2. AA.. NNoottaassii VVeekkttoorr
Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang
dan arahnya tertentu.
gambar 1
A
B
u
Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil.
Misalnya: u,
u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan
sebuah vektor.
u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujung
Arah anak panah = arah vektor
Panjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor
Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan
real.
• Untuk vektor di bidang (R2) : u = (x, y) atau u =
x
y
x
y
z
• Untuk vektor di ruang (R3) : u = (x, y, z) atau u =
3. BB.. AAlljjaabbaarr VVeekkttoorr
Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan
berikut.
• Dua vektor dikatakan sama
gambar 2
jika besar dan arahnya sama.
(Lihat gambar 2). u
= v
• Suatu vektor v dikatakan invers
dari vektor u jika berlaku u + v = 0;
0 adalah vektor nol. Jadi dua
vektor saling invers jika besarnya
sama tetapi berlawanan arah.
(Lihat gambar 3).
Dua vektor yang sama
gambar 3
u v = -u
Dua vektor yang saling
invers (berlawanan)
Ю Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan
aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil
jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam
gambar 4 dan 5.
4. gambar 4 gambar 5
u
v
u+v u
v
u+v
Dengan aturan segitiga:
• Tempatkan titik pangkal
vektor v sehingga berimpit
dengan titik ujung vektor u;
• Vektor (u + v) diperoleh
dengan cara
menghubungkan titik pangkal
vektor u dengan titik ujung
vektor v.
Dengan aturan jajargenjang:
• Tempatkan titik pangkal vektor v
sehingga berimpit dengan titik
pangkal vektor u;
• Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi
yang sejajar dengan u dan v;
• Vektor (u + v) adalah diagonal
jajargenjang dengan titik pangkal
vektor u.
5. Ю Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u
dengan invers vektor v. Perhatikan ilustrasi dalam gambar 6 dan 7.
gambar 6 u - v = u + (-v) gambar 7 v - u = v + (-u)
v
u
v--v u-u
v
-v v
u
-u
Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar
Misalkan vektor u dan sebuah
bilangan real (skalar) m. Hasil kali
m dengan vektor u (mu) adalah
penggandaan vektor u sebanyak m
dan arah mu sama dengan arah
vektor u.
gambar 8
u
u
v
-u
3u
2u -2u
6. CC.. VVeekkttoorr BBaassiiss
Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.
gambar 9 gambar 10
Vektor Basis dalam Bidang (R2) Vektor Basis dalam Ruang (R3)
X
Y
Z
X
Y
k(0,0,1)
O
j(0,1)
O i(1,0)
i(1,0,0) j(0,1,0)
Vektor i dan j merupakan vektor
basis dalam R2.
i : vektor satuan searah sumbu X+
j : vektor satuan searah sumbu Y+
Vektor i, j, dan k merupakan vektor
basis dalam R3.
i : vektor satuan searah sumbu X+
j : vektor satuan searah sumbu Y+
k : vektor satuan searah sumbu Z+
7. DD.. VVeekkttoorr PPoossiissii
Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat.
Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor satuan.
gambar 11 gambar 12
Vektor Posisi dalam Ruang (R3)
zk
| r | = x2 + y2 + z2
Vektor Posisi dalam Bidang (R2)
R(x,y)
Titik R(x,y) adalah vektor posisi
OR dalam R2 yaitu:
R(x,y,z)
X
Y
Z
X
Y
O O
Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR
dalam R3 yaitu:
xi
yj
r
r
yx j i
r = (x,y) = xi + yj
r = (x,y,z) = xi + yj + zk
Panjang dari r :
Panjang dari r : | r | = x2 + y2
| |r r
Vektor satuan dari r : e =
8. U(u1,u2, u3)
OU = u dan OV = v adalah vektor-vektor
posisi.
Y
gambar 13
Z
O
v
u
V(v1,v2, v3)
UV = UO + OV
= -u + v
= v – u
=
Jika dinyatakan dengan kombinasi
X linear maka:
Jarak atau panjang vektor UV adalah:
v1 – u1
v2 – u2
v3 – u3
UV = v – u
= (v1 – u1)i + (v2 – u2)j + (v3 – u3)k
2
2 2 3 3
2
|UV | = (v1 - u1 ) + (v - u ) + (v - u )
9. EE.. PPeerrkkaalliiaann SSkkaallaarr VVeekkttoorr ((PPeerrkkaalliiaann TTiittiikk))
Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar.
Didefinisikan:
u.v = |u||v| Cos q
q = sudut antara u dan v
v
gambar 14
u
q
Jika : 0o £ q < 90o maka u.v > 0
q = 90o maka u.v = 0
90o < q £ 180o maka u.v < 0
gambar 15
X
Y
Z
k(0,0,1)
i(1,0,0) O j(0,1,0)
Misalkan vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan
vektor v = (v1i + v2j + v3k). Perkalian titik
kedua vektor adalah:
u.v = (u1i + u2j + u3k).(v1i + v2j + v3k)
= u1v1 + u2v2 + u3v3
atau secara geometris:
u.v = |u||v| Cos q
i.i = | i || i | Cos 0o = 1 analog, maka:
i.i = j.j = k.k = 1
i.j = | i || j | Cos 90o = 0 (i ^ j ) analog, maka i.j = j.k = k.i = 0
10. FF.. PPeerrkkaalliiaann SSiillaanngg VVeekkttoorr
Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.
Didefinisikan:
u x v = |u||v| Sin q
q = sudut terkecil antara u dan v
Arah u x v ditentukan berdasarkan arah
putaran tangan kanan.
gambar 16
v
u
q
gambar 17 i x i = |i||i| Sin 0o = 0 analog, maka:
X
Y
Z
k(0,0,1)
i(1,0,0) O j(0,1,0)
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = |i||j| Sin 90o = 1 ( i ^ j )
Berdasarkan definisi maka:
i x j = k j x k = i k x i = j
j x i = -k k x j = -i i x k = -j
u x v
v
u
q
v x u
11. Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai
determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah
cara Sarrus.
Vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k).
u x v =
i j k i j k i j
u u
1 2
1 2
u u u
1 2 3
1 2 3
u u u
1 2 3
1 2 3
v v
v v v
v v v
=
u x v =
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
u v -
u v
2 3 3 2
u v -
u v
3 1 1 3
u v -
u v
1 2 2 1
(–) (–) (–) (+) (+) (+)
( u2v3i + u3v1j + u1v2k ) – ( u2v1k + u3v2i + u1v3j )
u x v =
12. GG.. SSuudduutt aannttaarraa DDuuaa VVeekkttoorr ddii RRuuaanngg ((RR33))
gambar 18 Z
X
g b
O Y
a
u
a sudut antara vektor satuan i
dengan vektor u.
Jika u = u1i + u2j + u3k maka :
X
A(a1,a2,a3)
O Y
gambar 19
Z
q
u.i u1
Cos a = =
u.k u3
Cos g = =
u.j u2
Cos b = =
Vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor
b = b1i + b2j + b3k maka sudut
antara kedua vektor:
Cos .
q = a b
| || |
a b
2
3
2
2
Cos q = a b + a b +
a b
2
1
2
3
2
2
2
1
1 1 2 2 3 3
a + a + a . b + b +
b
a
·
b
·B(b1,b2,b3)
u i u
u k u
u j u
b sudut antara vektor satuan j
dengan vektor u.
g sudut antara vektor satuan k
dengan vektor u.
