Successfully reported this slideshow.
Upcoming SlideShare
×

# Alin 3.4 3.5

867 views

Published on

• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• apa maksud dari tugas ini.........

Are you sure you want to  Yes  No
• Be the first to like this

### Alin 3.4 3.5

1. 1. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space
2. 2. <ul><li>Perkalian silang ( cross product ) </li></ul><ul><li>Terhadap dua vektor di Ruang-3 dioperasikan </li></ul><ul><li>perkalian silang, hasilnya adalah vektor di Ruang-3 </li></ul><ul><ul><li>vektor u di Ruang-3 u = (u 1 , u 2 , u 3 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>vektor v di Ruang-3 v = (v 1 , v 2 , v 3 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>dan mengapit sudut  </li></ul></ul><ul><ul><li>maka </li></ul></ul><ul><ul><li>u  v = w di Ruang-3 w = (w 1 , w 2 , w 3 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>w ortogonal terhadap u </li></ul></ul><ul><ul><li>w ortogonal terhadap v </li></ul></ul> u v w = u  v
3. 3. <ul><li>Perkalian silang ( cross product ) </li></ul><ul><ul><li>vektor u dan vektor v di Ruang-3 dan mengapit sudut  , </li></ul></ul><ul><ul><ul><li> u = (u 1 , u 2 , u 3 ) v = (v 1 , v 2 , v 3 ) </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>maka u  v = w di mana w ortogonal terhadap u dan v </li></ul></ul> <ul><ul><ul><li>u  v = u 2 u 3 , – u 1 u 3 , u 1 u 2 </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 </li></ul></ul>w 1 w 2 w 3 Aturan tangan kanan: Arah genggaman = arah u ke v Arah ibu jari = arah w u v w = u  v
4. 4. Perkalian silang ( cross product ) Exercise set 3.4. no. 2 u = (– 6 , 4, 2) v = (3, 1, 5) w = u  v <ul><ul><ul><li>u  v = 4 2 , – – 6 2 , – 6 4 </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>1 5 3 5 3 1 </li></ul></ul><ul><ul><li>w = ( 18, 36, –18) </li></ul></ul>w 1 w 2 w 3
5. 5. Perkalian silang ( cross product ) Vektor-vektor satuan di Ruang-3 : i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) i j k i j k i  i = j  j = k  k = 0 (vektor nol) i  j = k j  k = i k  i = j j  i = – k k  j = – i i  k = – j i j k
6. 6. <ul><li>Jika u dan v dinyatakan dalam i , j , k , maka </li></ul><ul><ul><li>u  v = i j k </li></ul></ul><ul><ul><li> u 1 u 2 u 3 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li> v 1 v 2 v 3 </li></ul></ul></ul><ul><li>Catatan: </li></ul><ul><li>u = (u 1 , u 2 , u 3 ) = (u 1 , 0, 0) + (0, u 2 , 0) + (0, 0, u 3 ) </li></ul><ul><ul><li>= u 1 ( 1, 0,0) + u 2 (0,1,0) + u 3 (0,0,1) </li></ul></ul><ul><ul><li>= u 1 i + u 2 j + u 3 k </li></ul></ul><ul><li>v = (v 1 , v 2 , v 3 ) = (v 1 , 0, 0) + (0, v 2 , 0) + (0, 0, v 3 ) </li></ul><ul><ul><li>= v 1 ( 1, 0,0) + v 2 (0,1,0) + v 3 (0,0,1) </li></ul></ul><ul><ul><li>= v 1 i + v 2 j + v 3 k </li></ul></ul>
7. 7. Exercise set 3.4. no. 2 u = (– 6 , 4, 2) v = (3, 1, 5) w = u  v <ul><ul><ul><li>u  v = i j k </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>– 6 4 2 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>3 1 5 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>w = i (20 – 2) – j (–30 – 6) + k (– 6 – 12) </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>w = ( 18, 36, –18) </li></ul></ul>
8. 8. <ul><li>Teorema 3.4.1 & 3.4.2: Teorema 3.4.3 & 3.4.4: </li></ul><ul><ul><li>u . (u  v ) = 0 (skalar) Jika u dan v merupakan vektor </li></ul></ul><ul><ul><li>v . (u  v) = 0 (skalar) di Ruang-3 maka || u  v || adalah </li></ul></ul><ul><ul><li>|| u  v || 2 = || u || 2 || v || 2 – (u . v) 2 luas jajaran genjang yang </li></ul></ul><ul><ul><li>u  ( v  w) = (u . w)v – (u . v)w dibentuk oleh u dan v . </li></ul></ul><ul><ul><li>(u  v)  w = (u . w)v – (v . w)u u = (u 1 , u 2 , u 3 ); v = (v 1 , v 2 , v 3 ); </li></ul></ul><ul><ul><li> w = (w 1 , w 2 , w 3 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>u  v = – (v  u ) u 1 u 2 u 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>u  ( v + w) = (u  v) + (u  w) v 1 v 2 v 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>(u + v)  w = (u  w) + (v  w) w 1 w 2 w 3 </li></ul></ul><ul><ul><li>k (u  v) = ( k u)  v = u  ( k v) </li></ul></ul><ul><ul><li>u  0 = 0  u = 0 adalah volume parallelepipedum </li></ul></ul><ul><ul><li>u  u = 0 yang dibentuk u , v , w (ambil harga </li></ul></ul><ul><ul><li> mutlaknya). </li></ul></ul>
9. 9. Chapter 3 3.1. Introduction to Vectors 3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic 3.3. Dot Products; Projections 3.4. Cross Product 3.5. Lines and Planes in 3-Space
10. 10. <ul><li>Bidang Datar : dinyatakan dengan persamaan </li></ul><ul><li>Equations of a Plane </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>Point Normal Form </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>General Form </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Vector Form </li></ul></ul></ul></ul>
11. 11. <ul><li>Garis lurus : straight lines </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>parametric equations for a line </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>intersection of a line and the xy-plane </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>line of intersection of two planes </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>a line parallel to a given vector </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>vector form of the equation of a line </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>Distances: </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>distance between a point and a plane </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>distance between parallel lines </li></ul></ul></ul></ul>
12. 12. Bidang Datar: Persamaan normal-titik ( point normal form ): Titik P o (x o ,y o ,z o ) dan titik P(x, y, z) terletak di bidang datar  Vektor normal n = (a, b, c) ortogonal terhadap bidang   P o P n = (a, b, c) <ul><li>Vektor P o P = (x – x o , y – y o , z –z o ) </li></ul><ul><ul><li>Karena n ortogonal terhadap  , maka n juga ortogonal terhadap vektor P o P, sehingga </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>n . P o P = 0 </li></ul></ul></ul>Bidang Datar  dinyatakan dengan persamaan: a (x – x o ) + b (y – y o ) + c (z –z o ) = 0
13. 13. Bidang Datar: Bentuk umum Persamaan Bidang Datar : (general form) Dari Persamaan Normal-titik ( point normal form ):  P o P n = (a, b, c) a(x – x o ) + b(y – y o ) + c(z –z o ) = 0 ax + by + cz + (– ax o – by o – cz o ) = 0 ax + by + cz + d = 0 <ul><ul><li>ax + by + cz + d = 0 </li></ul></ul>Bidang Datar  dinyatakan dengan persamaan :
14. 14. Bidang Datar: Bentuk vektor Persamaan Bidang Datar: Dalam Persamaan normal-titik P dan P o dianggap sebagai titik. Jika r = vektor OP dan r o = vektor OP o , maka vektor P o P = r – r o (di sini titik O adalah titik awal koordinat Cartesius) P o P r o r r – r o O Dari n . P o P = 0 diperoleh n . ( r – r o ) = 0
15. 15. <ul><li>Perpotongan 2 buah Bidang Datar: </li></ul><ul><ul><ul><li>ax + by + cz = k 1 tidak berpotongan </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>dx + ey + fz = k 2 berpotongan </li></ul></ul></ul><ul><li>Perpotongan 3 buah Bidang Datar: (lihat gambar 2 hal.157) </li></ul><ul><ul><li>ax + by + cz = k 1 tidak berpotongan </li></ul></ul><ul><ul><li>dx + ey + fz = k 2 garis lurus </li></ul></ul><ul><ul><li>gx + hy + iz = k 3 berpotongan di </li></ul></ul><ul><li> titik </li></ul>
16. 16. Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus: Vektor P o P sejajar dengan vektor v P o P = (x – x o , y – y o , z – z o ) P o P = t v ( t skalar) (x – x o , y – y o , z – z o ) = t (a, b, c) (a, b, c) v P(x, y, z) P o (x o , y o , z o ) <ul><ul><ul><li>x – x o = t a </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>y – y o = t b </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>z – z o = t c </li></ul></ul></ul>
17. 17. Persamaan Garis Lurus di Ruang-3 Bentuk vektoris Persamaan Garis Lurus: (a, b, c) v P(x, y, z) P o (x o , y o , z o ) r o r r - r o r – r o sejajar v r – r o = t v r = r o + t v
18. 18. Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c) . . P o (x o , y o , z o ) Q(x 1 , y 1 , z 1 ) D D = || proj n QP o || = | QP o . n | / || n || = | n . QP o | / || n || n = (a, b, c) QP o = (x o – x 1 , y o – y 1 , z o – z 1 ) n . QP o = a(x o – x 1 ) + b(y o – y 1 ) + c(z o – z 1 ) = ax o – ax 1 + by o – by 1 + cz o – cz 1 = ax o + by o + cz o – ax 1 – by 1 – cz 1 Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0
19. 19. Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c) . . P o (x o , y o , z o ) Q(x 1 , y 1 , z 1 ) D n . QP o = a(x o – x 1 ) + b(y o – y 1 ) + c(z o – z 1 ) = ax o – ax 1 + by o – by 1 + cz o – cz 1 = ax o + by o + cz o – ax 1 – by 1 – cz 1 Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 || n || =  a 2 + b 2 + c 2 D = | n . QP o | / || n || = |a x o + by o + cz o + d | /  (a 2 + b 2 + c 2 ) Karena Q terletak di bidang ini, maka ax 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 atau d = – ax 1 – by 1 – cz 1 = ax o + by o + cz o + d
20. 20. <ul><li>Jarak antara dua bidang datar yang sejajar: </li></ul><ul><li>Misalkan kedua bidang datar itu adalah  dan  </li></ul><ul><li>Tentukan sebuah titik T di bidang  </li></ul><ul><li>Kemudian hitung jarak antara titik T dengan bidang  </li></ul>
21. 21. <ul><li>Jarak antara dua bidang datar yang sejajar: </li></ul><ul><li>Misalkan kedua bidang datar itu adalah  dan  </li></ul><ul><li>Tentukan sebuah titik T di bidang  </li></ul><ul><li>Kemudian hitung jarak antara titik T dengan bidang  </li></ul><ul><li>Exercise set 3.5. no. 5b </li></ul><ul><li>Find the distance between the parallel planes x – 4y – 3z – 2 = 0 and 3x – 12y – 9z – 7 = 0 </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>Let T be (–1, 0, –1)  (–1) – 4(0) – 3(–1) – 2 = 0 </li></ul><ul><li>The distance between T(–1, 0, –1) and the plane 3x – 12y – 9z – 7 = 0 is </li></ul><ul><li> | 3(–1) – 12(0) – 9(–1) – 7 | 1 </li></ul><ul><li> ( (3) 2 + (–12) 2 + (– 9) 2 )  234 </li></ul>=
22. 22. <ul><li>Tugas dikumpulkan tg.11-11-2011: </li></ul><ul><ul><ul><li>Cari contoh “dunia nyata” aplikasi </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>perkalian titik </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>perkalian silang </li></ul></ul></ul>