Nota padat Bab 6 Geometri Koordinat Matematik Tambahan Tingkatan 4 SPM Slide Chapter 6 Coordinate Geometry Additional Mathematics Form 4 Topik Bab 6: Geometri Koordinat Jarak di Antara Dua Titik Pembahagian Tembereng Garis Luas Poligon Persamaan Garis Lurus Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang Persamaan Lokus yang Melibatkan Jarak Antara Dua Titik

1. www.tutorsah.com
1
MATEMATIK TAMBAHAN SPM
TINGKATAN 4
Bab 6
Geometri Koordinat
www.tutorsah.com

2. www.tutorsah.com
2
1. Jarak di Antara Dua Titik
Dalam suatu garis lurus seperti di atas, jarak antara dua titik A dan B
dicari menggunakan rumus
2 2
1 2 1 2( ) ( )Jarak x x y y   
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y

3. www.tutorsah.com
3
2 2
1 2 1 2
2 2
2 2
Jarak AB ( ) ( )
(1 5) (2 12)
( 4) ( 10)
16 100
116
10.77 unit
x x y y   
   
   
 


A
B
Contoh:
Cari jarak di antara
titik A dan B di sebelah.
Penyelesaian:
Titik A (1, 2) dan titik B (5, 12)

4. www.tutorsah.com
4
2. Pembahagian Tembereng Garis
Dalam suatu garis lurus seperti di atas, titik tengah antara dua titik A dan B
boleh dicari menggunakan rumus
1 2 1 2
Titik tengah ,
2 2
x x y y  
  
 
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y

5. www.tutorsah.com
5
 
1 2 1 2
Titik tengah ,
2 2
1 5 2 12
,
2 2
6 14
,
2 2
3,7
x x y y  
  
 
  
  
 
 
  
 

A
B
Contoh:
Cari titik tengah di antara
titik A dan B di sebelah.
Penyelesaian:
Titik A (1, 2) dan titik B (5, 12)
Titik tengah

6. www.tutorsah.com
6
Jika dalam garis lurus di atas, titik C dibahagikan dengan nisbah m:n
maka koordinat titik C boleh dicari dari rumus
1 2 1 2
,
nx mx ny my
m n m n
  
 
  
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
C

7. www.tutorsah.com
7
 
1 2 1 2
Koordinat C ,
3(1) 1(5) 3(2) 1(12)
,
1 3 1 3
8 18
,
4 4
2,4.5
nx mx ny my
m n m n
  
  
  
  
  
  
 
  
 

1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
C
Contoh:
Cari koordinat titik C jika nisbah
jarak titik A dan B ialah 1:3.
Penyelesaian:
Titik A (1, 2) dan titik B (5, 12)
Nisbam m:n = 1:3

8. www.tutorsah.com
8
3. Luas Poligon
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
3 3( , )C x y
Luas segitiga rajah di atas boleh diperolehi melalui rumus
1 2 3 1
1 2 3 1
1
2
x x x x
y y y y

9. www.tutorsah.com
9
Contoh:
Cari luas segitiga dalam rajah di
sebelah.
Penyelesaian:
Titik A (3, 6) , titik B (10, 10)
Dan titik C (6, 2)
A
B
C
1 2 3 1
1 2 3 1
2
1
Luas segitiga
2
3 10 6 31
6 10 2 62
1
(3 10 10 2 6 6) (6 10 10 6 2 3)
2
1
62 126
2
1
64
2
1
(64)
2
32 unit
x x x x
y y y y


           
 
 


Jika luas segitiga = 0,
maka semua titik adalah
segaris!

10. www.tutorsah.com
10
Luas segempat rajah di atas boleh diperolehi melalui rumus
1 2 3 4 1
1 2 3 4 1
1
2
x x x x x
y y y y y
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
3 3( , )C x y
4 4( , )D x y

11. www.tutorsah.com
11
Contoh:
Cari luas segiempat dalam rajah di
sebelah.
Penyelesaian:
Titik A (2, 5) , titik B (10, 11) ,
titik C (13, 7) dan titik D (5, 1)
1 2 3 4 1
1 2 3 4 1
2
1
Luas segiempat
2
2 10 13 5 21
5 11 7 1 52
1
(2 11 10 7 13 1 5 5) (5 10 11 13 7 5 1 2)
2
1
130 230
2
1
100
2
1
(100)
2
50 unit
x x x x x
y y y y y


               
 
 


1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
3 3( , )C x y
4 4( , )D x y
Jika luas segiempat = 0,
maka semua titik adalah
segaris!

12. www.tutorsah.com
12
4. Persamaan Garis Lurus
Pintasan-x ialah nilai koordinat x di mana garis lurus menyilang paksi-x (melintang).
Pintasan-y ialah nilai koordinat y di mana garis lurus menyilang paksi-y (menegak).
Pintasan-y = 6Pintasan-x = -4

13. www.tutorsah.com
13
Kecerunan garis lurus
(6,12)B
( 10, 4)A  
Pintasan-y = 6Pintasan-x = -6
2 koordinat yang dilalui garis
lurus menggunakan rumus
2 1
2 1
y y
m
x x



ATAU
Nilai pintasan-x dan pintasan-y
menggunakan rumus
pintasan-y
pintasan-x
m  
Kecerunan (m) boleh dicari dari:

14. www.tutorsah.com
14
(6,12)B
( 10, 4)A  
Pintasan-y = 6Pintasan-x = -6
Bagi garis lurus di atas,
kecerunan: 2 1
2 1
(12) ( 4)
(6) ( 10)
16
16
1
y y
m
x x



 

 


ATAU
pintasan-y
pintasan-x
(6)
( 6)
1
m  
 



15. www.tutorsah.com
15
Persamaan garis lurus
boleh dicari dari
1. Kecerunan dan
satu titik
2. Dua titik
3. Pintasan-x dan
pintasan-y
1
x y
a b
 1 2 1
1 2 1
y y y y
x x x x
 

 
1
1
y y
m
x x




16. www.tutorsah.com
16
Mencari persamaan garis lurus dari kecerunan dan satu titik:
( 4,0)A 
(0,6)B
2 1
2 1
(6) (0)
(0) ( 4)
6
4
1.5
y y
m
x x





 


Kecerunan:
Katakan titik B (0,6), maka persamaan garis lurus adalah
1
1
6
1.5
0
6 1.5( 0)
1.5 6
y y
m
x x
y
x
y x
y x






  
 

17. www.tutorsah.com
17
Mencari persamaan garis lurus dari dua titik:
( 4,0)A 
(0,6)B
Bagi titik A (-4, 0) dan B (0,6),
persamaan garis lurus adalah
1 2 1
1 2 1
(0) (6) (0)
( 4) (0) ( 4)
6
4 4
1.5
4
1.5( 4)
1.5 6
y y y y
x x x x
y
x
y
x
y
x
y x
y x
 

 
 

   




 
 

18. www.tutorsah.com
18
Mencari persamaan garis lurus dari pintasan-x dan pintasan-y:
Dari pintasan-x dan pintasan-y diatas,
persamaan garis lurus adalah
 
1
1
( 4) (6)
6 1 6
( 4) (6)
6 6
6
4 6
1.5 6
1.5 6
x y
a b
x y
x y
x y
x y
y x
 
 

 
    
 
 

  
 
Pintasan-y = 6
Pintasan-x = -4

19. www.tutorsah.com
19
Bentuk am persamaan garis lurus: 0ax by c  
Jika diberi satu persamaan garis lurus , maka kecerunan
serta pintasan-x dan pintasan-y boleh dicari dengan menukarkan bentuk
am persamaan kepada
2 4 6 0x y  
Bentuk kecerunan
y mx c 
dan
1
x y
a b
 
Bentuk pintasan

20. www.tutorsah.com
20
Contoh: Cari kecerunan, pintasan-x dan pintasan-y bagi persamaan garis lurus
4 2 8 0.x y  
Penyelesaian:
4 2 8 0
2 4 8
4 8
2
2 4
x y
y x
x
y
y x
  
 


 
dan
4 2 8 0
4 2 6
4 2 8
8 8
1
2 4
x y
x y
x y
x y
  
  
 

 

y mx c 
1
x y
a b
 
Maka,
kecerunan = 2
Pintasan-x = -2
Pintasan-y = 4

21. www.tutorsah.com
21
Sekiranya dua garis lurus bersilang, maka koordinat titik persilangan boleh
ditentukan melalui kaedah penggantian.
Contoh: Kedua-dua persamaan garis lurus pada rajah di atas bersilang pada
koordinat A. Tentukan koordinat A.
A

22. www.tutorsah.com
22
Penyelesaian:
A
2 4y x 
1y x  
2 4y x 
1y x  
1
2
Gantikan ke dalam :1 2
2 4 1
3 3
1
x x
x
x
   
 
 
Gantikan ke dalam :1x   1
2 4
2( 1) 4
2
y x
y
y
 
  

Oleh itu, koordinat A (-1, 2)

23. www.tutorsah.com
23
5. Garis Lurus Selari dan Garis
Lurus Serenjang
Kecerunan bagi dua garis lurus yang selari seperti rajah di atas adalah sama.
Kecerunan m1 Kecerunan m2
1 2m m

24. www.tutorsah.com
24
2 7y x  2 4y x 
Kecerunan yang sama, m = 2

25. www.tutorsah.com
25
Membentuk persamaan garis lurus yang melalui satu titik tertentu dan selari
dengan garis lurus yang diberi
3 4y x 
(6,34)A
Kedua garis lurus
merah dan biru adalah
selari, oleh itu
mempunyai kecerunan
yang sama = 3.
Contoh: Cari persamaan garis lurus merah jika kedua garis lurus merah dan
biru adalah selari.
1
1
34
3
6
34 3( 6)
3 18 34
y y
m
x x
y
x
y x
y x






  
  
Maka, persamaan garis lurus merah:
3 16y x  

26. www.tutorsah.com
26
Sekiranya kedua garis lurus serenjang, maka hubungan kecerunan adalah
1 2 1m m  
Kecerunan m1
Kecerunan m2

27. www.tutorsah.com
27
Mencari persamaan garis lurus yang melalui satu titik tertentu dan
berserenjang dengan garis lurus yang diberi
3 4y x 
(30,14)A
Kecerunan garis lurus merah (m2):
1 2
2
2
1
(3) 1
1
3
m m
m
m
 
 
 
Maka, persamaan garis lurus merah:
1
2
1
14 1
30 3
1
14 ( 30)
3
24
3
y y
m
x x
y
x
y x
x
y




 

   
  

28. www.tutorsah.com
28
6. Persamaan Lokus yang
Melibatkan Jarak Antara Dua
Titik
Persamaan lokus titik A dibentuk dari satu titik tetap B akan
membentuk sebuah bulatan berjejari r.
( , )A x y
1 1( , )B x y
r
   
2 2
1 1r x x y y   

29. www.tutorsah.com
29
( , )A x y
1 1( , )B x y
2 2( , )C x y
Sekiranya titik A melalui garis lurus BC bernisbah m:n, persamaan lokus titik A
adalah
   
   
2 2
1 1
2 2
2 2
x x y ym
n x x y y
  

  

30. www.tutorsah.com
30
( , )A x y
1 1( , )B x y
2 2( , )C x y
Sekiranya jarak m = n (nisbah m:n = 1), persamaan lokus titik A adalah
   
   
   
   
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
1
x x y ym
n x x y y
x x y y
x x y y
  

  
  

  
       
2 2 2 2
1 1 2 2x x y y x x y y       

31. www.tutorsah.com
31
Tamat
Disediakan oleh:
www.tutorsah.com
tutorsah@gmail.com