Contoh :

11.  Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponen
vektor akan menghasilkan,
A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz)
= (AYBZ – AzBz)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az
Jika A = 2ax + 4ay
– 3aZ dan B = ax – ay
, carilah A • B dan A x B !
Penyelesaian!
2)0)(3()1)(4()1)(2( −=−+−+=• BA
azayax
azayax
BA 633
011
342 −−−=
−
−=×
Contoh :

12. 1. Diberikan vektor A = 2i + 4jdan B = 6j – 4k. Carilah sudut
terkecil antara vektor A dan vektor B menggunakan (a)
perkalian titik, (b) perkalian silang.
Tugas

13. • Koordinat cartesian tidak cukup !!!
• Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah
penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan
bola
• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan
koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki
penyelesaian menggunakan koordinat bola.
• Ilustrasi :
• Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat
• Koordinat cartesian = (x, y, z)
• koordinat silindris = (r, φ, z )
• koordinat bola = (r,θ,φ)
Sistem koordinat

14. φ
Pendefinisian Variabel-Variabel
Koordinat dalam Tiga Buah
Sistem Koordinat
Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga
sistem koordinat :
A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)
A = Arar + Aφaφ + Azaz (Silindris)
A = Arar + Aθaθ + Aφaφ(Bola)
Z
Y
X
x
y
z
A (x, y, z)
Z
X
z
Yr
Z
X
z
φ
Y
r
φA (r, φ, z)A (r, φ, z) A (r, φ,θ)

15. .
Bidang-bidang Permukaan
Nilai Konstan untuk
Tiga sistem Koordinat

16. Arah vektor satuan untuk tiga
sistem koordinat
Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang
permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana
koordinatnya bertambah.
Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:
ax x aY = aZ ar x aφ = az ar x aθ = aφ

17. Koordinat cartesian – koordinat silinder
Transformasi skalar antar sistem
koordinat
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
z
a
z
AaArarAA ++=
φφ
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

18. Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada
pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya
dapat dicari dengan mengambil perkalian titik
ar a az
ax. cos -sin 0
ay. sin cos 0
az. 0 0 1
φ
φ φ
φ
Ar
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az)
• ar
AΦ
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
)• aΦ
Az
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
) • az

19. Transformasi skalar antar sistem
koordinat
Koordinat cartesian – koordinat bola
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
θθφφ
aAaArarAA ++=
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

20. Dengan cara yang sama …
ar a az
ax. Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin
ay. Cos θ Sin Cos
az. Cos θ -Sin θ 0
φ
φ
φ φ
φ φ
Ar
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az)
• ar
A = (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
)• a φφ
A θ = (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
) • a θ
Sin θ sin
φφ

21. Diferensial volume pada tiga
sistem koordinat
Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial
permukaan yang tegak terhadap ar adalah,
dS = (r dθ)(r sin θdφ) = r2 sin θdφ
Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P.
Jadi,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian)
d12 = dr2 + r2dφ2 + dz2 (Silindris)
d12 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θ dφ2 (Bola)

22. Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)!
Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya?
Penyelesaian :
Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari
kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6.
Selanjutnya.
C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az
Magnituda C adalah
Vektor satuannya adalah
2
12
2
12
2
12 )()()(|| zzyyxxCC −+−+−==
2
12
2
12
2
12
121212
)()()(
)()()(
zzyyxx
azzayyaxx
C
C
a
zyx
C
−+−+−
−+−+−
==
Soal-soal dan Penyelesaiannya
Soal 1

23. Hitunglah jarak antara (5,3π/2,0) dan (5,π/2,10) dalam koordinat
silindris!
Penyelesaian :
Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b
Panda gambar
diperoleh :
A = -5ay,
B = 5ay + 10az
Soal 2
Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen
antara kedua titik
210|| =− AB

24. Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya
pada vektor B = 5ax – ay + 2az!
Penyelesaian :
A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar,
proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan
menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta
mengambil perkalian titiknya.
Proyeksi A pada B =
|| B
BA
aA B
•
=•A
B
aB
Proyeksi A pada B
Jadi pada (2,2,1)
Proyeksi A pada B =
30
1
)2()1()5(
)2)(0()1)(4()5)(1(
|| 222
=
+−+
+−+
=
•
=•
B
BA
aA B
Soal 3

25. Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area
dari sebuah lembaran tipis α θ β pada selubung bola dengan jari-
jari r = r θ ( Gambar 1-9).
Berapakah luas area yang diperoleh jika α = 0 dan β = π?
Penyelesaian :
Diferensial elemen permukaan adalah
[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ]
dS = r02 sin θ dθ dφ
Selanjutnya,
∫∫ −==
πβ
α
βαπφθθ
2
0
2
0
2
0 )cos(cos2sin rddrA
sehingga saat α = 0 dan β = π, A = 4πr02, yang merupakan luas permukaan bola.
Soal 4