Teorema 3.5 membuktikan bahwa jika a membagi b dan b membagi a, maka a sama dengan b atau sama dengan -b. Teorema 3.6 membuktikan bahwa jika a membagi b dengan a dan b bilangan positif, maka a kurang dari atau sama dengan b. Teorema 3.7 membuktikan bahwa jika a membagi b dan b tidak sama dengan nol, maka mutlak a kurang dari atau sama dengan mutlak b. Teorema 3.

1. TEOREMA 3.5 – 3.8
AMALUDDIN
(135090400111009)
MUFID SAIFULLAH
(135090400111023)

2. Teorema 3.5
Jika a│b dan b│a maka a = b atau a = -b.
Bukti:
a│b berarti ada bilangan bulat x sedemikian sehingga b = ax
b│a berarti ada bilangan bulat y sedemikian sehingga a = by
Sehingga:
a = by
a = (ax)y Substitusi b = ax
a = a(xy) Sifat Asosiatif Perkalian
Karena a ≠ 0, diperoleh 1 = xy.
Karena x dan y bilangan-bilangan bulat dan xy = 1, Maka:
Untuk x = 1 dan y = 1
a = by b = ax
a = b(1) b = a(1)
a = b b = a
Untuk x = -1 dan y = -1
a = by b = ax
a = b(-1) b = a(-1)
a = -b b = -a
Jadi terbukti jika a│b dan b│a maka a = b atau a = -b.

3. Contoh:
a = b = 2 dan x = 1
2│2 berarti ada bilangan bulat 1 sedemikian sehingga 2 = 2.(1)
2│2 berarti ada bilangan bulat 1 sedemikian sehingga 2 = 2.(1)
a = -b = 2 maka b = -2 ; x = -1
2│-2 berarti ada bilangan bulat -1 sedemikian sehingga -2 = 2.(-1)
-2│2 berarti ada bilangan bulat -1 sedemikian sehingga 2 = -2.(-1)

4. Teorema 3.6
Jika a│b dengan a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka a ≤ b.
Bukti:
a│b berarti ada bilangan bulat k sehingga b = ak
karena a dan b adalah bilangan bulat positif maka a ˃ 0 dan b > 0, sehingga k > 0,
mengakibatkan k = 1 atau k > 1.
Untuk k = 1,
b = ak
b = a(1) Substitusi k = 1
b = a Sifat Identitas Perkalian
a = b Sifat Komutatif
didapat a = b
Untuk k > 1, maka terdapat x anggota bilangan asli sedemikian sehingga k = 1 + x
b = ak
b = a(1 + x) Substitusi k = 1 + x
b = a + ax Sifat Distribusi Perkalian kiri
didapat b > a atau a < b Definisi pertidaksamaan
Jadi terbukti jika a│b dengan a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka a ≤ b.

5. Contoh:
Ambil sebarang bilangan bulat a dan b di mana a ≤ b.
Untuk a < b.
Misalkan a = 2 dan b = 6
2│6 berarti ada bilangan bulat 3 sedemikian sehingga 6 = 2.(3)
Untuk a = b.
Misalkan a = b = 4
4│4 berarti ada bilangan bulat 1 sedemikian sehingga 4 = 4.(1)

6. Teorema 3.7
Jika a│b dan b ≠ 0 maka │a│≤│b│
Bukti:
a│b berarti ada bilangan bulat m sedemikian sehingga b = am
│b│=│am│
│b│=│a││m│
Karena b ≠ 0 maka a ≠ 0 dan m ≠ 0
Sehingga
│m│ ≥ 1
untuk │m│ = 1,
│b│= │a│. 1
│b│= │a│ Identitas perkalian
│a│= │b│ Komutatif
untuk │m│ > 1, maka terdapat x anggota bilangan asli sedemikian sehingga │m│ = 1 + x.
│b│= │a│. (1 + x)
│b│= │a│+ x│a│ Distribusi perkalian kiri
│a│+ x│a│=│b│ Komutatif
│a│<│b│ Definisi ketaksamaan
Jadi, terbukti jika a│b dan b ≠ 0 maka │a│≤│b│.

7. Contoh:
Ambil sebarang bilangan bulat a dan b di mana │a│ ≤ │b│
Untuk│a│ < │b│
Misalkan a = -2 dan b = 4
2│4 berarti ada bilangan bulat 2 sedemikian sehingga 4 = 2.(2)
Untuk│a│ = │b│
Misalkan a = b = -4
4│4 berarti ada bilangan bulat 1 sedemikian sehingga 4 = 4.(1)

8. Teorema 3.8
Jika ditentukan barisan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, ..., (|a| - 1) dengan a ≠ 0, maka beda dua
bilangan sebarang dari barisan itu tidak terbagi oleh a, kecuali beda dua bilangan
sebarang itu sama dengan nol.
Bukti: (beda dua bilangan ≠ 0)
Ditentukan barisan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, ..., (|a| - 1) dengan a ≠ 0
Diambil dua bilangan m dan n dari barisan tersebut dengan m ≠ n.
Misalkan 0 ≤ n < m < |a| berarti n < m sehingga (m - n) > 0
Andaikan |a|│(m - n) berarti terdapat bilangan bulat x≠0 sedemikian sehingga m – n = |a|x.
Maka :
m - n =| a|x
m – n + n = |a|x + n (masing-masing ruas di tambahkan dengan n)
m = |a|x + n Operasi pengurangan
m > |a|x Definisi pertidaksamaan
karena (m - n) > 0 maka |a|x > 0 sedemikian sehingga m > |a|x > 0.
Dari kesimpulan m > |a|x > 0. maka pemisalan 0 ≤ n < m < |a| bertentangan.
Maka pengandaian |a|│(m - n) harus di negasikan yang berarti
|a| (m - n), sehingga beda dua bilangan sebarang dari barisan tersebut tidak terbagi oleh a.

9. Bukti: (beda dua bilangan = 0)
Ditentukan barisan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, ..., (|a| - 1) dengan a ≠ 0
Diambil dua bilangan yang sama dari barisan tersebut dengan m = n.
Misalkan 0 ≤ m < |a|.
Andaikan |a|│(m - n) berarti terdapat bilangan bulat x sedemikian sehingga m – n = |a|x.
Karena m = n, maka m-n = 0.
Diperoleh |a| │0 (sembarang nilai membagi nol).
Jadi dapat disimpulkan bahwa beda dua bilangan yang sama dengan nol terbagi oleh a.

10. Contoh:
Diketahui barisan bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 11.
Tunjukkan bahwa beda dua bilangan sebarang yang tak sama yang diambil dari
barisan tersebut tidak terbagi oleh a!
Tunjukkan bahwa beda dua bilangan sebarang yang sama yang diambil dari barisan
tersebut terbagi oleh a
Jawab:
a – 1 = 11
a = 12
Akan ditunjukkan bahwa bahwa beda dua bilangan sebarang yang tak sama yang
diambil dari barisan tersebut tidak terbagi oleh a. Misalkan dua bilangan tersebut
adalah 7 dan 5 maka bedanya yaitu 2.
Menurut teorema 3.6 maka 12 tidak membagi 2, karena 12 > 2.
Sehingga 12 2.
Akan ditunjukkan bahwa bahwa beda dua bilangan sebarang yang sama yang diambil
dari barisan tersebut terbagi oleh a.
Misalkan dua bilangan tersebut adalah 2 maka bedanya yaitu 0.
12│0 berarti ada bilangan bulat 0 sedemikian sehingga 0 = 12.(0)

11. TERIMA KASIH